Факторпространство (топология)
В топологии и смежных областях математики фактор -пространство топологического пространства при заданном отношении эквивалентности — это новое топологическое пространство, построенное путем наделения фактор-множества исходного топологического пространства фактор -топологией , то есть тончайшей топологией , которая делает непрерывна каноническая проекция (функция, отображающая точки на их классы эквивалентности ). Другими словами, подмножество факторпространства открыто тогда и только тогда, когда его прообраз при каноническом отображении проекции открыт в исходном топологическом пространстве.
Интуитивно говоря, точки каждого класса эквивалентности идентифицируются или «склеиваются» для формирования нового топологического пространства. Например, идентификация точек сферы , принадлежащих одному и тому же диаметру, создает проективную плоскость как факторпространство.
Определение
[ редактировать ]Позволять — топологическое пространство , и пусть быть отношением эквивалентности на Набор факторов – множество классов эквивалентности элементов Класс эквивалентности обозначается
Строительство определяет каноническую сюръекцию Как обсуждается ниже, представляет собой фактор-отображение, обычно называемое каноническим фактор-отображением или канонической картой проекции, связанное с
Факторпространство под это набор оснащен фактор-топологией , открытыми множествами которой являются те подмножества чей прообраз открыт . Другими словами, открыт в фактортопологии на тогда и только тогда, когда открыт в Аналогично, подмножество закрыто когда тогда и только тогда, закрыт в
Фактортопология - это окончательная топология фактормножества по отношению к отображению
Коэффициентная карта
[ редактировать ]Карта представляет собой факторкарту (иногда называемую идентификационной картой [1] ), если оно сюръективно и оснащен окончательной топологией, индуцированной Последнее условие допускает две более элементарные формулировки: подмножество открыт (закрыт) тогда и только тогда, когда открыт (соответственно закрыт). Всякое фактор-отображение является непрерывным, но не всякое непрерывное отображение является фактор-отображением.
Насыщенные наборы
Подмножество из называется насыщенным (по отношению к ), если оно имеет вид для какого-то набора что верно тогда и только тогда, когда Задание устанавливает взаимно однозначное соответствие (обратное которому является ) между подмножествами из и насыщенные подмножества В этой терминологии сюръекция является фактор-отображением тогда и только тогда, когда для любого насыщенного подмножества из открыт в тогда и только тогда, когда открыт в В частности, открытые подмножества которые не являются насыщенными, не влияют на то, будет ли функция является фактор-отображением (или, более того, непрерывным: функцией непрерывен тогда и только тогда, когда для любого насыщенного такой, что открыт в , набор открыт в ).
Действительно, если это топология на и — любая карта, то множество из всех которые являются насыщенными подмножествами образует топологию на Если также является топологическим пространством, тогда является фактор-отображением (соответственно непрерывным ) тогда и только тогда, когда то же самое верно для
Факторпространство характеристик волокон
Учитывая отношение эквивалентности на обозначим класс эквивалентности точки к и пусть обозначают множество классов эквивалентности. Карта который отправляет точки в их классы эквивалентности (то есть он определяется формулой для каждого ) называется каноническим отображением . Это сюръективная карта и для всех тогда и только тогда, когда следовательно, для всех В частности, это показывает, что множество класса эквивалентности есть в точности множество слоев канонического отображения Если является топологическим пространством, тогда дающим фактортопология, индуцированная превратит его в факторпространство и сделает в факторкарту. С точностью до гомеоморфизма ; эта конструкция является представителем всех факторпространств точный смысл этого теперь объяснен.
Позволять быть сюръекцией между топологическими пространствами (еще не предполагаемыми как непрерывные или факторотображения) и объявить для всех что тогда и только тогда, когда Затем является отношением эквивалентности на такой, что для каждого что подразумевает, что (определено ) представляет собой одноэлементный набор ; обозначают уникальный элемент в к (поэтому по определению ). Задание определяет биекцию между волокнами и указывает на Определите карту как указано выше (по ) и дать фактортопология, индуцированная (что делает факторкарта). Эти карты связаны: Из этого и того факта, что является фактор-отображением, отсюда следует, что непрерывно тогда и только тогда, когда это верно для Более того, является фактор-отображением тогда и только тогда, когда является гомеоморфизмом (или, что то же самое, тогда и только тогда, когда оба и обратное ему непрерывны).
Связанные определения
[ редактировать ]А наследственно факторкарта является сюръективной картой со свойством, что для каждого подмножества ограничение также является факторкартой. Существуют фактор-отображения, которые не являются наследственно фактор-отображенными.
Примеры
[ редактировать ]- Склеивание . Топологи говорят о склеивании точек. Если является топологическим пространством, склеивающим точки и в означает рассмотрение фактор-пространства, полученного из отношения эквивалентности тогда и только тогда, когда или (или ).
- Рассмотрим единичный квадрат и отношение эквивалентности ~, порожденное требованием, чтобы все граничные точки были эквивалентны, таким образом отождествляя все граничные точки с одним классом эквивалентности. Затем гомеоморфна сфере
- Примыкающее пространство . В более общем плане, предположим это пространство и является подпространством Можно определить все точки к одному классу эквивалентности и оставлять точки за пределами эквивалентны только себе. Полученное факторпространство обозначается Тогда 2-сфера гомеоморфна замкнутому диску , граница которого отождествляется с одной точкой:
- Рассмотрим набор действительных чисел с обычной топологией и запишите тогда и только тогда, когда является целым числом . Тогда факторпространство гомеоморфен единичному кругу через гомеоморфизм, который отправляет класс эквивалентности к
- Обобщением предыдущего примера является следующее: предположим, что топологическая группа действует непрерывно в пространстве Можно образовать отношение эквивалентности на говоря, что точки эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат на одной и той же орбите . Факторпространство по этому отношению называется пространством орбит и обозначается В предыдущем примере действует на путем перевода. Орбитальное пространство гомеоморфен
- Примечание : Обозначения несколько двусмысленно. Если понимается группа, действующая путем сложения, то частное будет кругом. Однако, если рассматривается как топологическое подпространство (которая идентифицируется как одна точка), то частное (которое отождествляется с множеством ) — счетный бесконечный букет окружностей, соединённых в одной точке.
- Следующий пример показывает, что в целом неверно , что если является фактор-отображением, то каждая сходящаяся последовательность (соответственно каждая сходящаяся сеть ) в есть лифт (по ) к сходящейся последовательности (или сходящейся сети ) в Позволять и Позволять и пусть быть факторкартой так что и для каждого Карта определяется четко определен (поскольку ) и гомеоморфизм . Позволять и пусть быть любыми последовательностями (или, в более общем смысле, любыми сетями), оцененными в такой, что в Тогда последовательность сходится к в но не существует сходящегося подъема этой последовательности фактор-отображением (то есть нет последовательности в что оба сходятся к некоторому и удовлетворяет для каждого ). Этот контрпример можно обобщить на сети, полагая быть любым направленным множеством и сделать в сеть, объявив, что для любого выполняется тогда и только тогда, когда оба (1) и (2) если тогда -индексированная сеть, определяемая разрешением равный и равен не имеет лифта (по ) к сходящейся -индексированная сеть в
Характеристики
[ редактировать ]Коэффициентные карты среди сюръективных отображений характеризуются следующим свойством: если любое топологическое пространство и любая функция, то непрерывно тогда и только тогда, когда является непрерывным.
Факторпространство вместе с факторкартой характеризуется следующим универсальным свойством : если является непрерывным отображением таким, что подразумевает для всех то существует единственное непрерывное отображение такой, что Другими словами, следующая диаграмма коммутирует:
Один говорит, что для выражения этого сводится к фактору , то есть факторизуется через факторпространство. Непрерывные отображения, определенные на являются, следовательно, именно теми отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определенных на которые соблюдают отношение эквивалентности (в том смысле, что они отправляют эквивалентные элементы в одно и то же изображение). Этот критерий широко используется при изучении факторпространств.
Учитывая непрерывную сюръекцию полезно иметь критерии, по которым можно определить, является факторкартой. Два достаточных критерия заключаются в том, что быть открытым или закрытым . Обратите внимание, что эти условия являются лишь достаточными , но не необходимыми . Легко построить примеры фактор-отображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп факторкарта открыта.
Совместимость с другими топологическими понятиями.
[ редактировать ]- В общем, факторпространства плохо себя ведут по отношению к аксиомам разделения. Разделительные свойства не обязательно должен быть унаследован и могут иметь свойства разделения, не присущие
- является пространством T1 тогда и только тогда, когда каждый класс эквивалентности закрыт в
- Если факторное отображение открыто , то является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда ~ — замкнутое подмножество пространства произведений
- Если пространство связно или путь связан , то таковы и все его факторпространства.
- Факторпространство односвязного или сжимаемого пространства не обязательно должно обладать этими свойствами.
- Если пространство компактно, то компактны и все его факторпространства.
- Факторпространство локально компактного пространства не обязательно должно быть локально компактным.
- Топологическая размерность факторпространства может быть больше (или меньше), чем размерность исходного пространства; Кривые, заполняющие пространство, служат такими примерами.
См. также
[ редактировать ]Топология
- Пространство покрытия - тип непрерывной карты в топологии.
- Непересекающееся объединение (топология) - пространство, образованное путем оснащения непересекающегося объединения базовых множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения.
- Окончательная топология - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными.
- Картографический конус (топология) – топологическая конструкция.
- Пространство продукта — топология декартовых произведений топологических пространств.
- Подпространство (топология) — страницы унаследованной топологии,
- Топологическое пространство - Математическое пространство с понятием близости.
Алгебра
- Категория фактора
- Факторная группа - группа, полученная путем агрегирования аналогичных элементов более крупной группы.
- Факторпространство (линейная алгебра) - векторное пространство, состоящее из аффинных подмножеств.
- Конус отображения (гомологическая алгебра) - инструмент в гомологической алгебре.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Браун 2006 , с. 103.
Ссылки
[ редактировать ]- Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1 . OCLC 18588129 .
- Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Полет. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4 . ОСЛК 246032063 .
- Браун, Рональд (2006), Топология и группоиды , Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
- Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1 . ОСЛК 10277303 .
- Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7 . OCLC 395340485 .
- Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1 . ОСЛК 338047 .
- Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9 . OCLC 42683260 .
- Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .
- Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли . ISBN 0-486-43479-6 .