Jump to content

Векторный пакет

(Перенаправлено из раздела «Нулевой» )
(бесконечно протяженная) Лента Мёбиуса представляет собой линейное расслоение над 1-сферой S 1 . Локально вокруг каждой точки в S 1 , он выглядит как U × R (где U — разомкнутая дуга, включающая точку), но полный расслоение отличается от S 1 × R (который вместо этого представляет собой цилиндр ).

В математике векторное расслоение — это топологическая конструкция, которая уточняет идею семейства векторных пространств , параметризованных другим пространством. (например может быть топологическим пространством , многообразием или алгебраическим многообразием ): в каждую точку пространства мы связываем (или «присоединяем») векторное пространство таким образом, что эти векторные пространства объединяются, образуя другое пространство того же типа, что и (например, топологическое пространство, многообразие или алгебраическое многообразие), которое затем называется векторным расслоением над .

Простейшим примером является случай, когда семейство векторных пространств постоянно, т. е. существует фиксированное векторное пространство. такой, что для всех в : в данном случае есть копия для каждого в и эти копии соединяются вместе, образуя векторное расслоение над . Такие векторные расслоения называются тривиальными . Более сложный (и прототипический) класс примеров — это касательные расслоения : гладких (или дифференцируемых) многообразий к каждой точке такого многообразия мы присоединяем касательное пространство к многообразию в этой точке. Касательные расслоения, вообще говоря, не являются тривиальными расслоениями. Например, касательное расслоение сферы нетривиально по теореме о волосатом шаре . В общем, многообразие называется параллелизуемым тогда и только тогда, когда его касательное расслоение тривиально.

Векторные расслоения почти всегда должны быть локально тривиальными , что означает, что они являются примерами расслоений . Кроме того, векторные пространства обычно должны быть над действительными или комплексными числами , и в этом случае векторное расслоение называется действительным или комплексным векторным расслоением (соответственно). Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как вещественные векторные расслоения с дополнительной структурой. Далее мы сосредоточимся на вещественных векторных расслоениях в категории топологических пространств .

Определение и первые последствия

[ редактировать ]
Векторный расслоение над базой . точка в соответствует началу координат в волокне векторного расслоения , и это волокно отображается до точки по проекции .

Реальное векторное расслоение состоит из:

  1. топологические пространства ( базовое пространство ) и ( общая площадь )
  2. сюръекция непрерывная ( проекция пучка )
  3. для каждого в , структура конечномерного вещественного векторного пространства на слое

где выполнено следующее условие совместимости: для каждой точки в , есть открытое окружение из , натуральное число и гомеоморфизм

такой, что для всех в ,

  • для всех векторов в , и
  • карта является линейным изоморфизмом между векторными пространствами и .

Открытый район вместе с гомеоморфизмом называется локальной тривиализацией векторного расслоения. Локальная тривиализация показывает, что локально отображение "выглядит как" проекция на .

Каждое волокно является конечномерным вещественным векторным пространством и, следовательно, имеет размерность . Локальные тривиализации показывают, что функция и локально постоянна , следовательно, постоянна на каждом связном компоненте . Если равно константе на всех , затем называется рангом векторного расслоения, а называется векторным расслоением ранга . Часто определение векторного расслоения включает в себя четкое определение ранга, так что является постоянным. Векторные расслоения ранга 1 называются линейными расслоениями , а расслоения ранга 2 реже называются плоскими расслоениями.

Декартово произведение , оснащенный проекцией , называется тривиальным расслоением ранга над .

Функции перехода

[ редактировать ]
Два тривиальных векторных расслоения над открытыми множествами и можно приклеить на пересечение по функциям перехода которые служат для склеивания заштрихованных серых областей после применения к волокнам линейного преобразования (обратите внимание на преобразование синего четырехугольника под действием ). Разный выбор функций перехода может привести к образованию разных векторных расслоений, которые после завершения склейки станут нетривиальными.
Ленту Мёбиуса можно построить нетривиальной склейкой двух тривиальных расслоений на подмножествах U и V окружности S. открытых 1 . При тривиальной склейке (с g UV =1 ) получается тривиальный пучок, а при нетривиальной склейке g UV =1 на одном перекрытии и g UV =-1 на втором перекрытии получается нетривиальный пучок E , лента Мёбиуса. Это можно представить как «подкручивание» одного из локальных графиков .

Учитывая векторное расслоение ранга , и пара окрестностей и над которым расслоение тривиализуется через

составная функция

четко определен на перекрытии и удовлетворяет

для некоторых -значная функция

Они называются функциями перехода (или преобразованиями координат ) векторного расслоения.

Набор что функций перехода образует коцикл Чеха в том смысле,

для всех над которым расслоение упрощается, удовлетворяя . Таким образом, данные определяет расслоение волокон ; дополнительные данные о указывает группа структур, в которой действие на волокно является стандартным действием .

И наоборот, для данного пучка волокон с коцикл, действующий стандартным образом на волокно , существует связанное векторное расслоение. Это пример теоремы о построении расслоений для векторных расслоений, и его можно рассматривать как альтернативное определение векторного расслоения.

Подпакеты

[ редактировать ]
Линейный подпакет тривиального векторного расслоения ранга 2 над одномерным многообразием .

Один простой метод построения векторных расслоений — это взятие подрасслоений других векторных расслоений. Учитывая векторное расслоение в топологическом пространстве подрасслоение — это просто подпространство для чего ограничение из к дает также структура векторного расслоения. В этом случае волокно является векторным подпространством для каждого .

Подрасслоение тривиального расслоения не обязательно должно быть тривиальным, и действительно, каждое вещественное векторное расслоение над компактом можно рассматривать как подрасслоение тривиального расслоения достаточно высокого ранга. Например, полосу Мёбиуса , нетривиальное линейное расслоение над окружностью, можно рассматривать как подрасслоение тривиального расслоения ранга 2 над окружностью.

Морфизмы векторных расслоений

[ редактировать ]

Морфизм , векторного расслоения π 1 : E 1 X 1 в векторное расслоение π 2 : E 2 X 2 задается парой непрерывных отображений f : E 1 E 2 и g : X 1 X 2 таких что

г π 1 знак равно π 2 ж
для каждого x в X 1 отображение π 1 −1 ({ x }) → π 2 −1 ({ g ( x )}), f индуцированный , является линейным отображением векторных пространств.

Обратите внимание, что g определяется f (поскольку π 1 сюръективно), и f тогда говорят, что покрывает g .

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию . Ограничиваясь векторными расслоениями, для которых пространства являются многообразиями (а проекции расслоений являются гладкими отображениями) и гладкими морфизмами расслоений, мы получаем категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений являются частным случаем понятия отображения расслоений между расслоениями и иногда называются гомоморфизмами (векторных) расслоений .

Гомоморфизм расслоения из E 1 в E 2 с обратным , который также является гомоморфизмом расслоения (из E 2 в E 1 ), называется (векторным) изоморфизмом расслоения , и тогда E 1 и E 2 называются изоморфными векторными расслоениями. Изоморфизм k векторного расслоения E ) над X с тривиальным расслоением (ранга k над X ) называется тривиализацией E ( ранга , и тогда E называется тривиальным (или тривиализируемым ). Определение векторного расслоения показывает, что любое векторное расслоение локально тривиально .

Мы также можем рассмотреть категорию всех векторных расслоений над фиксированным базовым пространством X . В качестве морфизмов этой категории мы возьмем те морфизмы векторных расслоений, отображение которых на базовом пространстве является тождественным отображением на X . следующая диаграмма То есть морфизмы расслоений, для которых коммутирует :

(Обратите внимание, что эта категория не абелева ; ядро ​​морфизма векторных расслоений, вообще говоря, не является векторным расслоением каким-либо естественным образом.)

Морфизм векторного расслоения между векторными расслоениями π 1 : E 1 X 1 и π 2 : E 2 X 2, покрывающий отображение g из X 1 в X 2, также можно рассматривать как морфизм векторного расслоения над X 1 из E 1 в X 2. расслоение обратных связей g * E 2 .

Сечения и локально свободные пучки

[ редактировать ]
Векторный расслоение над базой с разделом .
Карту, связывающую нормаль с каждой точкой поверхности, можно рассматривать как сечение. Поверхность — это пространство X , и в каждой точке x есть вектор векторного пространства, прикрепленный к точке x .

Учитывая векторное расслоение π : E X и открытое подмножество U в X , мы можем рассматривать сечения π U на , т.е. непрерывные функции s : U E , где композиция π s такова, что ( π s )( u ) = ты для всех ты в U . По сути, секция присваивает каждой точке U непрерывно вектор из присоединенного векторного пространства. Например, сечения касательного расслоения дифференциального многообразия представляют собой не что иное, как векторные поля на этом многообразии.

Пусть F ( U множество всех сечений на U. ) — F ( U ) всегда содержит хотя бы один элемент, а именно нулевое сечение : функцию s , которая отображает каждый элемент x из U в нулевой элемент векторного пространства π. −1 ({ х }). При поточечном сложении и скалярном умножении секций F ( U ) само становится реальным векторным пространством. Коллекция этих векторных пространств представляет собой пучок векторных пространств на X .

Если s — элемент F ( U ) и α: U R — непрерывное отображение, то α s (поточечное скалярное умножение) находится в F ( U ). Мы видим, что ( U ) модуль над кольцом непрерывных вещественных функций на U. F Более того, если O X обозначает структурный пучок непрерывных вещественных функций на X , то F становится пучком O X -модулей.

Не каждый пучок O X -модулей возникает таким образом из векторного расслоения: возникают только локально свободные . (Причина: локально ищем сечения проекции U × R к У ; это именно непрерывные функции U R к , и такая функция представляет собой k - набор непрерывных функций U R .)

Более того: категория вещественных векторных расслоений на X эквивалентна X категории локально свободных и конечно порожденных пучков O -модулей .

Таким образом, мы можем думать о категории вещественных векторных расслоений на X как о находящейся внутри категории пучков O X -модулей ; эта последняя категория абелева, поэтому именно здесь мы можем вычислить ядра и коядра морфизмов векторных расслоений.

Векторное расслоение ранга n тривиально тогда и только тогда, когда оно имеет n линейно независимых глобальных секций.

Операции над векторными расслоениями

[ редактировать ]

Большинство операций над векторными пространствами можно расширить до векторных расслоений, выполняя операции с векторным пространством послойно .

Например, если E — векторное расслоение над X , то существует расслоение E* над X , называемое двойственным расслоением , слой которого в точке x X является двойственным векторным пространством ( E x )*. Формально E* можно определить как множество пар ( x , φ), где x X и φ ∈ ( E x )*. Двойственное расслоение локально тривиально, поскольку двойственное пространство к обратному локальному тривиализации E является локальной тривиализацией E* : ключевым моментом здесь является то, что операция взятия двойственного векторного пространства является функториальной .

Существует множество функториальных операций, которые можно выполнять над парами векторных пространств (над одним и тем же полем), и они непосредственно распространяются на пары векторных расслоений E , F на X (над данным полем). Далее следует несколько примеров.

  • Сумма Уитни (названная в честь Хасслера Уитни ) или расслоение прямой суммы E и F это векторное расслоение E F над X , слой которого над x является прямой суммой E x F x векторных пространств E x и F x .
  • Расслоение тензорных произведений E F определяется аналогичным образом с использованием послойного тензорного произведения векторных пространств.
  • Hom -расслоение Hom( E , F ) — это векторное расслоение, слой которого в точке x представляет собой пространство линейных отображений из E x в F x (которое часто обозначается Hom ( E x , F x ) или L ( E x , F х )). Hom-расслоение так называется (и полезно), потому что существует взаимно однозначное соответствие между гомоморфизмами векторного расслоения из E в F над X и сечениями Hom( E , F ) над X .
  • Основываясь на предыдущем примере, учитывая сечение s расслоения эндоморфизмов E Hom( , E ) и функцию f : X R , можно построить собственное расслоение , взяв слой над точкой x X в качестве f ( x )- собственное пространство линейного отображения s ( x ): E x E x . Хотя эта конструкция является естественной, если не принять меры, результирующий объект не будет иметь локальных тривиализаций. Рассмотрим случай, когда s является нулевой секцией, а f имеет изолированные нули. Слой над этими нулями в получившемся «собственном расслоении» будет изоморфен слою над ними в E , тогда как везде слой представляет собой тривиальное 0-мерное векторное пространство.
  • Двойственное векторное расслоение E* — это расслоение Hom( E , R × X ) гомоморфизмов расслоения E и тривиальное расслоение R × X . Существует канонический изоморфизм векторных расслоений Hom( E , F ) = * F. E

Каждая из этих операций является частным примером общей особенности расслоений: многие операции, которые можно выполнить над категорией векторных пространств , также можно выполнить и над категорией векторных расслоений функториальным образом . Это уточняется на языке гладких функторов . Операцией другого характера является построение обратных связок . Учитывая векторное расслоение E Y и непрерывное отображение f : X Y, можно «вернуть» E к векторному расслоению f*E над X . Слой над точкой x X по сути, просто слой над f ( x ) ∈ Y. — это , Следовательно, суммирование Уитни E F можно определить как расслоение обратного образа диагонального отображения из X в X × X , где расслоение над X × X есть E × F .

Замечание : Пусть X компакт . Любое векторное расслоение E над X является прямым слагаемым тривиального расслоения; т.е. существует расслоение E ' такое, что E E ' тривиально. Это не работает, если X не компактно: например, тавтологическое линейное расслоение над бесконечным вещественным проективным пространством не обладает этим свойством. [1]

Дополнительные структуры и обобщения

[ редактировать ]

Векторным расслоениям часто придается больше структуры. Например, векторные расслоения могут быть оснащены метрикой векторного расслоения . Обычно эта метрика должна быть положительно определенной , и в этом случае каждый слой E становится евклидовым пространством . Векторному расслоению с комплексной структурой соответствует комплексное векторное расслоение , которое также можно получить, заменив в определении вещественные векторные пространства на комплексные и потребовав, чтобы все отображения были комплексно-линейными в слоях. В более общем смысле, дополнительную структуру, налагаемую на векторное расслоение, обычно можно понять с точки зрения результирующего сокращения структурной группы расслоения . векторные расслоения над более общими топологическими полями Также могут использоваться .

Если вместо конечномерного векторного пространства слой F взять банаховым пространством , то банахово расслоение . получится [2] В частности, необходимо потребовать, чтобы локальные тривиализации были изоморфизмами банахова пространства (а не просто линейными изоморфизмами) на каждом из слоев и чтобы, кроме того, переходы

являются непрерывными отображениями банаховых многообразий . В соответствующей теории для C п расслоения, все отображения должны быть C п .

Векторные расслоения — это специальные расслоения , слои которых представляют собой векторные пространства и чей коцикл соблюдает структуру векторного пространства. Могут быть построены более общие пучки волокон, в которых волокно может иметь другую структуру; например, пучки сфер расслоены сферами.

Гладкие векторные расслоения

[ редактировать ]
Регулярность функций перехода, описывающих векторное расслоение, определяет тип векторного расслоения. функции непрерывного перехода g UV Если используются , результирующее векторное расслоение E будет только непрерывным, но не гладким. функции плавного перехода h UV Если используются , то результирующее векторное расслоение F является гладким векторным расслоением.

Векторное расслоение ( E , p , M ) является гладким , если E и M гладкие многообразия , p: E M — гладкое отображение, а локальные тривиализации являются диффеоморфизмами . В зависимости от требуемой степени гладкости существуют различные соответствующие понятия C п расслоения, бесконечно дифференцируемые C -расслоения и реальный аналитический C ой -связки. В этом разделе мы сосредоточимся на C. -связки. Самый важный пример C -векторное расслоение — это касательное расслоение ( TM , π TM , M ) к C -многообразие М .

Гладкое векторное расслоение можно охарактеризовать тем, что оно допускает описанные выше функции перехода, которые являются гладкими функциями на перекрытиях тривиализирующих карт U и V . То есть векторное расслоение E является гладким, если оно допускает покрытие тривиализацией открытых множеств такое, что для любых двух таких множеств U и V функция перехода

— гладкая функция в матричную группу GL(k, R ), которая является группой Ли .

Аналогично, если функции перехода:

С -векторные расслоения ( E , p , M ) обладают очень важным свойством, которого нет у более общих C - пучки волокон. А именно, касательное пространство T v ( E x ) в любой точке v E x естественным образом отождествляется с Ex самим слоем . Эта идентификация достигается с помощью вертикального подъема vl v : E x T v ( E x ), определяемого как

Вертикальный подъем также можно рассматривать как естественную букву C. изоморфизм -векторного расслоения p*E VE , где ( p*E , p*p , E ) — расслоение обратного образа ( E , p , M ) над E через p : E M и VE := Ker ( p * ) ⊂ TE вертикальное касательное расслоение , естественное векторное подрасслоение касательного расслоения ( TE , π TE , E полного пространства E. )

Полное пространство E любого гладкого векторного расслоения содержит естественное векторное поле V v := vl v v , известное как каноническое векторное поле . Более формально, V является гладким сечением ( TE , π TE , E ), и его также можно определить как бесконечно малый генератор действия группы Ли. задается послойным скалярным умножением. Каноническое векторное поле V полностью характеризует гладкую структуру векторного расслоения следующим образом. Для подготовки отметим, что когда X — гладкое векторное поле на гладком многообразии M и x M такое, что X x = 0, линейное отображение

не зависит от выбора линейной ковариантной производной ∇ на M . Каноническое векторное поле V на E удовлетворяет аксиомам

  1. Поток ( t , v ) → Φ т V ( v ) из V определен глобально.
  2. Для каждого v V существует единственный lim t→∞ Φ т V ( v ) ∈ V .
  3. C v ( V )∘ C v ( V ) = C v ( V ) всякий раз, когда V v = 0.
  4. Нулевое множество V коразмерность — это гладкое подмногообразие E , которого ( равна рангу C v ) V .

И наоборот, если E — любое гладкое многообразие, а V — гладкое векторное поле на E, существует уникальная структура векторного расслоения, удовлетворяющее условиям 1–4, то на E каноническим векторным полем которого является V .

Для любого гладкого векторного расслоения ( E , p , M ) общее пространство TE его касательного расслоения ( TE , π TE , E ) имеет естественную вторичную структуру векторного расслоения ( TE , p * , TM ), где p * - это толчок -вперед канонической проекции p : E M . Операции с векторным расслоением в этой вторичной структуре векторного расслоения — это продвижение вперед + * : T ( E × E ) → TE и λ * : TE TE исходного сложения +: E × E E и скалярное умножение λ: E Э.

К-теория

[ редактировать ]

Группа K-теории K ( X ) компактного топологического пространства Хаусдорфа определяется как абелева группа, порожденная классами изоморфизма [ E ] комплексных векторных расслоений по модулю отношения , которое всякий раз, когда у нас есть точная последовательность затем в топологической К-теории . КО-теория — это версия этой конструкции, которая рассматривает вещественные векторные расслоения. Также можно определить K-теорию с компактными носителями , а также высшие группы K-теории.

Знаменитая теорема периодичности Рауля Ботта утверждает, что K-теория любого пространства X изоморфна теории S 2 X двойная подвеска X. ,

В алгебраической геометрии рассматриваются группы К-теории, состоящие из когерентных пучков на схеме X , а также группы К-теории векторных расслоений на схеме с указанным выше отношением эквивалентности . Эти две конструкции одинаковы при условии, что лежащая в их основе схема является гладкой .

См. также

[ редактировать ]

Общие понятия

[ редактировать ]

Топология и дифференциальная геометрия

[ редактировать ]
  • Соединение : понятие, необходимое для дифференциации участков векторных расслоений.
  • Калибровочная теория : общее исследование связей векторных расслоений и главных расслоений и их связи с физикой.

Алгебраическая и аналитическая геометрия

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]

Источники

[ редактировать ]
  • Авраам, Ральф Х .; Марсден, Джеррольд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Бенджамин-Каммингс, см. раздел 1.5, ISBN.  978-0-8053-0102-1 .
  • Хэтчер, Аллен (2003), Векторные расслоения и K-теория (изд. 2.0) .
  • Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-42627-1 , см. раздел 1.5.
  • Ланг, Серж (1995), Дифференциальные и римановы многообразия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94338-1 .
  • Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия , Аспирантура по математике , том. 107, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-4815-9 .
  • Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-95448-1 см. гл.5
  • Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин/Бостон: Уолтер Де Грюйтер, ISBN  978-3-11-031622-3 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 07f88e75cdf6700c5d81f1bbd092d4b3__1712670060
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/07/b3/07f88e75cdf6700c5d81f1bbd092d4b3.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Vector bundle - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)