Изгиб
В математике кривая (в старых текстах ее также называли изогнутой линией ) — это объект, похожий на линию , но не обязательно должен быть прямым .
Интуитивно кривую можно рассматривать как след, оставленный движущейся точкой . Это определение появилось более 2000 лет назад в » Евклида «Началах : «[кривая] линия [а] есть […] первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и представляет собой не что иное, как течение или бег точки, которая […] оставит после своего воображаемого движения некоторый след в длина, без учета ширины». [1]
кривой было формализовано в современной математике следующим образом: Кривая — это изображение интервала Это определение топологического пространства с помощью непрерывной функции . В некоторых контекстах функция, определяющая кривую, называется параметризацией , а кривая является параметрической кривой . В этой статье эти кривые иногда называются топологическими кривыми, чтобы отличить их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые . Это определение охватывает большинство кривых, изучаемых математикой; заметными исключениями являются кривые уровня (которые представляют собой объединения кривых и изолированных точек) и алгебраические кривые (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными кривыми , поскольку они обычно определяются неявными уравнениями .
Тем не менее класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые выглядят не так, как можно было бы ожидать от кривой, или даже не могут быть нарисованы. Это случай кривых, заполняющих пространство , и фрактальных кривых . Для обеспечения большей регулярности функцию, определяющую кривую, часто считают дифференцируемой , и тогда кривую называют дифференцируемой кривой .
Плоская кривая — это множество нулей многочлена алгебраическая от двух неопределённых . В более общем смысле, алгебраическая кривая — это нулевое множество конечного набора многочленов, которое удовлетворяет дополнительному условию того, что оно является алгебраическим многообразием размерности один . Если коэффициенты многочленов принадлежат полю k , говорят, что кривая определена над k . В общем случае вещественной алгебраической кривой , где k — поле действительных чисел , алгебраическая кривая представляет собой конечное объединение топологических кривых. Когда комплексные рассматриваются нули, получается комплексная алгебраическая кривая , которая с топологической точки зрения является не кривой, а поверхностью и часто называется римановой поверхностью . Алгебраические кривые, определенные в других полях, хотя и не являются кривыми в здравом смысле, широко изучались. алгебраические кривые над конечным полем широко используются В частности, в современной криптографии .
История
[ редактировать ]Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математических исследований. Это можно увидеть на многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на предметах быта, относящихся к доисторическим временам.раз. [2] Кривые или, по крайней мере, их графические изображения легко создать, например, с помощью палки на песке на пляже.
Исторически термин « линия» использовался вместо более современного термина « кривая» . Следовательно, термины «прямая линия» и «правая линия» использовались, чтобы отличить то, что сегодня называют линиями, от изогнутых линий. Например, в Книге I « Начал» Евклида линия определяется как «длина без ширины» (Опр. 2), а прямая линия определяется как «линия, лежащая равномерно с точками на самой себе» (Опр. 4). . Идея Евклида о линии, возможно, проясняется утверждением: «Концы линии суть точки» (Определение 3). [3] Более поздние комментаторы далее классифицировали строки по различным схемам. Например: [4]
- Составные линии (линии, образующие угол)
- Некомпозитные линии
- Определенные (линии, которые не простираются бесконечно, например круг)
- Неопределенные (линии, простирающиеся бесконечно, например прямая линия и парабола)
Греческие геометры изучали множество других видов кривых. Одной из причин был их интерес к решению геометрических задач, которые невозможно было решить с помощью стандартного циркуля и линейки .Эти кривые включают в себя:
- Конические сечения, подробно изученные Аполлонием Пергским.
- Циссоида Диокла , изученная Диоклом и использованная как метод удвоения куба . [5]
- Раковина Никомеда , изученная Никомедом как метод удвоения куба и разделения угла на три части . [6]
- Спираль Архимеда , изученная Архимедом как метод разделения угла на три части и квадратуры круга . [7]
- Спирические сечения , сечения торов, изученные Персеем как сечения конусов, были изучены Аполлонием.
Фундаментальным достижением в теории кривых стало введение аналитической геометрии в Рене Декартом семнадцатом веке . Это позволило описать кривую с помощью уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраическими кривыми , которые можно определить с помощью полиномиальных уравнений , и трансцендентными кривыми , которые не могут быть определены. Раньше кривые описывались как «геометрические» или «механические» в зависимости от того, как они были или предположительно могли быть созданы. [2]
Конические сечения были применены астрономии Кеплером в .Ньютон также работал над первым примером вариационного исчисления . Решения вариационных задач, таких как вопросы брахистохроны и таутохроны , по-новому представили свойства кривых (в данном случае циклоиды ). Цепная линия получила свое название как решение проблемы висящей цепи, вопроса, который стал обычно доступен с помощью дифференциального исчисления .
В восемнадцатом веке зародилось вообще теории плоских алгебраических кривых. Ньютон изучал кубические кривые в общем описании реальных точек в виде «овалов». Формулировка теоремы Безу показала ряд аспектов, которые не были напрямую доступны геометрии того времени, связанных с особыми точками и комплексными решениями.
С девятнадцатого века теория кривых рассматривается как частный случай размерности один теории многообразий и алгебраических многообразий . Тем не менее, многие вопросы остаются специфичными для кривых, такие как кривые, заполняющие пространство , теорема Жордана о кривой и шестнадцатая проблема Гильберта .
Топологическая кривая
[ редактировать ]может Топологическая кривая быть задана непрерывной функцией из интервала I действительных чисел в пространство X. топологическое Собственно говоря, кривая это образ — Однако в некоторых контекстах само по себе называется кривой, особенно когда изображение не похоже на то, что обычно называют кривой, и недостаточно характеризует
Например, изображение кривой Пеано или, шире, кривой, заполняющей пространство, полностью заполняет квадрат и, следовательно, не дает никакой информации о том, как определяется.
Кривая закрыто [б] или это цикл , если и . Таким образом, замкнутая кривая является образом непрерывного отображения окружности . Незамкнутую кривую можно также назвать разомкнутой кривой .
Если область определения топологической кривой представляет собой замкнутый и ограниченный интервал кривая называется путем , также известным как топологическая дуга (или просто дуга ).
Кривая называется простой , если она представляет собой изображение отрезка или окружности инъективной непрерывной функцией. Другими словами, если кривая определяется непрерывной функцией с интервалом в качестве области кривая является простой тогда и только тогда, когда любые две разные точки интервала имеют разные изображения, за исключением, возможно, случаев, когда эти точки являются конечными точками интервала. Интуитивно простая кривая — это кривая, которая «не пересекает сама себя и не имеет пропущенных точек» (непрерывная несамопересекающаяся кривая). [8]
Плоская кривая – это кривая, у которой — это евклидова плоскость (это первые встречающиеся примеры) или, в некоторых случаях, проективная плоскость . – Пространственная кривая это кривая, для которой является как минимум трехмерным; — косая кривая это пространственная кривая, не лежащая ни в одной плоскости. Эти определения плоских, пространственных и косых кривых применимы также к действительным алгебраическим кривым , хотя приведенное выше определение кривой не применимо (действительная алгебраическая кривая может быть несвязной ).
Плоскую простую замкнутую кривую также называют жордановой кривой . Его также определяют как несамопересекающуюся непрерывную петлю на плоскости. [9] Теорема жордановой кривой утверждает, что дополнение множества в плоскости жордановой кривой состоит из двух связных компонентов (то есть кривая делит плоскость на две непересекающиеся области , которые обе связаны). Ограниченная область внутри жордановой кривой называется областью Жордана .
В определение кривой входят фигуры, которые в обиходе вряд ли можно назвать кривыми. Например, изображение кривой может охватывать квадрат на плоскости ( кривая, заполняющая пространство ), а простая кривая может иметь положительную площадь. [10] Фрактальные кривые могут обладать странными для здравого смысла свойствами. Например, фрактальная кривая может иметь размерность Хаусдорфа больше единицы (см. «снежинка Коха» ) и даже положительную площадь. Примером может служить кривая дракона , обладающая множеством других необычных свойств.
Дифференцируемая кривая
[ редактировать ]Грубо говоря, дифференцируемая кривая — это кривая, которая определяется как локально образ инъективной дифференцируемой функции. из интервала I действительных чисел в дифференцируемое многообразие X , часто
Точнее, дифференцируемая кривая — это подмножество C в X , где каждая точка C имеет окрестность U такую, что диффеоморфно интервалу действительных чисел. [ нужны разъяснения ] Другими словами, дифференцируемая кривая — это дифференцируемое многообразие размерности один.
Дифференцируемая дуга
[ редактировать ]В евклидовой геометрии дуга ⌒ (символ: ) представляет собой связное подмножество дифференцируемой кривой.
Дуги прямых называются сегментами , лучами или линиями , в зависимости от того, как они ограничены.
Распространенным примером изогнутой формы является дуга окружности , называемая дугой окружности .
В сфере (или сфероиде ) дуга большого круга (или большого эллипса ) называется большой дугой .
Длина кривой
[ редактировать ]Если это -мерное евклидово пространство, и если — инъективная и непрерывно дифференцируемая функция, то длина определяется как количество
Длина кривой не зависит от параметризации .
В частности, длина графика непрерывно дифференцируемой функции определяется на замкнутом интервале является
что можно интуитивно представить как использование теоремы Пифагора в бесконечно малом масштабе непрерывно по всей длине кривой. [11]
В более общем смысле, если является метрическим пространством с метрикой , то мы можем определить длину кривой к
где супремум берется за все и все разделы из .
Спрямляемая кривая — это кривая конечной длины. Кривая называется естественным (или единичным, или параметризованным длиной дуги), если для любого такой, что , у нас есть
Если является липшицево-непрерывной функцией, то она автоматически спрямляема. Более того, в этом случае можно определить скорость (или метрическую производную ) в как
а потом покажи это
Дифференциальная геометрия
[ редактировать ]Хотя первые примеры встречающихся кривых в основном представляют собой плоские кривые (то есть, говоря обычными словами, изогнутые линии в двумерном пространстве ), существуют очевидные примеры, такие как спираль , которые естественным образом существуют в трех измерениях. Потребности геометрии, а также, например, классической механики, заключаются в том, чтобы иметь понятие кривой в пространстве любого числа измерений. В общей теории относительности мировая линия представляет собой кривую в пространстве-времени .
Если является дифференцируемым многообразием , то мы можем определить понятие дифференцируемой кривой в . Этой общей идеи достаточно, чтобы охватить многие применения кривых в математике. С местной точки зрения можно принять быть евклидовым пространством. С другой стороны, полезно использовать более общий подход, поскольку (например) можно определить касательные векторы к посредством этого понятия кривой.
Если — гладкое многообразие , гладкая кривая в это гладкая карта
- .
Это базовое понятие. Есть также все более и более ограниченные идеи. Если это многообразие (т. е. многообразие, карты которого раз непрерывно дифференцируемо ), то кривая в это такая кривая, которая только предполагается (т.е. раз непрерывно дифференцируемы). Если является аналитическим многообразием (т.е. бесконечно дифференцируемым и карты выражаются в виде степенных рядов ), и является аналитическим отображением, то называется аналитической кривой .
Дифференцируемая кривая называется регулярен, если его производная никогда не обращается в нуль. (На словах регулярная кривая никогда не замедляется до остановки и не возвращается назад.) Два дифференцируемые кривые
- и
называются эквивалентными, если существует биективное карта
такая, что обратное отображение
также , и
для всех . Карта называется репараметризацией ; и это создает отношение эквивалентности на множестве всех дифференцируемые кривые в . А arc — это эквивалентности класс кривые по отношению репараметризации.
Алгебраическая кривая
[ редактировать ]Алгебраические кривые — это кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии . Плоская алгебраическая кривая — это набор точек координат x , y таких, что ( x , y ) = 0 , где f — многочлен от двух переменных, определенный над некоторым полем F. f Говорят, что кривая определена над F . Алгебраическая геометрия обычно рассматривает не только точки с координатами из F, и все точки с координатами в алгебраически замкнутом поле К. но
Если C определяемая многочленом f с коэффициентами из F , говорят, что кривая определена над F. — кривая ,
В случае кривой, определенной над действительными числами , обычно рассматриваются точки с комплексными координатами. В этом случае точка с реальными координатами является реальной точкой , а совокупность всех реальных точек — реальной частью кривой. Поэтому только действительная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку действительная часть алгебраической кривой может быть несвязной и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть совокупность ее комплексных точек, с топологической точки зрения является поверхностью. В частности, неособые комплексные проективные алгебраические кривые называются римановыми поверхностями .
Точки кривой C с координатами в поле G называются рациональными над G и могут обозначаться C ( G ) . Когда G является полем рациональных чисел , говорят просто о рациональных точках . Например, Великую теорему Ферма можно переформулировать так: Для n > 2 степени каждая рациональная точка кривой Ферма n имеет нулевую координату .
Алгебраические кривые также могут быть пространственными кривыми или кривыми в пространстве более высокого измерения, скажем, n . Они определяются как алгебраические многообразия размерности один . Их можно получить как общие решения не менее n –1 полиномиальных уравнений от n переменных. Если n -1 полиномов достаточно, чтобы определить кривую в пространстве размерности n , кривая называется полным пересечением . Исключив переменные (с помощью любого инструмента теории исключения ), алгебраическую кривую можно спроецировать на плоскую алгебраическую кривую , что, однако, может привести к появлению новых особенностей, таких как точки возврата или двойные точки .
Плоская кривая также может быть дополнена до кривой на проективной плоскости : если кривая определяется многочленом f полной степени d , то w д f ( u / w , v / w ) упрощается до однородного многочлена g ( u , v , w ) степени d . Значения u , v , w такие, что g ( u , v , w ) = 0, являются однородными координатами точек завершения кривой в проективной плоскости, а точки исходной кривой - такими, w что не ноль. Примером может служить кривая Ферма u н + v н = v н , который имеет аффинную форму x н + и н = 1 . Аналогичный процесс гомогенизации можно определить для кривых в пространствах более высокой размерности.
За исключением линий , простейшими примерами алгебраических кривых являются коники , которые представляют собой неособые кривые степени два и рода нуль. Эллиптические кривые , которые являются неособыми кривыми рода один, изучаются в теории чисел и имеют важные приложения в криптографии .
См. также
[ редактировать ]- Координатная кривая
- Морщинистая дуга
- Подгонка кривой
- Ориентация кривой
- Рисование кривых
- Дифференциальная геометрия кривых
- Галерея кривых
- Индекс кривой
- Список тем кривых
- Список кривых
- Соприкасающийся круг
- Параметрическая поверхность
- Путь (топология)
- Многоугольная кривая
- Вектор положения
- Векторнозначная функция
- Номер обмотки
Примечания
[ редактировать ]- ^ В современном математическом использовании линия прямая. Раньше линии могли быть как изогнутыми, так и прямыми.
- ^ Этот термин может быть неоднозначным, поскольку незамкнутая кривая может быть замкнутым множеством , как и линия на плоскости.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ На (довольно старом) французском языке: «Линия — это первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно долготу, без какой-либо широты или глубины, и является ничем иным, как течением или потоком точки, которая […] будет оставить какой-то длинный след своего воображаемого движения, свободный от любой широты». Страницы 7 и 8 из пятнадцати книг геометрических элементов Евклида Мегарского, переведенных с греческого на французский и дополненных несколькими рисунками и демонстрациями, с исправлением ошибок, допущенных в других переводах , Пьер Мардель, Лион, MDCXLV (1645 г.) .
- ^ Jump up to: а б Локвуд П. ix
- ^ Хит стр. 153
- ^ Хит стр. 160
- ^ Локвуд с. 132
- ^ Локвуд с. 129
- ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Спираль Архимеда» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- ^ «Определение дуги Джордана на Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc» . Словарь.reference.com . Проверено 14 марта 2012 г.
- ^ Суловский, Марек (2012). Глубина, пересечения и конфликты в дискретной геометрии . Логотипы Верлаг Берлин ГмбХ. п. 7. ISBN 9783832531195 .
- ^ Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Жордановая кривая положительной области» . Труды Американского математического общества . 4 (1). Американское математическое общество : 107–112. дои : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .
- ^ Дэвис, Эллери В.; Бренке, Уильям К. (1913). Исчисление . Компания Макмиллан. п. 108. ИСБН 9781145891982 .
- А.С. Пархоменко (2001) [1994], «Линия (кривая)» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Б.И. Голубов (2001) [1994], «Спрямляемая кривая» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Евклид , комментарии и пер. от TL Heath Elements Vol. 1 (Кембридж, 1908 г.) Google Книги
- Э. Х. Локвуд. Книга кривых (Кембридж, 1961)
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Индекс знаменитых кривых , Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия
- Математические кривые Коллекция из 874 двумерных математических кривых.
- Галерея космических кривых, сделанных из кругов, включает анимацию Питера Мозеса.
- Галерея бишопских кривых и других сферических кривых, включает анимацию Питера Мозеса.
- Статья в математической энциклопедии о линиях .
- Страница Атласа многообразий об 1-многообразиях .