Квазирасслоение

В алгебраической топологии квазирасслоение является обобщением расслоений и расслоений, введенных Альбрехтом Дольдом и Рене Томом . Грубо говоря, это непрерывное отображение p : E → B, имеющее то же поведение, что и расслоение относительно (относительных) гомотопических групп E . , B и p ⁻¹( х ). Эквивалентно, можно определить квазирасслоение как непрерывное отображение такое, что включение каждого слоя в его гомотопический слой является слабой эквивалентностью . Одно из основных применений квазирасслоений заключается в доказательстве теоремы Дольда-Тома .

Определение

Непрерывное сюръективное отображение топологических пространств p : E → B называется квазирасслоением , если оно индуцирует изоморфизмы

p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(x),y)\to \pi _{i}(B,x)

для всех x ∈ B , y ∈ p ⁻¹( x ) и i ≥ 0. Для i = 0,1 можно говорить только о биекциях между двумя множествами.

По определению, квазирасслоения обладают общим ключевым свойством расслоений, а именно то, что квазирасслоение p : E → B индуцирует длинную точную последовательность гомотопических групп.

{\begin{aligned}\dots \to \pi _{i+1}(B,x)\to \pi _{i}(p^{-1}(x),y)\to \pi _{i}(E,y)&\to \pi _{i}(B,x)\to \dots \\&\to \pi _{0}(B,x)\to 0\end{aligned}}

что следует непосредственно из длинной точной последовательности для пары ( E , p ⁻¹( х )).

Эта длинная точная последовательность также является функториальной в следующем смысле: любое послойное отображение f : E → E′ индуцирует морфизм между точными последовательностями пар ( E , p ⁻¹( x )) и ( E′ , p′ ⁻¹( x )) и, следовательно, морфизм между точными последовательностями квазирасслоения. Следовательно, диаграмма

коммутирует с f _0, являющимся ограничением f на p ⁻¹( x ) и x′ является элементом формы p′ ( f ( e )) для e ∈ p ⁻¹( х ).

Эквивалентное определение гласит, что сюръективное отображение p : E → B является квазирасслоением, если включение слоя p ⁻¹( b гомотопический слой Fb _точки p b над B. является слабой эквивалентностью для b ∈ ) в всех Чтобы убедиться в этом, напомним, что F _b — это слой q под действием b , где q : E _p → B — обычная конструкция расслоения путей . Таким образом, у человека есть

E_{p}=\{(e,\gamma )\in E\times B^{I}:\gamma (0)=p(e)\}

и q определяется как q ( e , γ) = γ(1). Теперь рассмотрим естественную гомотопическую эквивалентность φ: E → E _p , заданную формулой φ( e ) = ( e , p ( e )), где p ( e ) обозначает соответствующий постоянный путь. По определению, p пропускается через E _p так, что получается коммутативная диаграмма

Применение π _n дает альтернативное определение.

Примеры

Каждое расслоение Серра является квазирасслоением. Это следует из свойства гомотопического подъема .
Проекция буквы L на ее базовый интервал является квазирасслоением, но не расслоением. В более общем смысле, проекция M _f → I цилиндра отображения отображения f : X → Y между связными комплексами CW на единичный интервал является квазирасслоением тогда и только тогда, когда π _i ( M _f , p ⁻¹( б )) знак равно 0 знак равно π _я ( я , б ) имеет место для всех я € I и б € B . Но по длинной точной последовательности пары ( M _f , p ⁻¹( b )) и по теореме Уайтхеда это эквивалентно тому, что f является гомотопической эквивалентностью . Для топологических пространств X и Y в целом это эквивалентно тому, что f является слабой гомотопической эквивалентностью. Более того, если f не является сюръективным, непостоянные пути в I, начинающиеся с 0, не могут быть повышены до путей, начинающихся в точке Y вне образа f в M _f . Это означает, что в данном случае проекция не является расслоением.
Отображение SP( p ) : SP( X ) → SP( X / A ), индуцированное проекцией p : X → X / A, является квазирасслоением для пары CW ( X , A ), состоящей из двух связных пространств. Это одно из основных утверждений, используемых при доказательстве теоремы Дольда-Тома . В общем случае это отображение также не может быть расслоением.

Характеристики

Следующее является прямым следствием альтернативного определения расслоения с использованием гомотопического слоя:

Теорема. Каждое квазирасслоение p : E → B факторизуется через расслоение, слои которого слабо гомотопически эквивалентны слоям p .

Следствием этой теоремы является то, что все слои квазирасслоения слабо гомотопически эквивалентны, если базовое пространство линейно связно , как это имеет место для расслоений.

Проверка того, является ли данное отображение квазирасслоением, бывает довольно утомительной. Следующие две теоремы призваны облегчить эту задачу. Они будут использовать следующее понятие: Пусть p : E → B — непрерывное отображение. Подмножество U ⊂ p ( E ) называется выделенным (относительно p ), если p : p ⁻¹( U ) → U — квазирасслоение.

Теорема. Если открытые подмножества U,V и U ∩ V различены относительно непрерывного отображения p : E → B , то и U ∪ V различены . ^[1]

Теорема. Пусть p : E → B — непрерывное отображение, где B — индуктивный предел последовательности B ₁ ⊂ B ₂ ⊂ ... Кроме того, предполагается, что все B _n удовлетворяют первой аксиоме разделения. все Bn _Если выделены, то p — квазирасслоение.

Чтобы убедиться в справедливости последнего утверждения, достаточно иметь в виду, что непрерывные образы компактов из B лежат в некотором Bn _уже . Таким образом, можно свести его к случаю, когда утверждение известно.Эти две теоремы означают, что достаточно показать, что данное отображение является квазирасслоением на определенных подмножествах. Затем можно соединить их вместе, чтобы увидеть, что оно справедливо для больших подмножеств, и, наконец, используя ограничивающий аргумент, можно увидеть, что отображение является квазирасслоением на всем пространстве. Эта процедура, например, использовалась при доказательстве теоремы Дольда-Тома.

Примечания

^ Дольд и Том (1958), Теорема 2.2

Ссылки

Агилар, Марсело; Гитлер, Самуэль; Прието, Карлос (2008). Алгебраическая топология с гомотопической точки зрения . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22489-3 .
Дольд, Альбрехт; Лашоф, Ричард (1959), «Основные квазирасслоения и волоконная гомотопическая эквивалентность расслоений», Illinois Journal of Mathematics , 2 (2): 285–305
Дольд, Альбрехт; Том, Рене (1958), «Квазирасслоения и бесконечные симметричные произведения», Annals of Mathematics , Second Series, 67 (2): 239–281, doi : 10.2307/1970005 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970005 , MR 0097062
Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-79540-1 .
Мэй, Дж. Питер (1990), «Слабые эквивалентности и квазирасслоения», конспект лекций Springer , 1425 : 91–101.
Пиччинини, Ренцо А. (1992). Лекции по теории гомотопии . Эльзевир. ISBN 9780080872827 .

Внешние ссылки

Квазирасслоения и гомотопические возвраты в MathOverflow
Квазирасслоения из Университета Лихай

[1] Дольд и Том (1958), Теорема 2.2

[1]