Сверхкатегория

В математике, особенно в теории категорий , сверхкатегория (и подкатегория) — это выделенный класс категорий , используемый в различных контекстах, например, с охватывающими пространствами (espace etale) . Они были представлены как механизм отслеживания данных, окружающих фиксированный объект. $X$ в какой-то категории ${\mathcal {C}}$. Существует двойственное понятие подкатегории, которое определяется аналогичным образом.

Определение

Позволять ${\mathcal {C}}$ быть категорией и $X$ фиксированный объект ${\mathcal {C}}$^{стр. 59} . Сверхкатегория ) называемая категорией среза ( также ${\mathcal {C}}/X$ — связанная категория, объекты которой представляют собой пары $(A,\pi )$ где $\pi :A\to X$ является морфизмом в ${\mathcal {C}}$. Тогда морфизм между объектами $f:(A,\pi )\to (A',\pi ')$ задается морфизмом $f:A\to A'$ в категории ${\mathcal {C}}$ такая, что следующая диаграмма коммутирует

${\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &A'\\\pi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \pi '\\X&=&X\end{matrix}}$

Существует двойственное понятие, называемое подкатегорией (также называемой категорией кослиса ). $X/{\mathcal {C}}$ чьи объекты являются парами $(B,\psi )$ где $\psi :X\to B$ является морфизмом в ${\mathcal {C}}$. Тогда морфизмы в $X/{\mathcal {C}}$ задаются морфизмами $g:B\to B'$ в ${\mathcal {C}}$ такая, что следующая диаграмма коммутирует

${\begin{matrix}X&=&X\\\psi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \psi '\\B&\xrightarrow {g} &B'\end{matrix}}$

Эти два понятия имеют обобщения в теории двух категорий. и теория высших категорий ^{стр. 43} , с определениями либо аналогичными, либо по существу одинаковыми.

Свойства

Многие категориальные свойства ${\mathcal {C}}$ наследуются соответствующими верхними и нижними категориями объекта. $X$. Например, если ${\mathcal {C}}$ имеет конечные произведения и копроизведения , сразу категории ${\mathcal {C}}/X$ и $X/{\mathcal {C}}$ обладают этими свойствами, поскольку продукт и копроизведение могут быть построены в ${\mathcal {C}}$, и благодаря универсальным свойствам существует единственный морфизм либо для $X$ или из $X$. Кроме того, это относится к пределам и копределам также .

Примеры

Сверхкатегории на сайте

Напомним, что сайт ${\mathcal {C}}$ является категориальным обобщением топологического пространства, впервые введенного Гротендиком . Один из канонических примеров взят непосредственно из топологии, где категория ${\text{Open}}(X)$ чьи объекты являются открытыми подмножествами $U$ некоторого топологического пространства $X$, а морфизмы задаются картами включения. Тогда для фиксированного открытого подмножества $U$, сверхкатегория ${\text{Open}}(X)/U$ канонически эквивалентна категории ${\text{Open}}(U)$ для индуцированной топологии на $U\subseteq X$. Это происходит потому, что каждый объект в ${\text{Open}}(X)/U$ является открытым подмножеством $V$ содержится в $U$.

Категория алгебр как подкатегория

Категория коммутативности $A$- алгебры эквивалентно подкатегории $A/{\text{CRing}}$ для категории коммутативных колец. Это связано с тем, что структура $A$-алгебра на коммутативном кольце $B$ непосредственно кодируется кольцевым морфизмом $A\to B$. Если рассматривать противоположную категорию, то это надкатегория аффинных схем, ${\text{Aff}}/{\text{Spec}}(A)$или просто ${\text{Aff}}_{A}$.

Надкатегории пространств

Другая распространенная надкатегория, рассматриваемая в литературе, - это надкатегории пространств, таких как схемы, гладкие многообразия или топологические пространства. Эти категории кодируют объекты относительно фиксированного объекта, например категория схем над $S$, ${\text{Sch}}/S$. Волокнистые продукты в этих категориях можно считать пересечениями, поскольку объекты являются подобъектами фиксированного объекта.

См. также

• Категория запятой