Смена волокна

В алгебраической топологии для расслоения p : E → B замена слоя представляет собой отображение между слоями, индуцированное путями в B .

Поскольку накрытие является расслоением, конструкция обобщает соответствующие факты теории накрытий .

Определение

Если β — путь в B , который начинается, скажем, в b , то мы имеем гомотопию $h:p^{-1}(b)\times I\to I{\overset {\beta }{\to }}B$ где первая карта является проекцией. Поскольку p — расслоение, по подъема свойству гомотопического h поднимается до гомотопии $g:p^{-1}(b)\times I\to E$ с $g_{0}:p^{-1}(b)\hookrightarrow E$. У нас есть:

$g_{1}:p^{-1}(b)\to p^{-1}(\beta (1))$.

(Может быть двусмысленность и поэтому $\beta \mapsto g_{1}$ не обязательно четко определять.)

Позволять $\operatorname {Pc} (B)$ обозначают набор классов путей в B . Мы утверждаем, что конструкция определяет отображение:

$\tau :\operatorname {Pc} (B)\to$ множество гомотопических классов отображений.

Предположим, β, β' принадлежат одному и тому же классу пути; таким образом, существует гомотопия h из β в β'. Позволять

$K=I\times \{0,1\}\cup \{0\}\times I\subset I^{2}$.

Рисуем картину: существует гомеоморфизм $I^{2}\to I^{2}$ которое ограничивается гомеоморфизмом $K\to I\times \{0\}$. Позволять $f:p^{-1}(b)\times K\to E$ быть таким, что $f(x,s,0)=g(x,s)$, $f(x,s,1)=g'(x,s)$ и $f(x,0,t)=x$.

Тогда, используя свойство поднятия гомотопии, мы можем поднять гомотопию $p^{-1}(b)\times I^{2}\to I^{2}{\overset {h}{\to }}B$ до w так, что w ограничивается $f$. В частности, у нас есть $g_{1}\sim g_{1}'$, устанавливая иск.

Из конструкции ясно, что отображение является гомоморфизмом: если $\gamma (1)=\beta (0)$,

$\tau ([c_{b}])=\operatorname {id} ,\,\tau ([\beta ]\cdot [\gamma ])=\tau ([\beta ])\circ \tau ([\gamma ])$

где $c_{b}$ — постоянный путь в точке b . Отсюда следует, что $\tau ([\beta ])$ имеет обратную. Следовательно, мы действительно можем сказать:

$\tau :\operatorname {Pc} (B)\to$ множество гомотопических классов гомотопических эквивалентностей.

Кроме того, у нас есть: для каждого b в B ,

$\tau :\pi _{1}(B,b)\to$ { [ƒ] | гомотопическая эквивалентность $f:p^{-1}(b)\to p^{-1}(b)$ }

который является групповым гомоморфизмом (правая часть, очевидно, является группой.) Другими словами, фундаментальная группа B в точке b действует на слое над b с точностью до гомотопии. Этот факт является полезной заменой отсутствия структурной группы .

Последствие

Одним из последствий конструкции является следующее:

• Слои p над компонентой пути гомотопически эквивалентны друг другу.

Ссылки

• Джеймс Ф. Дэвис, Пол Кирк, Конспект лекций по алгебраической топологии
• Мэй, Дж. Краткий курс алгебраической топологии.