Спрей (математика)

В дифференциальной геометрии спрей систему обыкновенных дифференциальных уравнений — это векторное поле H на касательном расслоении TM которое кодирует квазилинейную второго порядка на базовом многообразии M. , Обычно от струи требуется однородность в том смысле, что ее интегральные кривые t →Φ _H ^т (ξ)ε TM подчиняются правилу Φ _H ^т (λξ)=Φ _H ^λt (ξ) в положительных репараметризациях. Если это требование опустить, Н называют полураспылителем .

Спреи естественным образом возникают в римановой и финслеровой геометрии как геодезические спреи которых , интегральные кривые являются в точности касательными к кривым, минимизирующим локальную длину.Полусраспыления естественным образом возникают как экстремальные кривые интегралов действия в лагранжевой механике . Обобщая все эти примеры, можно сказать, что любая (возможно, нелинейная) связность на M индуцирует полуспрей H , и наоборот, любой полуспрей H индуцирует нелинейную связность без кручения на M . Если исходное соединение без кручения, оно совпадает со соединением, индуцированным H , а однородные соединения без кручения находятся во взаимно однозначном соответствии с полными распылениями.

Формальные определения

Пусть M — дифференцируемое многообразие и ( TM ,π _TM , M ) — его касательное расслоение. Тогда векторное поле H на TM (т. е. сечение двойного касательного расслоения TTM ) является полураспылением на M , если выполняется любое из трех следующих эквивалентных условий:

• (π _TM ) _* ЧАС _ξ = ξ.
• JH = V , где J — касательная структура на TM , а V — каноническое векторное поле на TM \0.
• j ∘ H = H , где j : TTM → TTM — канонический флип , а H рассматривается как отображение TM → TTM .

Полураспыление H на M является (полным) распылением, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• H _λξ = λ _* (λ H _ξ ), где λ _* : TTM → TTM — это результат умножения λ: TM → TM на положительный скаляр λ>0.
• Производная Ли от H вдоль канонического векторного поля V удовлетворяет условию [ V , H ]= H .
• Интегральные кривые t →Φ _H ^т (ξ)ε TM \0 из H удовлетворяют Φ _H ^т (λx)=λΦ _H ^λt (ξ) для любого λ>0.

Позволять $(x^{i},\xi ^{i})$ быть локальными координатами на $TM$ связанный с местными координатами $(x^{i}$) на $M$ используя координатный базис в каждом касательном пространстве. Затем $H$ представляет собой полуспрей на $M$ если он имеет локальное представление формы

$H_{\xi }=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big |}_{(x,\xi )}-2G^{i}(x,\xi ){\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}{\Big |}_{(x,\xi )}.$

в каждой связанной системе координат на TM . Полураспыление H является (полным) распылением тогда и только тогда, когда коэффициенты распыления G ^я удовлетворить

$G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^{i}(x,\xi ),\quad \lambda >0.\,$

Полураспылители в лагранжевой механике

Физическая система моделируется в лагранжевой механике функцией Лагранжа L : TM → R на касательном расслоении некоторого конфигурационного M. пространства Динамический закон получается из принципа Гамильтона, который утверждает, что временная эволюция γ:[ a , b ]→ M состояния системы стационарна для интеграла действия

${\mathcal {S}}(\gamma ):=\int _{a}^{b}L(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))dt$.

В соответствующих координатах на ТМ первая вариация интеграла действия имеет вид

${\frac {d}{ds}}{\Big |}_{s=0}{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big |}_{a}^{b}{\frac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}X^{i}-\int _{a}^{b}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{j}\partial \xi ^{i}}}{\ddot {\gamma }}^{j}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{j}\partial \xi ^{i}}}{\dot {\gamma }}^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}X^{i}dt,$

где X :[ a , b ]→ R — векторное поле вариации, связанное с вариацией γ _s :[ a , b ]→ M вокруг γ( t ) = γ ₀ ( t ). Эту формулу первого варианта можно преобразовать в более информативную форму, введя следующие понятия:

• Ковектор $\alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i}|_{x}\in T_{x}^{*}M$ с $\alpha _{i}(x,\xi )={\tfrac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}(x,\xi )$ представляет собой сопряженный импульс $\xi \in T_{x}M$.
• Соответствующая одноформенная $\alpha \in \Omega ^{1}(TM)$ с $\alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i}|_{(x,\xi )}\in T_{\xi }^{*}TM$ — гильбертова форма, связанная с лагранжианом.
• Билинейная форма $g_{\xi }=g_{ij}(x,\xi )(dx^{i}\otimes dx^{j})|_{x}$ с $g_{ij}(x,\xi )={\tfrac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial \xi ^{j}}}(x,\xi )$ — фундаментальный тензор лагранжиана в $\xi \in T_{x}M$.
• Лагранжиан удовлетворяет условию Лежандра, если фундаментальный тензор $\displaystyle g_{\xi }$ невырожден во всех случаях $\xi \in T_{x}M$. Тогда обратная матрица $\displaystyle g_{ij}(x,\xi )$ обозначается $\displaystyle g^{ij}(x,\xi )$.
• Энергия , связанная с лагранжианом, равна $\displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )$.

Если условие Лежандра выполнено, то d αεΩ ² ( TM ) — симплектическая форма , и существует единственное гамильтоново векторное поле H на TM, соответствующее функции Гамильтона E такое, что

$\displaystyle dE=-\iota _{H}d\alpha$.

Пусть ( Х ^я , И ^я ) — компоненты гамильтонова векторного поля H в ассоциированных координатах на TM . Затем

$\iota _{H}d\alpha =Y^{i}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}dx^{j}-X^{i}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}d\xi ^{j}$

и

$dE={\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{i}\partial \xi ^{j}}}\xi ^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}dx^{i}+\xi ^{j}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}d\xi ^{i}$

поэтому мы видим, что гамильтоново векторное поле H представляет собой полураспыление на конфигурационном пространстве M с коэффициентами распыления

$G^{k}(x,\xi )={\frac {g^{ki}}{2}}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}\xi ^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}.$

Теперь первую вариационную формулу можно переписать в виде

${\frac {d}{ds}}{\Big |}_{s=0}{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big |}_{a}^{b}\alpha _{i}X^{i}-\int _{a}^{b}g_{ik}({\ddot {\gamma }}^{k}+2G^{k})X^{i}dt,$

и мы видим, что γ[ a , b ]→ M стационарно для интеграла действия с фиксированными конечными точками тогда и только тогда, когда его касательная кривая γ':[ a , b ]→ TM является интегральной кривой для гамильтонова векторного поля H . Следовательно, динамика механических систем описывается полураспылениями, возникающими из интегралов действия.

Геодезический спрей

Основная статья: Геодезический спрей

Дополнительная информация: Геодезический поток.

Локально минимизирующие длину кривые римановых и финслеровых многообразий называются геодезическими . Используя рамки лагранжевой механики, можно описать эти кривые с помощью структур распыления. Определите функцию Лагранжа на TM с помощью

$L(x,\xi )={\tfrac {1}{2}}F^{2}(x,\xi ),$

где F : TM → R — функция Финслера . В римановом случае используется F ² ( Икс ,ξ) знак равно г _ij ( Икс )ξ ^я х ^дж . Теперь представим понятия из раздела выше. В римановом случае оказывается, что фундаментальный тензор ( _gij x , ξ) — это просто риманова метрика ( _gij x ) . В общем случае условие однородности

$F(x,\lambda \xi )=\lambda F(x,\xi ),\quad \lambda >0$

функции Финслера влечет за собой следующие формулы:

$\alpha _{i}=g_{ij}\xi ^{i},\quad F^{2}=g_{ij}\xi ^{i}\xi ^{j},\quad E=\alpha _{i}\xi ^{i}-L={\tfrac {1}{2}}F^{2}.$

С точки зрения классической механики последнее уравнение утверждает, что вся энергия в системе ( M , L ) находится в кинетической форме. Кроме того, получаются свойства однородности

$g_{ij}(\lambda \xi )=g_{ij}(\xi ),\quad \alpha _{i}(x,\lambda \xi )=\lambda \alpha _{i}(x,\xi ),\quad G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^{i}(x,\xi ),$

из которых последний говорит, что векторное поле Гамильтона H для этой механической системы представляет собой полный спрей. Геодезические постоянной скорости основного финслерова (или риманова) многообразия описываются этим спреем по следующим причинам:

• Поскольку g _ξ положительно определена для финслеровых пространств, каждая достаточно короткая стационарная кривая для функционала длины является минимизирующей длину.
• Каждая стационарная кривая интеграла действия имеет постоянную скорость. $F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))=\lambda$, поскольку энергия автоматически является константой движения.
• Для любой кривой $\gamma :[a,b]\to M$ постоянной скорости интеграл действия и функционал длины связаны соотношением

${\mathcal {S}}(\gamma )={\frac {(b-a)\lambda ^{2}}{2}}={\frac {\ell (\gamma )^{2}}{2(b-a)}}.$

Следовательно, кривая $\gamma :[a,b]\to M$ стационарен относительно интеграла действия тогда и только тогда, когда он имеет постоянную скорость и стационарен относительно функционала длины. Гамильтоново векторное поле H называется геодезическим спреем многообразия Финслера ( M , F ), а соответствующий поток Φ _H ^т (ξ) называется геодезическим потоком .

Соответствие нелинейным связям

Полу-спрей $H$ на гладком многообразии $M$ определяет связность Эресмана $T(TM\setminus 0)=H(TM\setminus 0)\oplus V(TM\setminus 0)$ на касательном пучке щели через его горизонтальную и вертикальную проекции

$h:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0)\quad ;\quad h={\tfrac {1}{2}}{\big (}I-{\mathcal {L}}_{H}J{\big )},$

$v:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0)\quad ;\quad v={\tfrac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.$

Эта связность на TM \0 всегда имеет исчезающий тензор кручения, который определяется как скобка Фрелихера-Нейенхейса Т = [ Дж , v ]. В более элементарных терминах кручение можно определить как

$\displaystyle T(X,Y)=J[hX,hY]-v[JX,hY]-v[hX,JY].$

Вводя каноническое векторное поле V на TM \0 и присоединенную структуру Θ индуцированной связи, горизонтальную часть полураспыла можно записать как hH =Θ V . Вертикальная часть полураспыления ε= vH называется первым инвариантом распыления , а сам полураспыл H распадается на

$\displaystyle H=\Theta V+\epsilon .$

Первый инвариант распыления связан с напряжением

$\tau ={\mathcal {L}}_{V}v={\tfrac {1}{2}}{\mathcal {L}}_{[V,H]-H}J$

индуцированной нелинейной связи через обыкновенное дифференциальное уравнение

${\mathcal {L}}_{V}\epsilon +\epsilon =\tau \Theta V.$

Следовательно, первый инвариант распыления ε (и, следовательно, весь полураспыл H ) можно восстановить из нелинейной связи с помощью

$\epsilon |_{\xi }=\int \limits _{-\infty }^{0}e^{-s}(\Phi _{V}^{-s})_{*}(\tau \Theta V)|_{\Phi _{V}^{s}(\xi )}ds.$

Из этого соотношения также видно, что индуцированная связность однородна тогда и только тогда, когда H — полный спрей.

Якоби поля опрыскивателей и полуопрыскивателей

Хорошим источником полей Якоби полураспылений является раздел 4.4 «Уравнения Якоби полураспыления» общедоступной книги «Геометрия Финслера-Лагранжа» Букэтару и Мирона . Особо следует отметить их концепцию динамической ковариантной производной . В другой статье Букэтару, Константинеску и Даль связывают эту концепцию с концепцией оператора двойной производной Косамби .

Хорошее введение в методы Косамби можно найти в статье Что такое теория Косамби-Картана-Черна? .

Ссылки

• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Прентис-Холл .
• Ланг, Серж (1999), Основы дифференциальной геометрии , Springer-Verlag .