Последовательность кукол

В математике последовательность Пуппе представляет собой конструкцию теории гомотопий , названную так в честь Дитера Пуппе . Он существует в двух формах: длинная точная последовательность , построенная из слоя отображения ( расслоения ), и длинная коточная последовательность, построенная из конуса отображения (который является корасслоением ). ^[1] Интуитивно, последовательность Пуппе позволяет нам думать о теории гомологии как о функторе , который переводит пространства в длинные точные последовательности групп. Он также полезен как инструмент для построения длинных точных последовательностей относительных гомотопических групп .

Точная последовательность действий Куппе

Позволять $f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ — непрерывное отображение между указанными пространствами и пусть $Mf$ обозначим слой отображения ( расслоение, двойственное к конусу отображения ). Тогда получается точная последовательность:

Mf\to X\to Y

где слой отображения определяется как: ^[1]

Mf=\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ and }}\omega (1)=f(x)\}

Обратите внимание, что пространство цикла $\Omega Y$ вводит в картографический волокно: $\Omega Y\to Mf$ , поскольку он состоит из тех карт, которые начинаются и заканчиваются в базовой точке $y_{0}$ . Затем можно показать, что приведенная выше последовательность распространяется на более длинную последовательность.

\Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y

Затем конструкцию можно повторить, чтобы получить точную последовательность Пуппе.

\cdots \to \Omega ^{2}(Mf)\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega (Mf)\to \Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y

точная последовательность часто более удобна, чем коточная последовательность в практических приложениях Как объясняет Джозеф Дж. Ротман, : ^[1]

() различные конструкции (коточной последовательности) включают факторпространства вместо подпространств, и поэтому все отображения и гомотопии требуют более тщательного изучения, чтобы гарантировать, что они четко определены и непрерывны.

Примеры [ править ]

Пример: Относительная гомотопия [ править ]

В качестве частного случая ^[1] можно взять X как подпространство A в Y , содержащее базовую точку y ₀ , а f как включение $i:A\hookrightarrow Y$ из А в Y. Тогда получается точная последовательность в категории точечных пространств :

{\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi)\right]\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(A)\to \pi _{1}(Y)\to \left[S^{0},Mi\right]\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\end{aligned}}

где $\pi _{n}$ являются гомотопическими группами , $S^{0}$ - это нулевая сфера (т.е. две точки) и $[U,W]$ обозначает гомотопическую эквивалентность отображений из U в W . Обратите внимание, что $\pi _{n+1}(X)=\pi _{1}(\Omega ^{n}X)$ . Тогда можно показать, что

\left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi)\right]=\left[S^{n},Mi\right]=\pi _{n}(Mi)

находится в биекции относительно относительной гомотопической группы $\pi _{n+1}(Y,A)$ , что приводит к возникновению относительной гомотопической последовательности пар

{\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \pi _{n+1}(Y,A)\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(A)\to \pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(Y,A)\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\end{aligned}}

Объект $\pi _{n}(Y,A)$ это группа для $n\geq 2$ и является абелевым для $n\geq 3$ .

Пример: Расслоение [ править ]

В качестве частного случая ^[1] можно f считать расслоением $p:E\to B$ . Тогда слой отображения Mp обладает свойством гомотопического подъема , и отсюда следует, что Mp и слой $F=p^{-1}(b_{0})$ имеют одинаковый гомотопический тип . Отсюда тривиально следует, что отображения сферы в Mp гомотопны отображениям сферы в F , т. е.

\pi _{n}(Mp)=\left[S^{n},Mp\right]\simeq \left[S^{n},F\right]=\pi _{n}(F).

Отсюда последовательность Пуппе дает гомотопическую последовательность расслоения :

{\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(E)\to \pi _{n+1}(B)\to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)\to \pi _{0}(B)\end{aligned}}

Пример: Слабое расслоение [ править ]

Слабые расслоения строго слабее расслоений, однако основной результат, полученный выше, остается верным, хотя доказательство необходимо изменить. Ключевое наблюдение Жан-Пьера Серра состоит в том, что при слабом расслоении $p\colon E\to B$ , и волокно в базовой точке, заданное выражением $F=p^{-1}(b_{0})$ , что существует биекция

p_{*}\colon \pi _{n}(E,F)\to \pi _{n}(B,b_{0})

.

Эту биекцию можно использовать в приведенной выше относительной гомотопической последовательности, чтобы получить гомотопическую последовательность слабого расслоения , имеющую ту же форму, что и последовательность расслоения, но с другим соединительным отображением.

Puppe Coexact Последовательность

Позволять $f\colon A\to B$ — непрерывное отображение между комплексами CW и пусть $C(f)$ обозначаем отображения конус f (т. е. кослой отображения f ), так что у нас есть (кослой) последовательность:

A\to B\to C(f)

.

Теперь мы можем сформировать $\Sigma A$ и $\Sigma B,$ суспензии A B и также соответственно, а $\Sigma f\colon \Sigma A\to \Sigma B$ (это потому, что приостановку можно рассматривать как функтор ), получая последовательность:

\Sigma A\to \Sigma B\to C(\Sigma f)

.

Обратите внимание, что приостановка сохраняет последовательности коволокон.

Благодаря этому мощному факту мы знаем, что $C(\Sigma f)$ эквивалентен гомотопически $\Sigma C(f).$ Свернув $B\subset C(f)$ в какой-то момент у человека есть естественная карта $C(f)\to \Sigma A.$ Таким образом, мы имеем последовательность:

A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f).

Итерируя эту конструкцию, мы получаем последовательность Пуппе, связанную с $A\to B$ :

A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f)\to \Sigma ^{2}A\to \Sigma ^{2}B\to \Sigma ^{2}C(f)\to \Sigma ^{3}A\to \Sigma ^{3}B\to \Sigma ^{3}C(f)\to \cdots

и свойства последствия Некоторые

Простым упражнением в топологии можно увидеть, что каждые три элемента последовательности Пуппе с точностью до гомотопии имеют вид:

X\to Y\to C(f)

.

Под «с точностью до гомотопии» мы подразумеваем здесь, что каждые три элемента в последовательности Пуппе имеют указанную выше форму, если рассматривать их как объекты и морфизмы в гомотопической категории .

Если теперь дан топологический полуточный функтор , указанное выше свойство означает, что после воздействия рассматриваемым функтором на последовательность Пуппе, связанную с $A\to B$ , получается длинная точная последовательность .

Результат, благодаря Джону Милнору , ^[2] заключается в том, что если взять аксиомы Эйленберга-Стинрода для теории гомологии и заменить вырезание точной последовательностью слабого расслоения пар, то получится гомотопическая аналогия теоремы Эйленберга-Стинрода : существует уникальная последовательность функторов $\pi _{n}\colon P\to {\bf {Sets}}$ где P — категория всех точечных пар топологических пространств.

Замечания [ править ]

Поскольку существует два «вида» приостановки : нередуцированная и редуцированная , можно также рассматривать нередуцированные и редуцированные последовательности Пуппе (по крайней мере, если иметь дело с точечными пространствами , когда можно сформировать редуцированную приостановку).

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (построение см. в главе 11).
^ Джон Милнор «Построение универсальных связок I» (1956) Анналы математики , 63 стр. 272-284.

Эдвин Спэньер , Алгебраическая топология , Springer-Verlag (1982), переиздание, McGraw Hill (1966)

[rotman-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (построение см. в главе 11).

[2] Джон Милнор «Построение универсальных связок I» (1956) Анналы математики , 63 стр. 272-284.

[1]

[2]