Путь (топология)

Точки, очерченные путем от $A$ к $B$ в $\mathbb {R} ^{2}.$ Однако разные пути могут проходить по одному и тому же набору точек.

В математике путь . в топологическом пространстве $X$ является непрерывной функцией из замкнутого интервала в $X.$

Пути играют важную роль в области топологии и математического анализа . Например, топологическое пространство, для которого существует путь, соединяющий любые две точки, называется линейно-связным . Любое пространство можно разбить на компоненты, связанные путями . Множество компонентов пространства, связанных между собой путями. $X$ часто обозначается $\pi _{0}(X).$

Можно также определить пути и петли в точечных пространствах , что важно в теории гомотопий . Если $X$ представляет собой топологическое пространство с базовой точкой $x_{0},$ затем путь в $X$ это тот, начальная точка которого $x_{0}$ . Аналогично, цикл в $X$ это тот, который основан на $x_{0}$ .

Определение

Кривая в топологическом пространстве $X$ является непрерывной функцией $f:J\to X$ из непустого и невырожденного интервала $J\subseteq \mathbb {R} .$ Путь в $X$ это кривая $f:[a,b]\to X$ чей домен $[a,b]$ представляет собой компактный невырожденный интервал (т.е. $a<b$ действительные числа ), где $f(a)$ называется начальной точкой пути и $f(b)$ называется его конечной точкой . Путь из $x$ к $y$ путь, начальная точка которого $x$ и чья конечная точка $y.$ Любой невырожденный компактный интервал $[a,b]$ гомеоморфен $[0,1],$ вот почему путь иногда, особенно в теории гомотопий, определяют как непрерывную функцию $f:[0,1]\to X$ из замкнутого единичного интервала $I:=[0,1]$ в $X.$ Дуга или $C$ ⁰-дуга внутри $X$ это путь в $X$ это тоже топологическое вложение .

Важно отметить, что путь — это не просто подмножество $X$ который «выглядит как» кривая , он также включает в себя параметризацию . Например, карты $f(x)=x$ и $g(x)=x^{2}$ представляют два разных пути от 0 до 1 на реальной линии.

Петля в пространстве $X$ на базе $x\in X$ это путь из $x$ к $x.$ Цикл можно с таким же успехом рассматривать как карту $f:[0,1]\to X$ с $f(0)=f(1)$ или как непрерывную карту единичного круга $S^{1}$ к $X$

f:S^{1}\to X.

Это потому, что $S^{1}$ является факторпространством $I=[0,1]$ когда $0$ отождествляется с $1.$ Набор всех петель в $X$ образует пространство, называемое пространством петель $X.$

Гомотопия путей

Пути и петли являются центральными предметами изучения в разделе алгебраической топологии, называемом теорией гомотопий . Гомотопия . путей уточняет идею непрерывной деформации пути, сохраняя при этом его конечные точки фиксированными

В частности, гомотопия путей, или гомотопия путей , в $X$ это семейство путей $f_{t}:[0,1]\to X$ индексируется $I=[0,1]$ такой, что

$f_{t}(0)=x_{0}$ и $f_{t}(1)=x_{1}$ фиксированы.
карта $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ данный $F(s,t)=f_{t}(s)$ является непрерывным.

Пути $f_{0}$ и $f_{1}$ связанные гомотопией, называются гомотопными (или, точнее, гомотопными по путям , чтобы различать отношения, определенные для всех непрерывных функций между фиксированными пространствами). Аналогично можно определить гомотопию петель, сохраняющих фиксированную базовую точку.

Отношение гомотопности — это отношение эквивалентности путей в топологическом пространстве. Класс эквивалентности пути $f$ при этом отношении называется классом гомотопическим $f,$ часто обозначается $[f].$

Состав пути

Составить пути в топологическом пространстве можно следующим образом. Предполагать $f$ это путь из $x$ к $y$ и $g$ это путь из $y$ к $z$ . Путь $fg$ определяется как путь, полученный путем первого прохождения $f$ а затем пересекая $g$ :

fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}

Очевидно, что состав пути определяется только тогда, когда конечная точка $f$ совпадает с начальной точкой $g.$ Если рассматривать все циклы, базирующиеся в точке $x_{0},$ тогда композиция пути является бинарной операцией .

Состав пути, когда бы он ни был определен, не является ассоциативным из-за разницы в параметризации. Однако оно ассоциативно с точностью до гомотопии пути. То есть, $[(fg)h]=[f(gh)].$ Композиция путей определяет структуру группы на множестве гомотопических классов петель, базирующихся в точке. $x_{0}$ в $X.$ Полученная группа называется фундаментальной группой $X$ на базе $x_{0},$ обычно обозначается $\pi _{1}\left(X,x_{0}\right).$

В ситуациях, требующих ассоциативности композиции пути «на носу», путь в $X$ вместо этого можно определить как непрерывное отображение интервала $[0,a]$ к $X$ для любого настоящего $a\geq 0.$ (Такой путь называется путем Мура .) Путь $f$ такого рода имеет длину $|f|$ определяется как $a.$ Затем композиция пути определяется, как и раньше, со следующей модификацией:

fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g|\end{cases}}

Тогда как в предыдущем определении $f,$ $g$ , и $fg$ все имеют длину $1$ (длина области отображения), это определение делает $|fg|=|f|+|g|.$ Что сделало ассоциативность неудачной для предыдущего определения, так это то, что, хотя $(fg)h$ и $f(gh)$ имеют одинаковую длину, а именно $1,$ середина $(fg)h$ произошло между $g$ и $h,$ тогда как середина $f(gh)$ произошло между $f$ и $g$ . С этим измененным определением $(fg)h$ и $f(gh)$ имеют одинаковую длину, а именно $|f|+|g|+|h|,$ и та же самая середина, найденная в $\left(|f|+|g|+|h|\right)/2$ в обоих $(fg)h$ и $f(gh)$ ; в более общем плане они имеют одинаковую параметризацию повсюду.

Фундаментальный группоид

Существует категориальная картина путей, которая иногда бывает полезна. Любое топологическое пространство $X$ порождает категорию , в которой объекты являются точками $X$ а морфизмы являются гомотопическими классами путей. Поскольку любой морфизм в этой категории является изоморфизмом, эта категория является группоидом , называемым фундаментальным группоидом . $X.$ Петли в этой категории — это эндоморфизмы (все они на самом деле являются автоморфизмами ). Группа автоморфизмов точки $x_{0}$ в $X$ это всего лишь фундаментальная группа, основанная на $x_{0}$ . В более общем смысле, можно определить фундаментальный группоид на любом подмножестве. $A$ из $X,$ используя гомотопические классы путей, соединяющих точки $A.$ Это удобно для теоремы Ван Кампена .

См. также

Кривая § Топология
Пространство с локальной связностью путей — свойство топологических пространств.
Пространство путей (значения)
Пространство, связанное с путями : топологическое пространство, которое связано.

Ссылки

Рональд Браун , Топология и группоиды, Booksurge PLC, (2006).
Дж. Питер Мэй , Краткий курс алгебраической топологии, University of Chicago Press, (1999).
Джеймс Манкрес , Топология 2-е издание, Прентис Холл (2000).