Jump to content

Изгиб

(Перенаправлено с Топологической кривой )
Парабола . , одна из простейших кривых, после (прямых) линий

В математике кривая (в старых текстах ее также называли изогнутой линией ) — это объект, похожий на линию , но не обязательно должен быть прямым .

Интуитивно кривую можно рассматривать как след, оставленный движущейся точкой . Это определение появилось более 2000 лет назад в » Евклида «Началах : «[кривая] линия [а] есть […] первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и представляет собой не что иное, как течение или бег точки, которая […] оставит после своего воображаемого движения некоторый след в длина, без учета ширины». [1]

кривой было формализовано в современной математике следующим образом: Кривая — это изображение интервала Это определение топологического пространства с помощью непрерывной функции . В некоторых контекстах функция, определяющая кривую, называется параметризацией , а кривая является параметрической кривой . В этой статье эти кривые иногда называются топологическими кривыми, чтобы отличить их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые . Это определение охватывает большинство кривых, изучаемых математикой; заметными исключениями являются кривые уровня (которые представляют собой объединения кривых и изолированных точек) и алгебраические кривые (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными кривыми , поскольку они обычно определяются неявными уравнениями .

Тем не менее класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые выглядят не так, как можно было бы ожидать от кривой, или даже не могут быть нарисованы. Это случай кривых, заполняющих пространство , и фрактальных кривых . Для обеспечения большей регулярности функцию, определяющую кривую, часто считают дифференцируемой , и тогда кривую называют дифференцируемой кривой .

Плоская кривая — это множество нулей многочлена алгебраическая от двух неопределённых . В более общем смысле, алгебраическая кривая — это нулевое множество конечного набора многочленов, которое удовлетворяет дополнительному условию того, что оно является алгебраическим многообразием размерности один . Если коэффициенты многочленов принадлежат полю k , говорят, что кривая определена над k . В общем случае вещественной алгебраической кривой , где k — поле действительных чисел , алгебраическая кривая представляет собой конечное объединение топологических кривых. Когда комплексные рассматриваются нули, получается комплексная алгебраическая кривая , которая с топологической точки зрения является не кривой, а поверхностью и часто называется римановой поверхностью . Алгебраические кривые, определенные в других полях, хотя и не являются кривыми в здравом смысле, широко изучались. алгебраические кривые над конечным полем широко используются В частности, в современной криптографии .

Мегалитическое искусство из Ньюгрейнджа, демонстрирующее ранний интерес к кривым.

Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математических исследований. Это можно увидеть на многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на предметах быта, относящихся к доисторическим временам.раз. [2] Кривые или, по крайней мере, их графические изображения легко создать, например, с помощью палки на песке на пляже.

Исторически термин « линия» использовался вместо более современного термина « кривая» . Следовательно, термины «прямая линия» и «правая линия» использовались, чтобы отличить то, что сегодня называют линиями, от изогнутых линий. Например, в Книге I « Начал» Евклида линия определяется как «длина без ширины» (Опр. 2), а прямая линия определяется как «линия, лежащая равномерно с точками на самой себе» (Опр. 4). . Идея Евклида о линии, возможно, проясняется утверждением: «Концы линии суть точки» (Определение 3). [3] Более поздние комментаторы далее классифицировали строки по различным схемам. Например: [4]

  • Составные линии (линии, образующие угол)
  • Некомпозитные линии
    • Определенные (линии, которые не простираются бесконечно, например круг)
    • Неопределенные (линии, простирающиеся бесконечно, например прямая линия и парабола)
Кривые, созданные путем разрезания конуса ( конические сечения ), были среди кривых, изучавшихся древнегреческой математикой .

Греческие геометры изучали множество других видов кривых. Одной из причин был их интерес к решению геометрических задач, которые невозможно было решить с помощью стандартного циркуля и линейки .Эти кривые включают в себя:

кривые, такие как « Фолиум Декарта» , с помощью уравнений вместо геометрического построения. Аналитическая геометрия позволяла определять

Фундаментальным достижением в теории кривых стало введение аналитической геометрии в Рене Декартом семнадцатом веке . Это позволило описать кривую с помощью уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраическими кривыми , которые можно определить с помощью полиномиальных уравнений , и трансцендентными кривыми , которые не могут быть определены. Раньше кривые описывались как «геометрические» или «механические» в зависимости от того, как они были или предположительно могли быть созданы. [2]

Конические сечения были применены астрономии Кеплером в .Ньютон также работал над первым примером вариационного исчисления . Решения вариационных задач, таких как вопросы брахистохроны и таутохроны , по-новому представили свойства кривых (в данном случае циклоиды ). Цепная линия получила свое название как решение проблемы висящей цепи, вопроса, который стал обычно доступен с помощью дифференциального исчисления .

В восемнадцатом веке зародилось вообще теории плоских алгебраических кривых. Ньютон изучал кубические кривые в общем описании реальных точек в виде «овалов». Формулировка теоремы Безу показала ряд аспектов, которые не были напрямую доступны геометрии того времени, связанных с особыми точками и комплексными решениями.

С девятнадцатого века теория кривых рассматривается как частный случай размерности один теории многообразий и алгебраических многообразий . Тем не менее, многие вопросы остаются специфичными для кривых, такие как кривые, заполняющие пространство , теорема Жордана о кривой и шестнадцатая проблема Гильберта .

Топологическая кривая

[ редактировать ]

может Топологическая кривая быть задана непрерывной функцией из интервала I действительных чисел в пространство X. топологическое Собственно говоря, кривая это образ Однако в некоторых контекстах само по себе называется кривой, особенно когда изображение не похоже на то, что обычно называют кривой, и недостаточно характеризует

Например, изображение кривой Пеано или, шире, кривой, заполняющей пространство, полностью заполняет квадрат и, следовательно, не дает никакой информации о том, как определяется.

Кривая закрыто [б] или это цикл , если и . Таким образом, замкнутая кривая является образом непрерывного отображения окружности . Незамкнутую кривую можно также назвать разомкнутой кривой .

Если область определения топологической кривой представляет собой замкнутый и ограниченный интервал кривая называется путем , также известным как топологическая дуга (или просто дуга ).

Кривая называется простой , если она представляет собой изображение отрезка или окружности инъективной непрерывной функцией. Другими словами, если кривая определяется непрерывной функцией с интервалом в качестве области кривая является простой тогда и только тогда, когда любые две разные точки интервала имеют разные изображения, за исключением, возможно, случаев, когда эти точки являются конечными точками интервала. Интуитивно простая кривая — это кривая, которая «не пересекает сама себя и не имеет пропущенных точек» (непрерывная несамопересекающаяся кривая). [8]

Плоская кривая – это кривая, у которой — это евклидова плоскость (это первые встречающиеся примеры) или, в некоторых случаях, проективная плоскость . Пространственная кривая это кривая, для которой является как минимум трехмерным; — косая кривая это пространственная кривая, не лежащая ни в одной плоскости. Эти определения плоских, пространственных и косых кривых применимы также к действительным алгебраическим кривым , хотя приведенное выше определение кривой не применимо (действительная алгебраическая кривая может быть несвязной ).

с Кривая дракона положительной площадью

Плоскую простую замкнутую кривую также называют жордановой кривой . Его также определяют как несамопересекающуюся непрерывную петлю на плоскости. [9] Теорема жордановой кривой утверждает, что дополнение множества в плоскости жордановой кривой состоит из двух связных компонентов (то есть кривая делит плоскость на две непересекающиеся области , которые обе связаны). Ограниченная область внутри жордановой кривой называется областью Жордана .

В определение кривой входят фигуры, которые в обиходе вряд ли можно назвать кривыми. Например, изображение кривой может охватывать квадрат на плоскости ( кривая, заполняющая пространство ), а простая кривая может иметь положительную площадь. [10] Фрактальные кривые могут обладать странными для здравого смысла свойствами. Например, фрактальная кривая может иметь размерность Хаусдорфа больше единицы (см. «снежинка Коха» ) и даже положительную площадь. Примером может служить кривая дракона , обладающая множеством других необычных свойств.

Дифференцируемая кривая

[ редактировать ]

Грубо говоря, дифференцируемая кривая — это кривая, которая определяется как локально образ инъективной дифференцируемой функции. из интервала I действительных чисел в дифференцируемое многообразие X , часто

Точнее, дифференцируемая кривая — это подмножество C в X , где каждая точка C имеет окрестность U такую, что диффеоморфно интервалу действительных чисел. [ нужны разъяснения ] Другими словами, дифференцируемая кривая — это дифференцируемое многообразие размерности один.

Дифференцируемая дуга

[ редактировать ]

В евклидовой геометрии дуга (символ: ) представляет собой связное подмножество дифференцируемой кривой.

Дуги прямых называются сегментами , лучами или линиями , в зависимости от того, как они ограничены.

Распространенным примером изогнутой формы является дуга окружности , называемая дугой окружности .

В сфере (или сфероиде ) дуга большого круга (или большого эллипса ) называется большой дугой .

Длина кривой

[ редактировать ]

Если это -мерное евклидово пространство, и если — инъективная и непрерывно дифференцируемая функция, то длина определяется как количество

Длина кривой не зависит от параметризации .

В частности, длина графика непрерывно дифференцируемой функции определяется на замкнутом интервале является

что можно интуитивно представить как использование теоремы Пифагора в бесконечно малом масштабе непрерывно по всей длине кривой. [11]

В более общем смысле, если является метрическим пространством с метрикой , то мы можем определить длину кривой к

где супремум берется за все и все разделы из .

Спрямляемая кривая — это кривая конечной длины. Кривая называется естественным (или единичным, или параметризованным длиной дуги), если для любого такой, что , у нас есть

Если является липшицево-непрерывной функцией, то она автоматически спрямляема. Более того, в этом случае можно определить скорость (или метрическую производную ) в как

а потом покажи это

Дифференциальная геометрия

[ редактировать ]

Хотя первые примеры встречающихся кривых в основном представляют собой плоские кривые (то есть, говоря обычными словами, изогнутые линии в двумерном пространстве ), существуют очевидные примеры, такие как спираль , которые естественным образом существуют в трех измерениях. Потребности геометрии, а также, например, классической механики, заключаются в том, чтобы иметь понятие кривой в пространстве любого числа измерений. В общей теории относительности мировая линия представляет собой кривую в пространстве-времени .

Если является дифференцируемым многообразием , то мы можем определить понятие дифференцируемой кривой в . Этой общей идеи достаточно, чтобы охватить многие применения кривых в математике. С местной точки зрения можно принять быть евклидовым пространством. С другой стороны, полезно использовать более общий подход, поскольку (например) можно определить касательные векторы к посредством этого понятия кривой.

Если гладкое многообразие , гладкая кривая в это гладкая карта

.

Это базовое понятие. Есть также все более и более ограниченные идеи. Если это многообразие (т. е. многообразие, карты которого раз непрерывно дифференцируемо ), то кривая в это такая кривая, которая только предполагается (т.е. раз непрерывно дифференцируемы). Если является аналитическим многообразием (т.е. бесконечно дифференцируемым и карты выражаются в виде степенных рядов ), и является аналитическим отображением, то называется аналитической кривой .

Дифференцируемая кривая называется регулярен, если его производная никогда не обращается в нуль. (На словах регулярная кривая никогда не замедляется до остановки и не возвращается назад.) Два дифференцируемые кривые

и

называются эквивалентными, если существует биективное карта

такая, что обратное отображение

также , и

для всех . Карта называется репараметризацией ; и это создает отношение эквивалентности на множестве всех дифференцируемые кривые в . А arc — это эквивалентности класс кривые по отношению репараметризации.

Алгебраическая кривая

[ редактировать ]

Алгебраические кривые — это кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии . Плоская алгебраическая кривая — это набор точек координат x , y таких, что ( x , y ) = 0 , где f — многочлен от двух переменных, определенный над некоторым полем F. f Говорят, что кривая определена над F . Алгебраическая геометрия обычно рассматривает не только точки с координатами из F, и все точки с координатами в алгебраически замкнутом поле К. но

Если C определяемая многочленом f с коэффициентами из F , говорят, что кривая определена над F. — кривая ,

В случае кривой, определенной над действительными числами , обычно рассматриваются точки с комплексными координатами. В этом случае точка с реальными координатами является реальной точкой , а совокупность всех реальных точек — реальной частью кривой. Поэтому только действительная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку действительная часть алгебраической кривой может быть несвязной и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть совокупность ее комплексных точек, с топологической точки зрения является поверхностью. В частности, неособые комплексные проективные алгебраические кривые называются римановыми поверхностями .

Точки кривой C с координатами в поле G называются рациональными над G и могут обозначаться C ( G ) . Когда G является полем рациональных чисел , говорят просто о рациональных точках . Например, Великую теорему Ферма можно переформулировать так: Для n > 2 степени каждая рациональная точка кривой Ферма n имеет нулевую координату .

Алгебраические кривые также могут быть пространственными кривыми или кривыми в пространстве более высокого измерения, скажем, n . Они определяются как алгебраические многообразия размерности один . Их можно получить как общие решения не менее n –1 полиномиальных уравнений от n переменных. Если n -1 полиномов достаточно, чтобы определить кривую в пространстве размерности n , кривая называется полным пересечением . Исключив переменные (с помощью любого инструмента теории исключения ), алгебраическую кривую можно спроецировать на плоскую алгебраическую кривую , что, однако, может привести к появлению новых особенностей, таких как точки возврата или двойные точки .

Плоская кривая также может быть дополнена до кривой на проективной плоскости : если кривая определяется многочленом f полной степени d , то w д f ( u / w , v / w ) упрощается до однородного многочлена g ( u , v , w ) степени d . Значения u , v , w такие, что g ( u , v , w ) = 0, являются однородными координатами точек завершения кривой в проективной плоскости, а точки исходной кривой - такими, w что не ноль. Примером может служить кривая Ферма u н + v н = v н , который имеет аффинную форму x н + и н = 1 . Аналогичный процесс гомогенизации можно определить для кривых в пространствах более высокой размерности.

За исключением линий , простейшими примерами алгебраических кривых являются коники , которые представляют собой неособые кривые степени два и рода нуль. Эллиптические кривые , которые являются неособыми кривыми рода один, изучаются в теории чисел и имеют важные приложения в криптографии .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ В современном математическом использовании линия прямая. Раньше линии могли быть как изогнутыми, так и прямыми.
  2. ^ Этот термин может быть неоднозначным, поскольку незамкнутая кривая может быть замкнутым множеством , как и линия на плоскости.
  1. ^ На (довольно старом) французском языке: «Линия — это первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно долготу, без какой-либо широты или глубины, и является ничем иным, как течением или потоком точки, которая […] будет оставить какой-то длинный след своего воображаемого движения, свободный от любой широты». Страницы 7 и 8 из пятнадцати книг геометрических элементов Евклида Мегарского, переведенных с греческого на французский и дополненных несколькими рисунками и демонстрациями, с исправлением ошибок, допущенных в других переводах , Пьер Мардель, Лион, MDCXLV (1645 г.) .
  2. ^ Jump up to: а б Локвуд П. ix
  3. ^ Хит стр. 153
  4. ^ Хит стр. 160
  5. ^ Локвуд с. 132
  6. ^ Локвуд с. 129
  7. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Спираль Архимеда» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
  8. ^ «Определение дуги Джордана на Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc» . Словарь.reference.com . Проверено 14 марта 2012 г.
  9. ^ Суловский, Марек (2012). Глубина, пересечения и конфликты в дискретной геометрии . Логотипы Верлаг Берлин ГмбХ. п. 7. ISBN  9783832531195 .
  10. ^ Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Жордановая кривая положительной области» . Труды Американского математического общества . 4 (1). Американское математическое общество : 107–112. дои : 10.2307/1986455 . ISSN   0002-9947 . JSTOR   1986455 .
  11. ^ Дэвис, Эллери В.; Бренке, Уильям К. (1913). Исчисление . Компания Макмиллан. п. 108. ИСБН  9781145891982 .
[ редактировать ]


Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 63954c316491c122a889cd7d1ee5c952__1718205840
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/63/52/63954c316491c122a889cd7d1ee5c952.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Curve - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)