Нерв (теория категорий)

В теории категорий , математической дисциплине, нерв N ( C ) малой категории C представляет собой симплициальный набор построенный из объектов и морфизмов C. , Геометрической реализацией этого симплициального множества является топологическое пространство называемое классифицирующим пространством категории C. , Эти тесно связанные объекты могут предоставить информацию о некоторых знакомых и полезных категориях с использованием алгебраической топологии , чаще всего теории гомотопий .

Мотивация

Нерв категории часто используется для построения топологических версий пространств модулей . Если X является объектом C , его пространство модулей должно каким-то образом кодировать все объекты, изоморфные X , и отслеживать различные изоморфизмы между всеми этими объектами в этой категории. Это может оказаться довольно сложным, особенно если объекты имеют множество нетождественных автоморфизмов. Нерв обеспечивает комбинаторный способ организации этих данных. Поскольку симплициальные множества имеют хорошую гомотопическую теорию, можно задать вопросы о значении различных гомотопических групп π _n ( N ( C )). Можно надеяться, что ответы на такие вопросы дадут интересную информацию об исходной категории C или о связанных категориях.

Понятие нерва является прямым обобщением классического понятия классифицирующего пространства дискретной группы; подробности см. ниже.

Строительство

Пусть C — малая категория. существует 0-симплекс N ( C Для каждого объекта C ) . существует 1-симплекс Для каждого морфизма f : x → y в C . Теперь предположим, что : x → y и g : y → z — морфизмы в C. f Тогда мы также имеем их композицию gf : x → z .

2-симплекс.

Схема подсказывает наш образ действий: добавить к этому коммутативному треугольнику 2-симплекс. Таким образом, каждый 2-симплекс N ( C ) получается из пары составных морфизмов. Добавление этих 2-симплексов не стирает и не игнорирует морфизмы, полученные композицией, оно просто запоминает, как они возникают.

В общем случае N ( C ) _k состоит из k -наборов составных морфизмов

$A_{0}\to A_{1}\to A_{2}\to \cdots \to A_{k-1}\to A_{k}$

С. ​ ​Чтобы завершить определение N ( C ) как симплициального множества, мы также должны указать карты грани и вырождения. Их также предоставляет нам структура C как категории. Карты лица

$d_{i}\colon N(C)_{k}\to N(C)_{k-1}$

задаются композицией морфизмов i- го объекта (или удалением i- го объекта из последовательности, когда i равно 0 или k ). Это означает, что d _i отправляет k -кортеж

$A_{0}\to \cdots \to A_{i-1}\to A_{i}\to A_{i+1}\to \cdots \to A_{k}$

к ( k − 1)-набору

$A_{0}\to \cdots \to A_{i-1}\to A_{i+1}\to \cdots \to A_{k}.$

То есть отображение d _i компонует морфизмы A _{i −1} → A _i и A _i → A _{i +1} в морфизм A _{i −1} → A _{i +1} , давая ( k − 1)-кортеж для каждого k -кортеж.

Аналогично, отображения вырождения

$s_{i}:N(C)_{k}\to N(C)_{k+1}$

задаются путем вставки тождественного морфизма в объект A _i .

Симплициальные множества также можно рассматривать как функторы ∆ ^на → Set , где ∆ — категория полностью упорядоченных конечных множеств и морфизмов, сохраняющих порядок. Каждое частично упорядоченное множество P дает (маленькую) категорию i ( P ) с объектами, являющимися элементами P и с уникальным морфизмом из p в q всякий раз, когда p ≤ q в P. , Таким образом, мы получаем функтор i из категории ∆ в категорию малых категорий. Теперь мы можем описать нерв категории C как функтор ∆ ^на → Установить

$N(C)(\_)=\mathrm {Fun} (i(\_),C).\,$

Такое описание нерва делает функториальность прозрачной; например, функтор между малыми категориями C и D индуцирует отображение симплициальных множеств N ( C ) → N ( D ). Более того, естественное преобразование между двумя такими функторами индуцирует гомотопию между индуцированными отображениями. Это наблюдение можно рассматривать как начало одного из принципов теории высших категорий . Отсюда следует, что сопряженные функторы индуцируют гомотопическую эквивалентность . В частности, если C имеет начальный или конечный объект , его нерв сократимся.

Примеры

классифицирующее пространство дискретной группы G. Самый простой пример — Мы рассматриваем G как категорию с одним объектом, эндоморфизмы которого являются элементами G . Тогда k -симплексы N ( G ) — это просто - наборы элементов G. k Карты граней действуют путем умножения, а карты вырождения — путем вставки единичного элемента. Если G — группа с двумя элементами, то существует ровно один невырожденный k для каждого неотрицательного целого числа k -симплекс , соответствующий уникальному k -набору элементов G , не содержащему тождеств. После перехода к геометрической реализации этот k -кортеж можно отождествить с единственной k -клеткой в ​​обычной структуре CW на бесконечномерном реальном проективном пространстве . Последняя является наиболее популярной моделью классификации пространства группы с двумя элементами. См. (Segal 1968) более подробную информацию и связь вышеизложенного с объединенной конструкцией BG Милнора .

Большинство пространств являются классифицирующими пространствами

Всякое «разумное» топологическое пространство гомеоморфно классифицирующему пространству малой категории. Здесь «разумный» означает, что рассматриваемое пространство является геометрической реализацией симплициального множества. Это, очевидно, необходимое условие; этого также достаточно. Действительно, пусть X геометрическая реализация симплициального множества K. — Множество симплексов в K частично упорядочено по отношению x ≤ y тогда и только тогда, когда x является гранью y . Мы можем рассматривать это частично упорядоченное множество как категорию с отношениями как морфизмами. Нерв этой категории является барицентрическим подразделением K X , и, следовательно, его реализация гомеоморфна , поскольку X является реализацией K по гипотезе, а барицентрическое подразделение не меняет тип гомеоморфизма реализации.

Нерв открытого покрова

Основная статья: Нерв открытого покрова

Если X — топологическое пространство с открытым покрытием U _i , нерв покрытия получается из приведенных выше определений путем замены покрытия категорией, полученной путем рассмотрения покрытия как частично упорядоченного множества с включениями множеств в качестве отношений (и, следовательно, морфизмов) . Обратите внимание, что реализация этого нерва обычно не гомеоморфна X (или даже гомотопически эквивалентна): гомотопическая эквивалентность обычно будет иметь место только для хорошего покрытия стягиваемыми множествами, имеющими сжимаемые пересечения.

Пример модуля

Можно использовать конструкцию нерва для восстановления пространств отображения и даже получить «высшую гомотопическую» информацию о картах. Пусть D категория, а X и Y — объекты D. — Часто интересно вычислить множество X → Y. морфизмов Мы можем использовать нервную конструкцию, чтобы восстановить этот набор. Пусть C = C ( X , Y ) — категория, объектами которой являются диаграммы.

$X\longleftarrow U\longrightarrow V\longleftarrow Y$

такие, что морфизмы U → X и Y → V являются изоморфизмами в D . Морфизмы в C ( X , Y ) — это диаграммы следующей формы:

Здесь указанные отображения должны быть изоморфизмами или тождествами. Нерв C ( X , Y ) — это пространство отображений X → Y. модулей В соответствующей настройке модельной категории это пространство модулей является слабой гомотопически эквивалентной симплициальному набору морфизмов D из X в Y .

Ссылки

• Блан Д., У.Г. Дуайер и П.Г. Герсс. «Пространство реализации $\Pi$-алгебра: проблема модулей в алгебраической топологии». Топология 43 (2004), № 4, 857–892.
• Гёрсс, П.Г. и М.Дж. Хопкинс. « Пространства модулей коммутативных кольцевых спектров ». Структурированные кольцевые спектры , 151–200, London Math. Соц. Лекции, серия, 315, Кембриджский университет. Пресс, Кембридж, 2004.
• Сигал, Грэм. «Классификация пространств и спектральных последовательностей». Инст. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. № 34 (1968) 105–112.
• Нерв в n Lab