Расслоение пространства путей
В алгебраической топологии расслоение пространства путей над базируемым пространством [1] является расслоением формы [2]
где
- — базовое путей X ; пространство то есть, оснащен топологией «компактно-открытый» .
- это волокно над базовой точкой X ; это пространство петель X таким образом , .
Пространство свободного пути X , то есть , состоит из всех отображений от I до X , которые могут не сохранять базовые точки, и расслоения дано, скажем, , называется расслоением пространства свободного пробега .
Расслоение пространства путей можно понимать как двойственное конусу отображения . [ нужны разъяснения ] Слой базисного слоя называется слоем отображения или, что то же самое, гомотопическим слоем .
Отображение пространства пути
[ редактировать ]Если — любая карта, то пространство путей отображения из это откат расслоения вдоль . (Пространство путей отображения удовлетворяет универсальному свойству, двойственному свойству цилиндра отображения, который является выталкиванием. Из-за этого пространство путей отображения также называется коцилиндром отображения . [3] )
Поскольку расслоение возвращается к расслоению, если Y базируется, имеется расслоение
где и — гомотопический слой , обратный образ расслоения вдоль .
Обратите внимание также это композиция
где первая карта отправляет x в ; здесь обозначает постоянный путь со значением . Четко, является гомотопической эквивалентностью ; таким образом, приведенное выше разложение говорит, что любое отображение является расслоением с точностью до гомотопической эквивалентности.
Если является расслоением, то отображение является послойной гомотопической эквивалентностью и, следовательно, [4] волокна над компонентой пути базовой точки гомотопически эквивалентны гомотопическому слою из .
Пространство пути Мура
[ редактировать ]По определению путь в пространстве X это отображение единичного интервала I в X. — Опять же по определению, произведение двух путей такой, что это путь предоставлено:
- .
Этот продукт вообще не вызывает ассоциативности на носу: , как видно непосредственно. Одним из решений этой неудачи является переход к гомотопическим классам: нужно . Другое решение — работать с путями произвольной длины, что приводит к понятиям пространства путей Мура и расслоения пространства путей Мура, описанным ниже. [5] (Более сложное решение — переосмыслить композицию: работать с произвольным семейством композиций; см. введение к статье Лурье, [6] что приводит к понятию операды . )
Учитывая базовое пространство , мы позволяем
Элемент f этого множества имеет уникальное расширение к интервалу такой, что . Таким образом, множество можно определить как подпространство . Полученное пространство называется пространством путей Мура X в честь Джона Коулмана Мура , который ввел эту концепцию. Тогда, как и раньше, существует расслоение, расслоение пространства путей Мура :
где p отправляет каждый к и это волокно. Оказывается, и гомотопически эквивалентны.
Теперь мы определяем карту продукта
автор: для и ,
- .
Это произведение явно ассоциативно. В частности, с ограничением µ на Ω ' X × Ω ' X мы получаем, что Ω ' X является топологическим моноидом (в категории всех пространств). , этот действует Более того на P'X через моноид µ исходный . Ω'X Фактически, является Ω'X - расслоением . [7]
Примечания
[ редактировать ]- ^ На протяжении всей статьи пространства — это объекты категории «разумных» пространств; например, категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств .
- ^ Дэвис и Кирк 2001 , Теорема 6.15. 2.
- ^ Дэвис и Кирк 2001 , § 6.8.
- ^ с использованием замены волокна
- ^ Уайтхед 1978 , гл. III, § 2.
- ^ Лурье, Джейкоб (30 октября 2009 г.). «Производная алгебраическая геометрия VI: E[k]-алгебры» (PDF) .
- ^ Пусть G = Ω ' X и P = P ' X . Очевидно, что G сохраняет слои. Чтобы увидеть, для каждого γ в P отображение является слабой эквивалентностью, мы можем воспользоваться следующей леммой:
Лемма . Пусть p : D → B , q : E → B расслоения над неосновным пространством B , f : D → E — отображение над B. — Если B линейно связен, то следующие условия эквивалентны:
- f — слабая эквивалентность.
- является слабой эквивалентностью для некоторого b из B .
- является слабой эквивалентностью для каждого b в B .
Применим лемму с где α — путь в P , а I → X — это t → конечная точка α ( t ). С если γ — постоянный путь, то утверждение следует из леммы. (Короче говоря, лемма следует из длинной точной гомотопической последовательности и пятой леммы.)
Ссылки
[ редактировать ]- Дэвис, Джеймс Ф.; Кирк, Пол (2001). Конспекты лекций по алгебраической топологии (PDF) . Аспирантура по математике. Том. 35. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. xvi+367. дои : 10.1090/gsm/035 . ISBN 0-8218-2160-1 . МР 1841974 .
- Мэй, Дж. Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета . стр. х+243. ISBN 0-226-51182-0 . МР 1702278 .
- Уайтхед, Джордж В. (1978). Элементы теории гомотопий . Тексты для аспирантов по математике . Том. 61 (3-е изд.). Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag . стр. XXI+744. ISBN 978-0-387-90336-1 . МР 0516508 .