Чешские когомологии

Треугольник Пенроуза изображает нетривиальный элемент первых когомологий кольца со значениями в группе расстояний от наблюдателя.

В математике , особенно в алгебраической топологии , когомологии Чеха — это теория когомологий, основанная на свойствах пересечения открытых покрытий топологического пространства . Он назван в честь математика Эдуарда Чеха .

Мотивация

Пусть X — топологическое пространство и пусть ${\mathcal {U}}$ быть открытой крышкой X . Позволять $N({\mathcal {U}})$ обозначают нерв покрытия. Идея когомологий Чеха состоит в том, что для открытого покрытия ${\mathcal {U}}$ состоящее из достаточно малых открытых множеств, результирующий симплициальный комплекс $N({\mathcal {U}})$ пространства X. должна быть хорошей комбинаторной моделью Для такого покрытия когомологии Чеха X определяются как симплициальные когомологии нерва. Эту идею можно формализовать понятием хорошего прикрытия . Однако более общий подход состоит в том, чтобы взять прямой предел групп когомологий нерва по системе всех возможных открытых покрытий X , упорядоченных уточнением . Именно такой подход принят ниже.

Строительство

Пусть X — топологическое пространство и пусть ${\mathcal {F}}$ — предпучок абелевых групп на X . Позволять ${\mathcal {U}}$ быть открытой X . крышкой

Симплекс

q ​ - симплекс σ ${\mathcal {U}}$ представляет собой упорядоченный набор q +1 наборов, выбранных из ${\mathcal {U}}$, такой, что пересечение всех этих множеств непусто. Это пересечение называется носителем σ и обозначается |σ|.

Теперь позвольте $\sigma =(U_{i})_{i\in \{0,\ldots ,q\}}$ быть таким q -симплексом. j -я частичная граница σ определяется как ( q −1)-симплекс, полученный удалением j -го множества из σ, то есть:

$\partial _{j}\sigma :=(U_{i})_{i\in \{0,\ldots ,q\}\setminus \{j\}}.$

Граница : σ определяется как знакопеременная сумма частичных границ

$\partial \sigma :=\sum _{j=0}^{q}(-1)^{j+1}\partial _{j}\sigma$

рассматривается как элемент свободной абелевой группы, натянутой на симплексы ${\mathcal {U}}$.

Кочин

A q - коцепь ​ ${\mathcal {U}}$ с коэффициентами в ${\mathcal {F}}$ — это отображение, которое ставит в соответствие каждому q -симплексу σ элемент из ${\mathcal {F}}(|\sigma |)$, и обозначим множество всех q -коцепей ${\mathcal {U}}$ с коэффициентами в ${\mathcal {F}}$ к $C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})$. $C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})$ является абелевой группой методом поточечного сложения.

Дифференциал

Коцепные группы могут быть объединены в коцепной комплекс. $(C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta )$ определив кограничный оператор $\delta _{q}:C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to C^{q+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})$ к:

$\quad (\delta _{q}f)(\sigma ):=\sum _{j=0}^{q+1}(-1)^{j}\mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}f(\partial _{j}\sigma ),$

где $\mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}$ – морфизм ограничения из ${\mathcal {F}}(|\partial _{j}\sigma |)$ к ${\mathcal {F}}(|\sigma |).$ (Обратите внимание, что ∂ _j σ ⊆ σ, но |σ| ⊆ |∂ _j σ|.)

Расчет показывает, что $\delta _{q+1}\circ \delta _{q}=0.$

Кограничный оператор аналогичен внешней производной когомологий Де Рама , поэтому его иногда называют дифференциал коцепного комплекса .

Коцикл

q -коциклом , -коцепь называется q если она находится в ядре $\delta$, следовательно $Z^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=\ker(\delta _{q})\subseteq C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})$ есть множество всех q -коциклов.

Таким образом, ( q −1)-коцепь $f$ является коциклом, если для всех q -простых $\sigma$ состояние коцикла

$\sum _{j=0}^{q}(-1)^{j}\mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}f(\partial _{j}\sigma )=0$

держит.

0-коцикл $f$ представляет собой совокупность локальных разделов ${\mathcal {F}}$ удовлетворяющее отношению совместимости на каждом пересекающемся $A,B\in {\mathcal {U}}$

$f(A)|_{A\cap B}=f(B)|_{A\cap B}$

1-коцикл $f$ удовлетворяет для каждого непустого $U=A\cap B\cap C$ с $A,B,C\in {\mathcal {U}}$

$f(B\cap C)|_{U}-f(A\cap C)|_{U}+f(A\cap B)|_{U}=0$

Сограничный

q -кограницей , -коцепь называется q если она находится в образе $\delta$ и $B^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=\mathrm {Im} (\delta _{q-1})\subseteq C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})$ есть множество всех q -кограниц.

Например, 1-коцепь $f$ является 1-кограницей, если существует 0-коцепь $h$ такой, что для каждого пересекающегося $A,B\in {\mathcal {U}}$

$f(A\cap B)=h(A)|_{A\cap B}-h(B)|_{A\cap B}$

Когомологии

Чешские когомологии ​ ${\mathcal {U}}$ со значениями в ${\mathcal {F}}$ определяется как когомология коцепного комплекса $(C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta )$. Таким образом, q -я когомология Чеха имеет вид

${\check {H}}^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=H^{q}((C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta ))=Z^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})/B^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})$.

Чеховские когомологии X определяются путем рассмотрения уточнений открытых накрытий. Если ${\mathcal {V}}$ представляет собой уточнение ${\mathcal {U}}$ тогда есть отображение в когомологиях ${\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to {\check {H}}^{*}({\mathcal {V}},{\mathcal {F}}).$ Открытые покрытия X при уточнении образуют направленное множество , поэтому указанное выше отображение приводит к прямой системе абелевых групп. Чеховские когомологии X в со значениями ${\mathcal {F}}$ определяется как прямой предел ${\check {H}}(X,{\mathcal {F}}):=\varinjlim _{\mathcal {U}}{\check {H}}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})$ этой системы.

Чеховские когомологии X с коэффициентами в фиксированной абелевой группе A обозначаются ${\check {H}}(X;A)$, определяется как ${\check {H}}(X,{\mathcal {F}}_{A})$ где ${\mathcal {F}}_{A}$ — постоянный пучок на X, определяемый A .

Вариант когомологий Чеха, называемый исчисляемыми когомологиями Чеха , определяется, как указано выше, за исключением того, что все рассматриваемые открытые покрытия должны быть нумеруемыми : то есть существует разбиение единицы {ρ _i } такое, что каждое поддерживает $\{x\mid \rho _{i}(x)>0\}$ содержится в каком-то элементе обложки. Если X паракомпактно , то счетные когомологии и Хаусдорф Чеха согласуются с обычными когомологиями Чеха.

Связь с другими теориями когомологий

Если X гомотопически эквивалентен комплексу CW , то когомологии Чеха ${\check {H}}^{*}(X;A)$ изоморфен естественно сингулярным когомологиям $H^{*}(X;A)\,$. Если X — дифференцируемое многообразие , то ${\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )$ также естественно изоморфна когомологиям де Рама ; статья о когомологиях де Рама дает краткий обзор этого изоморфизма. Для менее благополучных пространств когомологии Чеха отличаются от сингулярных когомологий. Например, если X — синусоидальная кривая замкнутого тополога , то ${\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} ,$ тогда как $H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.$

Если X — дифференцируемое многообразие и накрытие ${\mathcal {U}}$ X α хорошим покрытием» ( т.е. все множества U _из стягиваемы является « в точку, и все конечные пересечения множеств ${\mathcal {U}}$ либо пусты, либо стягиваемы в точку), то ${\check {H}}^{*}({\mathcal {U}};\mathbb {R} )$ изоморфна когомологиям де Рама.

Если X компактен по Хаусдорфу, то когомологии Чеха (с коэффициентами в дискретной группе) изоморфны когомологиям Александера-Спанье .

Для предварительного снопа ${\mathcal {F}}$ на X , пусть ${\mathcal {F}}^{+}$ обозначим его слоёвку . Тогда у нас есть естественная карта сравнения

$\chi :{\check {H}}^{*}(X,{\mathcal {F}})\to H^{*}(X,{\mathcal {F}}^{+})$

от когомологий Чеха к когомологиям пучков . Если X паракомпактно Хаусдорфово, то ${\textstyle \chi }$ является изоморфизмом. В более общем смысле, ${\textstyle \chi }$ является изоморфизмом, если когомологии Чеха всех предпучков на X с нулевой пучковостью обращаются в нуль.

В алгебраической геометрии

Чехические когомологии можно определить в более общем смысле для объектов на сайте C, наделенных топологией. Это относится, например, к узлу Зарисского или этальному схемы X. узлу Чеховские когомологии со значениями в некотором пучке ${\mathcal {F}}$ определяется как

${\check {H}}^{n}(X,{\mathcal {F}}):=\varinjlim _{\mathcal {U}}{\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}).$

где копредел пробегает все покрытия (относительно выбранной топологии) X . Здесь ${\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})$ определяется так же, как указано выше, за исключением того, что r -кратные пересечения открытых подмножеств внутри объемлющего топологического пространства заменяются r -кратным расслоенным произведением

${\mathcal {U}}^{\times _{X}^{r}}:={\mathcal {U}}\times _{X}\dots \times _{X}{\mathcal {U}}.$

Как и в классической ситуации топологических пространств, всегда существует отображение

${\check {H}}^{n}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{n}(X,{\mathcal {F}})$

от когомологий Чеха к когомологиям пучков. Это всегда изоморфизм степеней n = 0 и 1, но в общем случае это может быть не так. Для топологии Зарисского на нетеровой разделенной схеме когомологии Чеха и пучка согласуются для любого квазикогерентного пучка . Для этальной топологии две когомологии согласуются для любого этального пучка на X при условии, что любой конечный набор точек X содержится в некоторой открытой аффинной подсхеме. , например, если X квазипроективно Это выполняется над аффинной схемой .

Возможная разница между когомологиями Чеха и когомологиями пучка является мотивацией для использования гиперпокрытий : это более общие объекты, чем нерв Чеха.

$N_{X}{\mathcal {U}}:\dots \to {\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\to {\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\to {\mathcal {U}}.$

Гиперпокрытие K _∗ пространства X — это некоторый симплициальный объект в C . совокупность объектов Kn _{, т. е} вместе с картами границ и вырождения. Наложение связки ${\mathcal {F}}$ в K _∗ дает симплициальную абелеву группу ${\textstyle {\mathcal {F}}(K_{\ast })}$ чья n -я группа когомологий обозначается ${\textstyle H^{n}({\mathcal {F}}(K_{\ast }))}$. (Эта группа аналогична ${\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})$ в случае, если K _∗ равно $N_{X}{\mathcal {U}}$.) Тогда можно показать, что существует канонический изоморфизм

$H^{n}(X,{\mathcal {F}})\cong \varinjlim _{K_{*}}H^{n}({\mathcal {F}}(K_{*})),$

где копредел теперь проходит по всем гиперпокрытиям.

Примеры

Самый простой пример когомологий Чеха даёт случай, когда предпучок ${\mathcal {F}}$ является постоянным пучком , например ${\mathcal {F}}=\mathbb {R}$. В таких случаях каждый $q$-кочин $f$ это просто функция, которая отображает все $q$-симплекс к $\mathbb {R}$. Например, мы вычисляем первые когомологии Чеха со значениями в $\mathbb {R}$ единичного круга $X=S^{1}$. Разделение $X$ на три дуги и выбрав достаточно малые открытые окрестности, получим открытое накрытие ${\mathcal {U}}=\{U_{0},U_{1},U_{2}\}$ где $U_{i}\cap U_{j}\neq \phi$ но $U_{0}\cap U_{1}\cap U_{2}=\phi$.

Учитывая любой 1-коцикл $f$, $\delta f$ представляет собой 2-коцепь, которая принимает входные данные в форме $(U_{i},U_{i},U_{i}),(U_{i},U_{i},U_{j}),(U_{j},U_{i},U_{i}),(U_{i},U_{j},U_{i})$ где $i\neq j$ (с $U_{0}\cap U_{1}\cap U_{2}=\phi$ и, следовательно, $(U_{i},U_{j},U_{k})$ не является 2-симплексом для любой перестановки $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$). Первые три входа дают $f(U_{i},U_{i})=0$; четвертый дает

$\delta f(U_{i},U_{j},U_{i})=f(U_{j},U_{i})-f(U_{i},U_{i})+f(U_{i},U_{j})=0\implies f(U_{j},U_{i})=-f(U_{i},U_{j}).$

Такая функция полностью определяется значениями $f(U_{0},U_{1}),f(U_{0},U_{2}),f(U_{1},U_{2})$. Таким образом,

$Z^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )=\{f\in C^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} ):f(U_{i},U_{i})=0,f(U_{j},U_{i})=-f(U_{i},U_{j})\}\cong \mathbb {R} ^{3}.$

С другой стороны, для любой 1-кограницы $f=\delta g$, у нас есть

${\begin{cases}f(U_{i},U_{i})=g(U_{i})-g(U_{i})=0&(i=0,1,2);\\f(U_{i},U_{j})=g(U_{j})-g(U_{i})=-f(U_{j},U_{i})&(i\neq j)\end{cases}}$

Однако при ближайшем рассмотрении мы видим, что $f(U_{0},U_{1})+f(U_{1},U_{2})=f(U_{0},U_{2})$ и, следовательно, каждая 1-кограница $f$ однозначно определяется $f(U_{0},U_{1})$ и $f(U_{1},U_{2})$. Это дает набор 1-кограниц:

${\begin{aligned}B^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )=\{f\in C^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} ):\ &f(U_{i},U_{i})=0,f(U_{j},U_{i})=-f(U_{i},U_{j}),\\&f(U_{0},U_{2})=f(U_{0},U_{1})+f(U_{1},U_{2})\}\cong \mathbb {R} ^{2}.\end{aligned}}$

Поэтому, ${\check {H}}^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )=Z^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )/B^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R}$. С ${\mathcal {U}}$ это хорошая обложка $X$, у нас есть ${\check {H}}^{1}(X,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R}$ по теореме Лере .

Мы также можем вычислить когомологии когерентных пучков $\Omega ^{1}$ на проективной линии $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ с помощью комплекса «Чех». Использование чехла

${\mathcal {U}}=\{U_{1}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [y]),U_{2}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [y^{-1}])\}$

у нас есть следующие модули из кокасательного пучка

${\begin{aligned}&\Omega ^{1}(U_{1})=\mathbb {C} [y]dy\\&\Omega ^{1}(U_{2})=\mathbb {C} \left[y^{-1}\right]dy^{-1}\end{aligned}}$

Если мы возьмем соглашения, которые $dy^{-1}=-(1/y^{2})dy$ тогда мы получим комплекс Чех

$0\to \mathbb {C} [y]dy\oplus \mathbb {C} \left[y^{-1}\right]dy^{-1}{\xrightarrow {d^{0}}}\mathbb {C} \left[y,y^{-1}\right]dy\to 0$

С $d^{0}$ инъективен и является единственным элементом, не входящим в образ $d^{0}$ является $y^{-1}dy$ мы поняли это

${\begin{aligned}&H^{1}(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1},\Omega ^{1})\cong \mathbb {C} \\&H^{k}(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1},\Omega ^{1})\cong 0{\text{ for }}k\neq 1\end{aligned}}$

Ссылки

Общие ссылки

• Ботт, Рауль ; Лоринг Ту (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Спрингер. ISBN  0-387-90613-4 .
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (PDF) . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-79540-0 .
• Уэллс, Раймонд (1980). «2. Теория пучков: Приложение А. Когомологии Чеха с коэффициентами в пучке» . Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях . Спрингер. стр. 63–64. дои : 10.1007/978-1-4757-3946-6_2 . ISBN  978-3-540-90419-9 .