Расслоение пространства путей

В алгебраической топологии расслоение пространства путей над базируемым пространством $(X,*)$ является расслоением формы

$\Omega X\hookrightarrow PX{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\to }}X$

где

• $PX$ — базовое путей X ; пространство то есть, $PX=\{f\colon I\to X\mid f\ {\text{continuous}},f(0)=*\}$ оснащен топологией «компактно-открытый» .
• $\Omega X$ это волокно $\chi \mapsto \chi (1)$ над базовой точкой X ; это пространство петель X таким образом , .

Пространство свободного пути X , то есть $\operatorname {Map} (I,X)=X^{I}$, состоит из всех отображений от I до X , которые могут не сохранять базовые точки, и расслоения $X^{I}\to X$ дано, скажем, $\chi \mapsto \chi (1)$, называется расслоением пространства свободного пробега .

Расслоение пространства путей можно понимать как двойственное конусу отображения . Слой базисного слоя называется слоем отображения или, что то же самое, гомотопическим слоем .

Отображение пространства путей

Если $f\colon X\to Y$ — любая карта, то пространство путей отображения $P_{f}$ из $f$ это откат расслоения $Y^{I}\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)$ вдоль $f$. (Пространство путей отображения удовлетворяет универсальному свойству, двойственному свойству цилиндра отображения, который является выталкиванием. Из-за этого пространство путей отображения также называется коцилиндром отображения . )

Поскольку расслоение возвращается к расслоению, если Y базируется, имеется расслоение

$F_{f}\hookrightarrow P_{f}{\overset {p}{\to }}Y$

где $p(x,\chi )=\chi (0)$ и $F_{f}$ — гомотопический слой , обратный образ расслоения $PY{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\longrightarrow }}Y$ вдоль $f$.

Обратите внимание также $f$ это композиция

$X{\overset {\phi }{\to }}P_{f}{\overset {p}{\to }}Y$

где первая карта $\phi$ отправляет x в $(x,c_{f(x)})$; здесь $c_{f(x)}$ обозначает постоянный путь со значением $f(x)$. Четко, $\phi$ является гомотопической эквивалентностью ; таким образом, приведенное выше разложение говорит, что любое отображение является расслоением с точностью до гомотопической эквивалентности.

Если $f$ является расслоением, то отображение $\phi \colon X\to P_{f}$ является послойной гомотопической эквивалентностью и, следовательно, волокна $f$ над компонентой пути базовой точки гомотопически эквивалентны гомотопическому слою $F_{f}$ из $f$.

Пространство пути Мура

По определению путь в пространстве X это отображение единичного интервала I в X. — Опять же по определению, произведение двух путей $\alpha ,\beta$ такой, что $\alpha (1)=\beta (0)$ это путь $\beta \cdot \alpha \colon I\to X$ предоставлено:

$(\beta \cdot \alpha )(t)={\begin{cases}\alpha (2t)&{\text{if }}0\leq t\leq 1/2\\\beta (2t-1)&{\text{if }}1/2\leq t\leq 1\\\end{cases}}$.

Этот продукт вообще не вызывает ассоциативности на носу: $(\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha \neq \gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )$, как видно непосредственно. Одним из решений этой неудачи является переход к гомотопическим классам: нужно $[(\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha ]=[\gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )]$. Другое решение — работать с путями произвольной длины, что приводит к понятиям пространства путей Мура и расслоения пространства путей Мура, описанным ниже. (Более сложное решение — переосмыслить композицию: работать с произвольным семейством композиций; см. введение к статье Лурье, что приводит к понятию операды . )

Учитывая базовое пространство $(X,*)$, мы позволяем

$P'X=\{f\colon [0,r]\to X\mid r\geq 0,f(0)=*\}.$

Элемент f этого множества имеет уникальное расширение ${\widetilde {f}}$ к интервалу $[0,\infty )$ такой, что ${\widetilde {f}}(t)=f(r),\,t\geq r$. Таким образом, множество можно определить как подпространство $\operatorname {Map} ([0,\infty ),X)$. Полученное пространство называется пространством путей Мура X в честь Джона Коулмана Мура , который ввел эту концепцию. Тогда, как и раньше, существует расслоение, расслоение пространства путей Мура :

$\Omega 'X\hookrightarrow P'X{\overset {p}{\to }}X$

где p отправляет каждый $f:[0,r]\to X$ к $f(r)$ и $\Omega 'X=p^{-1}(*)$ это волокно. Оказывается, $\Omega X$ и $\Omega 'X$ гомотопически эквивалентны.

Теперь мы определяем карту продукта

$\mu :P'X\times \Omega 'X\to P'X$

автор: для $f\colon [0,r]\to X$ и $g\colon [0,s]\to X$,

$\mu (g,f)(t)={\begin{cases}f(t)&{\text{if }}0\leq t\leq r\\g(t-r)&{\text{if }}r\leq t\leq s+r\\\end{cases}}$.

Это произведение явно ассоциативно. В частности, с ограничением µ на ​​Ω ' X × Ω ' X мы получаем, что Ω ' X является топологическим моноидом (в категории всех пространств). , этот действует Более того на P'X через моноид µ исходный . Ω'X Фактически, $p:P'X\to X$ является Ω'X - расслоением .

Ссылки

• Дэвис, Джеймс Ф.; Кирк, Пол (2001). Конспекты лекций по алгебраической топологии (PDF) . Аспирантура по математике. Том. 35. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. xvi+367. дои : 10.1090/gsm/035 . ISBN  0-8218-2160-1 . МР   1841974 .
• Мэй, Дж. Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета . стр. х+243. ISBN  0-226-51182-0 . МР   1702278 .
• Уайтхед, Джордж В. (1978). Элементы теории гомотопий . Тексты для аспирантов по математике . Том. 61 (3-е изд.). Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag . стр. XXI+744. ISBN  978-0-387-90336-1 . МР   0516508 .