Заостренное пространство

В математике точечное пространство или базируемое пространство — это топологическое пространство с выделенной точкой, базовой точкой . Выделенная точка — это просто одна конкретная точка, выбранная из пространства и получившая имя, например $x_{0},$ он остается неизменным во время последующего обсуждения и отслеживается во время всех операций.

Карты точечных пространств ( карты на основе ) — это непрерывные карты, сохраняющие базовые точки, т. е. карта $f$ между отмеченным пространством $X$ с базовой точкой $x_{0}$ и заостренное пространство $Y$ с базовой точкой $y_{0}$ является базовым отображением, если оно непрерывно относительно топологий $X$ и $Y$ и если $f\left(x_{0}\right)=y_{0}.$ Обычно это обозначается

$f:\left(X,x_{0}\right)\to \left(Y,y_{0}\right).$

Точечные пространства важны в алгебраической топологии , особенно в теории гомотопий , где многие конструкции, такие как фундаментальная группа , зависят от выбора базовой точки.

Концепция точечного множества менее важна; в любом случае это случай точечного дискретного пространства .

Точечные пространства часто рассматриваются как частный случай относительной топологии , где подмножеством является одна точка. Таким образом, большая часть теории гомотопий обычно разрабатывается на точечных пространствах, а затем переносится на относительные топологии в алгебраической топологии .

Категория точечных пространств

Класс . всех точечных пространств категорию образует _$\bullet$ с сохранением базовой точки непрерывных карт как морфизмов . Другой способ думать об этой категории — это категория с запятой ( $\{\bullet \}\downarrow$ Вверху ) где $\{\bullet \}$ — любое одноточечное пространство, а Top — категория топологических пространств . (Это также называется кос-категорией, обозначаемой $\{\bullet \}/$Вверх .) Объекты этой категории представляют собой непрерывные карты. $\{\bullet \}\to X.$ Такие карты можно рассматривать как выбор базовой точки в $X.$ Морфизмы в ( $\{\bullet \}\downarrow$ Top ) — морфизмы в Top следующая диаграмма , для которых коммутирует :

Легко видеть, что коммутативность диаграммы эквивалентна условию, что $f$ сохраняет базовые точки.

Как заостренное пространство, $\{\bullet \}$ это нулевой объект в Top _{$\{\bullet \}$}, хотя это всего лишь терминальный объект в Top .

Существует забывчивый функтор Top _{$\{\bullet \}$} $\to$ Вершина , которая «забывает», какая точка является базовой. Этот функтор имеет левый сопряженный , который присваивает каждому топологическому пространству $X$ союз непересекающийся ​ $X$ и одноточечное пространство $\{\bullet \}$ единственный элемент которого считается базовой точкой.

Операции над указанными пространствами

• Подпространство пространства точечного $X$ является топологическим подпространством $A\subseteq X$ который разделяет свою базовую точку с $X$ так что карта включения сохраняет базовую точку.
• Можно образовать фактор точечного пространства $X$ при любом отношении эквивалентности . Базовая точка частного — это образ базовой точки в $X$ под факторной картой.
• Можно образовать произведение двух точечных пространств $\left(X,x_{0}\right),$ $\left(Y,y_{0}\right)$ как топологическое произведение $X\times Y$ с $\left(x_{0},y_{0}\right)$служит базовой точкой.
• Копродуктом , которую в категории точечных пространств является клиновая сумма можно рассматривать как «одноточечное объединение» пространств.
• Смеш -произведение двух точечных пространств по сути представляет собой частное прямого произведения и клиновой суммы. Мы хотели бы сказать, что произведение смэша превращает категорию точечных пространств в симметричную моноидальную категорию с заостренной 0-сферой в качестве единичного объекта, но это неверно для общих пространств: условие ассоциативности может не выполняться. Но это верно для некоторых более ограниченных категорий пространств, таких как компактно порожденные слабые хаусдорфовы пространства.
• подвеска Уменьшенная $\Sigma X$ из заостренного пространства $X$ является (с точностью до гомеоморфизма ) продуктом $X$ и заостренный круг $S^{1}.$
• Приведенная надстройка представляет собой функтор из категории точечных пространств в себя. Этот функтор остается сопряженным с функтором $\Omega$ занимая указанное место $X$ в его пространство цикла $\Omega X$.

См. также

• Категория групп – категория в математике. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Категория метрических пространств - математическая категория с метрическими пространствами в качестве объектов и картами, не увеличивающими расстояние, в качестве морфизмов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Категория множеств - Категория в математике, где объектами являются множества.
• Категория топологических пространств – категория, объекты которой являются топологическими пространствами, а морфизмы – непрерывными картами. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Категория топологических векторных пространств – Топологическая категория

Ссылки

• Гамелен, Теодор В.; Грин, Роберт Эверист (1999) [1983]. Введение в топологию (второе изд.). Дуврские публикации . ISBN  0-486-40680-6 .
• Мак Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для работающего математика (второе изд.). Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 .

• обсуждение mathoverflow по нескольким базовым точкам и группоидам