Барицентрическое подразделение

Выполните итерацию от 1 до 4 барицентрических подразделений 2-симплексов.

В математике барицентрическое подразделение — это стандартный способ разделения данного симплекса на более мелкие. Его расширение на симплициальные комплексы является каноническим методом их уточнения. Следовательно, барицентрическое подразделение является важным инструментом в алгебраической топологии.

Мотивация

Барицентрическое подразделение — это операция над симплициальными комплексами. В алгебраической топологии иногда полезно заменить исходные пространства симплициальными комплексами посредством триангуляции: замена позволяет присвоить пространствам комбинаторные инварианты в качестве эйлеровой характеристики. Можно задаться вопросом, существует ли аналогичный способ замены непрерывных функций, определенных в топологических пространствах, функциями, линейными на симплексах и гомотопными исходным отображениям (см. также симплициальную аппроксимацию). В общем случае такое задание требует уточнения данного комплекса, то есть замены больших симплексов объединением меньших симплексов. Стандартным способом осуществления такого уточнения является барицентрическое подразделение. Более того, барицентрическое подразделение создает карты групп гомологии и полезно для вычислительных задач, см. Иссечение и последовательность Майера-Вьеториса.

Определение

Подразделение симплициальных комплексов

Позволять ${\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ быть геометрическим симплициальным комплексом. Комплекс ${\mathcal {S'}}$ говорят, что это подразделение ${\mathcal {S}}$ если

• каждый симплекс ${\mathcal {S'}}$ содержится в симплексе ${\mathcal {S}}$
• каждый симплекс ${\mathcal {S}}$ является конечным объединением симплексов ${\mathcal {S'}}$

Эти условия подразумевают, что ${\mathcal {S}}$ и ${\mathcal {S'}}$ равны как множества и как топологические пространства, меняется только симплициальная структура.

Барицентрическое подразделение 2-симплекса. Цветные точки, добавленные справа, являются барицентрами симплексов слева.

Барицентрическое подразделение симплекса

Для симплекса $\Delta$ охваченный точками $p_{0},...,p_{n}$, барицентр определяется как точка $b_{\Delta }={\frac {1}{n+1}}(p_{0}+p_{1}+...+p_{n})$ . Чтобы определить подразделение, мы будем рассматривать симплекс как симплициальный комплекс, который содержит только один симплекс максимальной размерности, а именно сам симплекс. Барицентрическое подразделение симплекса можно определить индуктивно по его размерности.

Для точек, т.е. симплексов размерности 0, барицентрическое подразделение определяется как сама точка.

Пусть тогда для симплекса $\Delta$ размера $n$ что его лица $\Delta _{i}$ размера $n-1$ уже разделены. Следовательно, существуют симплексы $\Delta _{i,1},\;\Delta _{i,2}...,\Delta _{i,n!}$ покрытие $\Delta _{i}$. Тогда барицентрическое подразделение определяется как геометрический симплициальный комплекс, максимальные симплексы которого размерности $n$ каждая представляет собой выпуклую оболочку $\Delta _{i,j}\cup b_{\Delta }$ за одну пару $i,j$ для некоторых $i\in {0,...,n},\;j\in {1,...,n!}$, так что будет $(n+1)!$ простое покрытие $\Delta$.

Можно обобщить подразделение на симплициальные комплексы, симплексы которых не все содержатся в одном симплексе максимальной размерности, т. е. на симплициальные комплексы, геометрически не соответствующие одному симплексу. Это можно сделать, выполняя описанные выше шаги одновременно для каждого симплекса максимальной размерности. Тогда индукция будет основана на $n$-й скелет симплициального комплекса. Это позволяет осуществлять подразделение более одного раза.

Барицентрическое подразделение выпуклого многогранника

Смотрите также: ортосхема Шлефли § Характеристический симплекс общего правильного многогранника

, Додекаэдр Дисдякиса барицентрическое деление куба.

Операцию барицентрического подразделения можно применить к любому выпуклому многограннику любой размерности, в результате чего образуется еще один выпуклый многогранник той же размерности. В этой версии барицентрического подразделения многограннику не обязательно образовывать симплициальный комплекс: он может иметь грани, которые не являются симплексами. Это двойная операция по отношению к всеобрезанию . Вершины барицентрического подразделения соответствуют граням всех размерностей исходного многогранника. Две вершины являются смежными в барицентрическом подразделении, если они соответствуют двум граням разных измерений, при этом грань более низкой размерности включена в грань более высокой размерности. Фасеты исходного барицентрического подразделения являются симплексами, соответствующими флагам многогранника .

Например, барицентрическим подразделением куба или правильного октаэдра является додекаэдр дисдиакиса . Вершины додекаэдра Дисдиакиса степени 6, 4 и 8 соответствуют вершинам, ребрам и квадратным граням куба соответственно.

Свойства

Сетка

Позволять $\Delta \subset \mathbb {R} ^{n}$ симплекс и определим $\operatorname {diam} (\Delta )=\operatorname {max} {\Bigl \{}\|a-b\|_{\mathbb {R} ^{n}}\;{\Big |}\;a,b\in \Delta {\Bigr \}}$. Один из способов измерения сетки геометрического симплициального комплекса — взять максимальный диаметр симплексов, содержащихся в комплексе. Позволять $\Delta '$ быть $n$- размерный симплекс, возникающий в результате накрытия $\Delta$ полученное барицентрическим подразделением. Тогда справедлива следующая оценка:

$\operatorname {diam} (\Delta ')\leq \left({\frac {n}{n+1}}\right)\;\operatorname {diam} (\Delta )$. Следовательно, применяя барицентрическое подразделение достаточно часто, самое большое ребро можно сделать настолько маленьким, насколько это необходимо.

Гомология

В некоторых утверждениях теории гомологии хочется заменить симплициальные комплексы подразделением. На уровне симплициальных групп гомологий требуется отображение группы гомологий исходного симплициального комплекса в группы подразделенного комплекса. Действительно, можно показать, что для любого подразделения ${\mathcal {K'}}$ конечного симплициального комплекса ${\mathcal {K}}$ существует единственная последовательность отображений между группами гомологий $\lambda _{n}:C_{n}({\mathcal {K}})\rightarrow C_{n}({\mathcal {K'}})$ такой, что для каждого $\Delta$ в ${\mathcal {K}}$ карты соответствуют $\lambda (\Delta )\subset \Delta$ и такие, что отображения индуцируют эндоморфизмы цепных комплексов. Более того, индуцированное отображение является изоморфизмом: подразделение не меняет гомологии комплекса.

Чтобы вычислить особые группы гомологии топологического пространства. $X$ рассматриваются непрерывные функции $\sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X$ где $\Delta ^{n}$ обозначает $n$-мерный-стандартный-симплекс. Аналогично тому, как это описано для симплициальных групп гомологии, барицентрическое подразделение можно интерпретировать как эндоморфизм сингулярных цепных комплексов. Здесь снова существует оператор подразделения $\lambda _{n}:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(X)$ отправка цепочки $\sigma :\Delta \rightarrow X$ к линейной комбинации $\sum \varepsilon _{B_{\Delta }}\sigma \vert _{B_{\Delta }}$ где сумма пробегает все симплексы $B_{\Delta }$ которые появляются в покрытии $\Delta$ барицентрическим подразделением, и $\varepsilon _{B_{\Delta }}\in \{1,-1\}$ для всех таких $B_{\Delta }$. Это отображение также индуцирует автоморфизм цепных комплексов.

Приложения

Барицентрическое подразделение можно применять к целым симплициальным комплексам, как в теореме о симплициальной аппроксимации, или его можно использовать для разделения геометрических симплексов. Поэтому это имеет решающее значение для утверждений в теории сингулярной гомологии, см. Последовательность Майера-Виеториса и вырезание.

Симплициальная аппроксимация

Позволять ${\mathcal {K}}$, ${\mathcal {L}}$ быть абстрактными симплициальными комплексами над множествами $V_{K}$, $V_{L}$. Симплициальное отображение — это функция $f:V_{K}\rightarrow V_{L}$ который отображает каждый симплекс в ${\mathcal {K}}$ на симплекс в ${\mathcal {L}}$. Путем аффинно-линейного расширения на симплексах $f$ индуцирует отображение между геометрическими реализациями комплексов. Каждая точка геометрического комплекса лежит внутри ровно одного симплекса — его опоры. Рассмотрим теперь непрерывное отображение $f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}$. Симплициальная карта $g:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}$ называется симплициальной аппроксимацией $f$ тогда и только тогда, когда каждый $x\in {\mathcal {K}}$ отображается с помощью $g$ на поддержку $f(x)$ в ${\mathcal {L}}$. Если такое приближение существует, можно построить гомотопию $H$ преобразование $f$ в $g$ определив его на каждом симплексе; там он всегда существует, потому что симплексы сжимаемы.

Теорема симплициальной аппроксимации гарантирует для каждой непрерывной функции $f:V_{K}\rightarrow V_{L}$ существование симплициального приближения, по крайней мере, после уточнения ${\mathcal {K}}$, например, заменив ${\mathcal {K}}$ путем его повторного барицентрического подразделения. Теорема играет важную роль для некоторых утверждений алгебраической топологии, чтобы уменьшить поведение непрерывных отображений на поведение симплициальных отображений, как, например, в теореме Лефшеца о неподвижной точке.

Лефшеца о

Число Лефшеца — полезный инструмент для определения того, имеет ли непрерывная функция фиксированные точки. Эти данные вычисляются следующим образом: Предположим, что $X$ и $Y$ являются топологическими пространствами, допускающими конечные триангуляции. Непрерывная карта $f:X\rightarrow Y$ индуцирует гомоморфизмы $f_{i}:H_{i}(X,K)\rightarrow H_{i}(Y,K)$ между ее симплициальными группами гомологии с коэффициентами в поле $K$. Это линейные карты между $K$- векторные пространства, поэтому их трассировка $tr_{i}$ могут быть определены и их знакопеременная сумма

$L_{K}(f)=\sum _{i}(-1)^{i}tr_{i}(f)\in K$

называется Лефшеца числом $f$. Если $f=id$, это число является эйлеровой характеристикой $K$. Теорема о неподвижной точке утверждает, что всякий раз, когда $L_{K}(f)\neq 0$, $f$ имеет фиксированную точку. В доказательстве это сначала показано только для симплициальных отображений, а затем обобщается на любые непрерывные функции с помощью аппроксимационной теоремы.

Теорема Брауэра о неподвижной точке является частным случаем этого утверждения. Позволять $f:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow \mathbb {D} ^{n}$ является эндоморфизмом единичного шара. Для $k\geq 1$ все его группы гомологии $H_{k}(\mathbb {D} ^{n})$ исчезнуть, и $f_{0}$ всегда тождество, поэтому $L_{K}(f)=tr_{0}(f)=1\neq 0$, так $f$ имеет фиксированную точку.

Последовательность Майера-Виеториса

Последовательность Майера-Виеториса часто используется для вычисления сингулярных групп гомологии и приводит к индуктивным аргументам в топологии. Соответствующее утверждение можно сформулировать следующим образом:

Позволять $X=A\cup B$ открытая оболочка топологического пространства $X$ .

Есть точная последовательность

$\cdots \to H_{n+1}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots$

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.$

где мы рассматриваем сингулярные группы гомологии, $i:A\cap B\hookrightarrow A,\;j:A\cap B\hookrightarrow B,\;k:A\hookrightarrow X,\;l:B\hookrightarrow X$ являются вложениями и $\oplus$ обозначает прямую сумму абелевых групп.

Для построения сингулярных групп гомологий рассматриваются непрерывные отображения, определенные на стандартном симплексе $\sigma :\Delta \rightarrow X$. Препятствием в доказательстве теоремы являются отображения $\sigma$ так что их образ не содержится в $A$ ни в $B$. Это можно исправить с помощью оператора подразделения: рассматривая изображения таких карт как сумму изображений меньших симплексов, лежащих в $A$ или $B$ можно показать, что включение $C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\hookrightarrow C_{n}(X)$ индуцирует изоморфизм гомологий, который необходим для сравнения групп гомологий.

Иссечение

Вырезание можно использовать для определения относительных групп гомологии. Это позволяет в некоторых случаях забыть о подмножествах топологических пространств для их групп гомологии и тем самым упрощает их вычисление:

Позволять $X$ быть топологическим пространством и пусть $Z\subset A\subset X$ быть подмножествами, где $Z$ закрыто так, что $Z\subset A^{\circ }$. Тогда включение $i:(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow (X,A)$ индуцирует изоморфизм $H_{k}(X\setminus Z,A\setminus Z)\rightarrow H_{k}(X,A)$ для всех $k\geq 0.$

Опять же, в сингулярных гомологиях отображения $\sigma :\Delta \rightarrow X$ могут оказаться такими, что их образ не входит в упомянутые в теореме подмножества. Аналогично их можно понимать как сумму изображений меньших симплексов, полученных барицентрическим подразделением.