Двойной касательный пучок

В математике , особенно в дифференциальной топологии , двойное касательное расслоение или второе касательное расслоение относится к касательному расслоению ( TTM , π _TTM , TM ) всего пространства TM касательного расслоения ( TM , π _TM , M ) . гладкого многообразия М . Примечание об обозначениях: в этой статье мы обозначаем карты проекций их областями определения, например, π _TTM : TTM → TM . Некоторые авторы вместо этого индексируют эти карты по их диапазонам, поэтому для них эта карта будет записана π _TM .

Второе касательное расслоение возникает при изучении связностей и обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, т. е. структур (полу)распыления на гладких многообразиях, и его не следует путать с струйным расслоением второго порядка .

Структура вторичного векторного расслоения и канонический флип

Поскольку ( TM , π _TM , M ) само по себе является векторным расслоением, его касательное расслоение имеет структуру вторичного векторного расслоения ( TTM ,( TM ₎ * _, TM ) , где ( π _TM ) _* : TTM → TM π выдвижение канонической проекции π _TM : TM → M . Далее мы обозначаем

$\xi =\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M,\qquad X=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M$

и применить соответствующую систему координат

$\xi \mapsto (x^{1},\ldots ,x^{n},\xi ^{1},\ldots ,\xi ^{n})$

на ТМ . Тогда слой структуры вторичного векторного расслоения в точке X ∈ T _x M принимает вид

$(\pi _{TM})_{*}^{-1}(X)={\Big \{}\ X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }\ {\Big |}\ \xi \in T_{x}M\ ,\ Y^{1},\ldots ,Y^{n}\in \mathbb {R} \ {\Big \}}.$

Двойное касательное расслоение — это двойное векторное расслоение .

Канонический флип представляет собой гладкую инволюцию j : TTM → TTM , которая меняет местами эти структуры векторного пространства.в том смысле, что это изоморфизм векторного расслоения между ( TTM , π _TTM , TM ) и ( TTM ,( π _TM ) _* , TM ). В связанных координатах на ТМ это читается как

$j{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }{\Big )}=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{X}+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{X}.$

Канонический флип обладает тем свойством, что для любого f : R ² → М ,

${\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}=j\circ {\frac {\partial f}{{\partial s}{\partial t}}}$

где s и t — координаты стандартного базиса R ² . Заметим, что обе частные производные являются функциями из R ² в ТТМ .

Фактически, это свойство можно использовать для внутреннего определения канонического флипа. Действительно, есть погружение. п : Дж ² ₀ ( Р ² ,M) → TTM , заданный формулой

$p([f])={\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}(0,0)$

где p можно определить в пространстве двух струй в нуле, поскольку зависит от f только до второго порядка в нуле. Рассматриваем заявку:

$J:J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\to J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\quad /\quad J([f])=[f\circ \alpha ]$

где α( s , т ) = ( т , s ). Тогда J совместим с проекцией p и индуцирует канонический флип фактора TTM .

Канонические тензорные поля на касательном расслоении

Как и для любого векторного расслоения , касательные пространства T _ξ ( T _x M ) слоев T _x M касательного расслоения ( TM , π _TM , M ) слоями T _x M. можно отождествить с самими Формально это достигается за счет вертикального подъема , который является естественным изоморфизмом векторного пространства. vl _ξ : T _x M → V _ξ ( T _x M ), определяемый как

$(\operatorname {vl} _{\xi }X)[f]:={\frac {d}{dt}}{\Big |}_{t=0}f(x,\xi +tX),\qquad f\in C^{\infty }(TM).$

Вертикальный лифт также можно рассматривать как естественный изоморфизм векторного расслоения. vl:(π _TM ) ^* ТМ → ВТМ из обратного расслоения ( TM , π _TM , M ) над π _TM : TM → M на вертикальное касательное расслоение

$VTM:=\operatorname {Ker} (\pi _{TM})_{*}\subset TTM.$

Вертикальный лифт позволяет нам определить каноническое векторное поле

$V:TM\to TTM;\qquad V_{\xi }:=\operatorname {vl} _{\xi }\xi ,$

гладкое в щелевом касательном расслоении TM \0. Каноническое векторное поле можно также определить как бесконечно малый генератор действия группы Ли.

$\mathbb {R} \times (TM\setminus 0)\to TM\setminus 0;\qquad (t,\xi )\mapsto e^{t}\xi .$

В отличие от канонического векторного поля, которое можно определить для любого векторного расслоения, канонический эндоморфизм

$J:TTM\to TTM;\qquad J_{\xi }X:=\operatorname {vl} _{\xi }(\pi _{TM})_{*}X,\qquad X\in T_{\xi }TM$

является специальным для касательного расслоения. Канонический эндоморфизм J удовлетворяет

$\operatorname {Ran} (J)=\operatorname {Ker} (J)=VTM,\qquad {\mathcal {L}}_{V}J=-J,\qquad [JX,JY]=J[JX,Y]+J[X,JY],$

и она также известна как касательная структура по следующей причине. Если ( E , p , M ) — любое векторное расслоениес каноническим векторным полем V и (1,1)-тензорным полем J , удовлетворяющим перечисленным выше свойствам, с VE вместо VTM , то векторное расслоение ( E , p , M ) изоморфно касательному расслоению ( TM , π _TM , M ) базового многообразия, а J соответствует касательной структуре TM в этом изоморфизме.

Есть и более сильный результат такого рода. который утверждает, что если N является 2 n -мерным многообразием и если существует (1,1)-тензорное поле J на ​​N , которое удовлетворяет условиям

$\operatorname {Ran} (J)=\operatorname {Ker} (J),\qquad [JX,JY]=J[JX,Y]+J[X,JY],$

тогда N диффеоморфно открытому множеству тотального пространства касательного расслоения некоторого n -мерного многообразия M , а J соответствует касательной структуре TM в этом диффеоморфизме.

В любой ассоциированной системе координат на TM каноническое векторное поле и канонический эндоморфизм имеют координатные представления

$V=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}},\qquad J=dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}.$

(Полу)распылительные конструкции

Полураспыленная структура на гладком многообразии M — это по определению гладкое векторное поле H на TM \0 такое, что JH = V . Эквивалентное определение состоит в том, что j ( H ) = H , где j : TTM → TTM — канонический флип. Полуспрей H является спреем , если при этом [ V , H ]= H .

Спрей- и полуспрей-структуры являются инвариантными версиями обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на M . Разница между структурами распыления и полураспыления заключается в том, что кривые растворения распылений инвариантны при положительных репараметризациях. как наборы точек на M , тогда как кривые решения полураспылений обычно таковыми не являются.

Нелинейные ковариантные производные на гладких многообразиях

Канонический флип позволяет определить нелинейные ковариантные производные на гладких многообразиях следующим образом. Позволять

$T(TM\setminus 0)=H(TM\setminus 0)\oplus V(TM\setminus 0)$

— связность Эресмана на щелевом касательном расслоении TM \0 и рассмотрим отображение

$D:(TM\setminus 0)\times \Gamma (TM)\to TM;\quad D_{X}Y:=(\kappa \circ j)(Y_{*}X),$

где Y _* : TM → TTM — продвижение вперед, j : TTM → TTM — канонический переворот, а κ: T ( TM /0) → TM /0 — карта соединителей. Отображение D _X является дифференцированием в модуле Γ ( TM ) гладких векторных полей на M в том смысле, что

• $D_{X}(\alpha Y+\beta Z)=\alpha D_{X}Y+\beta D_{X}Z,\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$.
• $D_{X}(fY)=X[f]Y+fD_{X}Y,\qquad \qquad \qquad f\in C^{\infty }(M)$.

Любое отображение D _X с этими свойствами называется (нелинейной) ковариантной производной. на М. ​Термин «нелинейный» относится к тому факту, что этот вид ковариантной производной D _X on не обязательно является линейным относительно направления X ∈ TM /0 дифференцирования.

Глядя на локальные представления, можно подтвердить, что связности Эресмана на ( TM /0,π _{TM /0} , M ) и нелинейные ковариантные производные на M находятся во взаимно однозначном соответствии. Более того, если D _X линеен в X , то связность Эресмана линейна в структуре вторичного векторного расслоения , и D _X совпадает со своей линейной ковариантной производной.

См. также

• Спрей (математика)
• Структура вторичного векторного расслоения
• Многообразие Финслера