Гомотопическая эквивалентность волокон

В алгебраической топологии послойно -гомотопическая эквивалентность — это гомотопическая эквивалентность между слоями отображений в пространство B из пространств D и E (т. е. отображение между прообразами , двунаправленно обратимое с точностью до гомотопии). Это послойный аналог гомотопической эквивалентности пространств.

Для заданных отображений p : D → B , q : E → B , если ƒ: D → E — послойная гомотопическая эквивалентность, то для любого b в B ограничение

$f:p^{-1}(b)\to q^{-1}(b)$

является гомотопической эквивалентностью. Если p , q — расслоения, это всегда так для гомотопических эквивалентностей согласно следующему предложению.

Предложение — Пусть $p:D\to B,q:E\to B$ быть расслоениями . Затем карта $f:D\to E$ над B является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда она является послойно-гомотопической эквивалентностью.

Доказательство предложения

Следующее доказательство основано на доказательстве предложения гл. 6, § 5 от ( май 1999 г. ). Мы пишем $\sim _{B}$ для гомотопии над B .

Прежде всего заметим, что достаточно показать, что ƒ допускает левую гомотопию, обратную над B . Действительно, если $gf\sim _{B}\operatorname {id}$ если g над B , то g , в частности, является гомотопической эквивалентностью. Таким образом, g также допускает левую гомотопию, обратную h над B , и тогда формально мы имеем $h\sim f$; то есть, $fg\sim _{B}\operatorname {id}$.

Теперь, поскольку ƒ является гомотопической эквивалентностью, он имеет гомотопический обратный g . С $fg\sim \operatorname {id}$, у нас есть: $pg=qfg\sim q$. Поскольку p — расслоение, гомотопия $pg\sim q$ поднимается до гомотопии от g , скажем, до g', которая удовлетворяет $pg'=q$. Таким образом, мы можем предположить, что g находится над B . Тогда достаточно показать, что g ƒ, который теперь находится над B , имеет левую гомотопию, инверсную над B, поскольку это означало бы, что ƒ имеет такой левый инверсный элемент.

Поэтому доказательство сводится к ситуации, когда ƒ: D → D находится над B через p и $f\sim \operatorname {id} _{D}$. Позволять $h_{t}$ быть гомотопией от ƒ до $\operatorname {id} _{D}$. Тогда, поскольку $ph_{0}=p$ и поскольку p — расслоение, гомотопия $ph_{t}$ поднимает до гомотопии $k_{t}:\operatorname {id} _{D}\sim k_{1}$; явно, мы имеем $ph_{t}=pk_{t}$. Обратите внимание также $k_{1}$ над Б. находится

Мы показываем $k_{1}$ является левой гомотопией, обратной ƒ над B . Позволять $J:k_{1}f\sim h_{1}=\operatorname {id} _{D}$ — гомотопия, заданная как композиция гомотопий $k_{1}f\sim f=h_{0}\sim \operatorname {id} _{D}$. Тогда мы можем найти гомотопию K от гомотопии pJ до постоянной гомотопии $pk_{1}=ph_{1}$. Поскольку p — расслоение, мы можем поднять K , скажем, до L . Мы можем закончить, обойдя ребро, соответствующее J :

$k_{1}f=J_{0}=L_{0,0}\sim _{B}L_{0,1}\sim _{B}L_{1,1}\sim _{B}L_{1,0}=J_{1}=\operatorname {id} .$

Ссылки

• Мэй, Дж. Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Чикагские лекции по математике. Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-51182-0 . OCLC   41266205 . (См. главу 6.) {{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )