Структура вторичного векторного расслоения

В математике , особенно в дифференциальной топологии , структура вторичного векторного расслоения относится к естественной векторного расслоения структуре $(TE, p *, TM)$ общем пространстве TE касательного расслоения гладкого векторного расслоения $(E, p, M)$ , индуцированного проталкиванием $p * : TE \to TM$ на исходная карта $p : E \to M.$ проекции Это приводит к образованию векторного расслоения двойной структуры $(TE, E, TM, M)$ .

В частном случае $(E, p, M) = (TM, π TM, M)$ , где $TE = TTM$ — двойное касательное расслоение , вторичное векторное расслоение $(TTM, (π TM) *, TM)$ изоморфно касательное расслоение $(TTM, π TTM, TM)$ к $TM$ через канонический флип .

Построение структуры вторичного векторного расслоения

Пусть $(E, p, M)$ — гладкое векторное расслоение $N.$ ранга Тогда прообраз $(p *) -1 (X) \subset TE$ любого касательного вектора $X$ в $TM$ при прямом проецировании $p * : TE \to TM$ канонической проекции $p : E \to M$ является гладким подмногообразием размерности $2 N$ , и оно становится векторным пространством при нажатии -вперед

+_{*}:T(E\times E)\to TE,\qquad \lambda _{*}:TE\to TE

исходного сложения и скалярного умножения

+:E\times E\to E,\qquad \lambda :E\to E

как его операции в векторном пространстве. Тройка $(TE, p *, TM)$ становится гладким векторным расслоением с этими операциями векторного пространства на ее слоях.

Доказательство

Пусть $(U, φ)$ — локальная система координат на базовом многообразии $M$ с $φ (x) = (x 1, ..., х н)$ и пусть

{\begin{cases}\psi :W\to \varphi (U)\times \mathbf {R} ^{N}\\\psi \left(v^{k}e_{k}|_{x}\right):=\left(x^{1},\ldots ,x^{n},v^{1},\ldots ,v^{N}\right)\end{cases}}

быть системой координат на $W:=p^{-1}(U)\subset E$ приспособился к этому. Затем

p_{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{p(v)},

слой структуры вторичного векторного расслоения в точке $в$ TxM $имеет поэтому X$ вид

p_{*}^{-1}(X)=\left\{X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\ :\ v\in E_{x};Y^{1},\ldots ,Y^{N}\in \mathbf {R} \right\}.

Теперь оказывается, что

\chi \left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{p(v)},\left(v^{1},\ldots ,v^{N},Y^{1},\ldots ,Y^{N}\right)\right)

дает локальную тривиализацию $χ : TW \to TU \times R 2 Н$ for $(TE, p *, TM)$ и дальнейшие операции исходного векторного пространства читаются в адаптированных координатах как

\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)+_{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{w}+Z^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{w}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v+w}+(Y^{\ell }+Z^{\ell }){\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v+w}

и

\lambda _{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{\lambda v}+\lambda Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{\lambda v},

поэтому каждый слой $(p *) -1 (X) \subset TE$ — векторное пространство, а тройка $(TE, p *, TM)$ — гладкое векторное расслоение.

Линейность связностей на векторных расслоениях

Общая связность Эресмана $TE = HE \oplus VE$ на векторном расслоении $(E, p, M)$ может быть охарактеризована в терминах коннекторного отображения.

{\begin{cases}\kappa :T_{v}E\to E_{p(v)}\\\kappa (X):=\operatorname {vl} _{v}^{-1}(\operatorname {vpr} X)\end{cases}}

где $vl v : E \to V v E$ — вертикальный подъем , а $vpr v : T v E \to V v E$ — вертикальная проекция . Отображение

{\begin{cases}\nabla :\Gamma (TM)\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)\\\nabla _{X}v:=\kappa (v_{*}X)\end{cases}}

индуцированная связностью Эресмана, является ковариантной производной на $Γ(E)$ в том смысле, что

{\begin{aligned}\nabla _{X+Y}v&=\nabla _{X}v+\nabla _{Y}v\\\nabla _{\lambda X}v&=\lambda \nabla _{X}v\\\nabla _{X}(v+w)&=\nabla _{X}v+\nabla _{X}w\\\nabla _{X}(\lambda v)&=\lambda \nabla _{X}v\\\nabla _{X}(fv)&=X[f]v+f\nabla _{X}v\end{aligned}}

тогда и только тогда, когда отображение коннектора линейно относительно структуры вторичного векторного расслоения $(TE, p *, TM)$ на $TE$ . Тогда связь называется линейной . Обратите внимание, что карта соединителя автоматически линейна относительно структуры касательного расслоения $(TE, π TE, E)$ .

См. также

Ссылки

П.Михор. Темы дифференциальной геометрии, Американское математическое общество (2008).