Jump to content

Расслоение пространства путей

В алгебраической топологии расслоение пространства путей над базируемым пространством [1] является расслоением формы [2]

где

Пространство свободного пути X , то есть , состоит из всех отображений от I до X , которые могут не сохранять базовые точки, и расслоения дано, скажем, , называется расслоением пространства свободного пробега .

Расслоение пространства путей можно понимать как двойственное конусу отображения . [ нужны разъяснения ] Слой базисного слоя называется слоем отображения или, что то же самое, гомотопическим слоем .

Отображение пространства пути

[ редактировать ]

Если — любая карта, то пространство путей отображения из это откат расслоения вдоль . (Пространство путей отображения удовлетворяет универсальному свойству, двойственному свойству цилиндра отображения, который является выталкиванием. Из-за этого пространство путей отображения также называется коцилиндром отображения . [3] )

Поскольку расслоение возвращается к расслоению, если Y базируется, имеется расслоение

где и гомотопический слой , обратный образ расслоения вдоль .

Обратите внимание также это композиция

где первая карта отправляет x в ; здесь обозначает постоянный путь со значением . Четко, является гомотопической эквивалентностью ; таким образом, приведенное выше разложение говорит, что любое отображение является расслоением с точностью до гомотопической эквивалентности.

Если является расслоением, то отображение является послойной гомотопической эквивалентностью и, следовательно, [4] волокна над компонентой пути базовой точки гомотопически эквивалентны гомотопическому слою из .

Пространство пути Мура

[ редактировать ]

По определению путь в пространстве X это отображение единичного интервала I в X. — Опять же по определению, произведение двух путей такой, что это путь предоставлено:

.

Этот продукт вообще не вызывает ассоциативности на носу: , как видно непосредственно. Одним из решений этой неудачи является переход к гомотопическим классам: нужно . Другое решение — работать с путями произвольной длины, что приводит к понятиям пространства путей Мура и расслоения пространства путей Мура, описанным ниже. [5] (Более сложное решение — переосмыслить композицию: работать с произвольным семейством композиций; см. введение к статье Лурье, [6] что приводит к понятию операды . )

Учитывая базовое пространство , мы позволяем

Элемент f этого множества имеет уникальное расширение к интервалу такой, что . Таким образом, множество можно определить как подпространство . Полученное пространство называется пространством путей Мура X в честь Джона Коулмана Мура , который ввел эту концепцию. Тогда, как и раньше, существует расслоение, расслоение пространства путей Мура :

где p отправляет каждый к и это волокно. Оказывается, и гомотопически эквивалентны.

Теперь мы определяем карту продукта

автор: для и ,

.

Это произведение явно ассоциативно. В частности, с ограничением µ на ​​Ω ' X × Ω ' X мы получаем, что Ω ' X является топологическим моноидом категории всех пространств). , этот действует Более того на P'X через моноид µ исходный . Ω'X Фактически, является Ω'X - расслоением . [7]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ На протяжении всей статьи пространства — это объекты категории «разумных» пространств; например, категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств .
  2. ^ Дэвис и Кирк 2001 , Теорема 6.15. 2.
  3. ^ Дэвис и Кирк 2001 , § 6.8.
  4. ^ с использованием замены волокна
  5. ^ Уайтхед 1978 , гл. III, § 2.
  6. ^ Лурье, Джейкоб (30 октября 2009 г.). «Производная алгебраическая геометрия VI: E[k]-алгебры» (PDF) .
  7. ^ Пусть G = Ω ' X и P = P ' X . Очевидно, что G сохраняет слои. Чтобы увидеть, для каждого γ в P отображение является слабой эквивалентностью, мы можем воспользоваться следующей леммой:

    Лемма . Пусть p : D B , q : E B расслоения над неосновным пространством B , f : D E — отображение над B. — Если B линейно связен, то следующие условия эквивалентны:

    • f — слабая эквивалентность.
    • является слабой эквивалентностью для некоторого b из B .
    • является слабой эквивалентностью для каждого b в B .

    Применим лемму с где α — путь в P , а I X — это t → конечная точка α ( t ). С если γ — постоянный путь, то утверждение следует из леммы. (Короче говоря, лемма следует из длинной точной гомотопической последовательности и пятой леммы.)

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f6ff722b94be35d8e255bca6b7c7805e__1703959380
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f6/5e/f6ff722b94be35d8e255bca6b7c7805e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Path space fibration - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)