Алгебраическая кривая

Кубика Чирнхаузена — это алгебраическая кривая третьей степени.

В математике аффинная алгебраическая плоская кривая это нулевое множество многочлена — от двух переменных. Кривая проективной алгебраической плоскости — это множество нулей в проективной плоскости однородного многочлена от трёх переменных. Аффинную алгебраическую плоскую кривую можно достроить в проективную алгебраическую плоскую кривую путем усреднения ее определяющего многочлена. И наоборот, проективная алгебраическая плоская кривая однородного уравнения h ( x , y , t ) = 0 может быть ограничена аффинной алгебраической плоской кривой уравнения h ( x , y , 1) = 0 . Эти две операции обратны друг другу ; поэтому фраза «алгебраическая плоская кривая» часто используется без явного указания, рассматривается ли это аффинный или проективный случай.

Если определяющий полином плоской алгебраической кривой неприводим , то существует неприводимая плоская алгебраическая кривая . В противном случае алгебраическая кривая представляет собой объединение одной или нескольких неприводимых кривых, называемых ее компонентами , которые определяются неприводимыми факторами.

В более общем смысле, алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие размерности один . (В некоторых контекстах алгебраическое множество размерности один также называется алгебраической кривой, но в этой статье это будет не так.) Эквивалентно, алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие, которое бирационально эквивалентно неприводимой алгебраической плоской кривой. Если кривая содержится в аффинном пространстве или проективном пространстве , можно взять проекцию такой бирациональной эквивалентности.

Эти бирациональные эквивалентности сводят большую часть изучения алгебраических кривых к изучению алгебраических плоских кривых. Однако некоторые свойства не подлежат бирациональной эквивалентности и должны изучаться на неплоских кривых. В частности, это касается степени и гладкости . Например, существуют гладкие кривые рода 0 и степени больше двух, но любая плоская проекция таких кривых имеет особые точки (см. формулу Род–степень ).

Неплоскую кривую часто называют пространственной кривой или косой кривой .

В евклидовой геометрии

Алгебраическая кривая в евклидовой плоскости — это совокупность точек, координаты которых являются решениями двумерного полиномиального уравнения p ( x , y ) = 0. Это уравнение часто называют неявным уравнением кривой, в отличие от кривых, которые являются графиком функции, явно определяющей y как функцию x .

Если кривая задана таким неявным уравнением, первая задача состоит в том, чтобы определить форму кривой и нарисовать ее. Эти проблемы не так легко решить, как в случае с графиком функции, для которой y можно легко вычислить для различных значений x . Тот факт, что определяющее уравнение является полиномом, означает, что кривая обладает некоторыми структурными свойствами, которые могут помочь в решении этих проблем.

Каждую алгебраическую кривую можно однозначно разложить на конечное число гладких монотонных дуг (также называемых ветвями ), иногда соединенных некоторыми точками, иногда называемыми «замечательными точками», и, возможно, конечным числом изолированных точек, называемых акнодами . Гладкая монотонная дуга — это график гладкой функции , определенной и монотонной на открытом отрезке оси x . В каждом направлении дуга либо неограничена (обычно ее называют бесконечной дугой ), либо имеет конечную точку, которая является либо особой точкой (это будет определено ниже), либо точкой с касательной, параллельной одной из координатных осей.

Например, для кубики Чирнхаузена есть две бесконечные дуги, имеющие начало координат (0,0) в качестве конечной точки. Эта точка является единственной особой точкой кривой. Также существуют две дуги, у которых эта особая точка является одной конечной точкой, а вторая конечная точка имеет горизонтальную касательную. Наконец, есть еще две дуги, каждая из которых имеет одну из этих точек с горизонтальной касательной в качестве первой конечной точки и уникальную точку с вертикальной касательной в качестве второй конечной точки. Напротив, синусоида , конечно, не является алгебраической кривой, имеющей бесконечное количество монотонных дуг.

Чтобы нарисовать алгебраическую кривую, важно знать замечательные точки и их касательные, бесконечные ветви и их асимптоты (если они есть), а также способ, которым их соединяют дуги. также полезно рассматривать Точки перегиба как примечательные точки. Когда вся эта информация нарисована на листе бумаги, форма кривой обычно проявляется довольно четко. Если нет, то достаточно добавить несколько других точек и их касательных, чтобы получить хорошее описание кривой.

Методы вычисления замечательных точек и их касательных описаны ниже в разделе Замечательные точки плоской кривой .

Плоские проективные кривые

Часто желательно рассматривать кривые в проективном пространстве . Алгебраическая кривая на проективной плоскости или плоская проективная кривая — это набор точек проективной плоскости которых , проективные координаты являются нулями однородного многочлена от трех переменных P ( x , y , z ).

Любая аффинная алгебраическая кривая уравнения p ( x , y ) = 0 может быть дополнена до проективной кривой уравнения $^{h}p(x,y,z)=0,$ где

$$^{h}p(x,y,z)=z^{\deg(p)}p\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$$

результатом гомогенизации p . является Обратно, если P ( x , y , z ) = 0 — однородное уравнение проективной кривой, то P ( x , y , 1) = 0 — уравнение аффинной кривой, состоящей из точек проективной кривой. третья проективная координата которого не равна нулю. Эти две операции взаимно обратны друг другу, так как $^{h}p(x,y,1)=p(x,y)$ и, если p определяется формулой $p(x,y)=P(x,y,1)$, затем $^{h}p(x,y,z)=P(x,y,z),$ как только однородный многочлен P не делится на z .

Например, проективная кривая уравнения x ² + и ² - г ² — проективное пополнение единичной окружности уравнения x ² + и ² − 1 = 0.

Это означает, что аффинная кривая и ее проективное завершение являются одними и теми же кривыми или, точнее, что аффинная кривая является частью проективной кривой, которая достаточно велика, чтобы хорошо определить «полную» кривую. Эту точку зрения обычно выражают, называя «бесконечными точками» аффинной кривой точки (в конечном числе) проективного пополнения, не принадлежащие аффинной части.

Проективные кривые часто изучаются сами по себе. Они также полезны для изучения аффинных кривых. Например, если p ( x , y ) является полиномом, определяющим аффинную кривую, помимо частных производных $p'_{x}$ и $p'_{y}$, полезно рассмотреть производную на бесконечности

$$p'_{\infty }(x,y)={^{h}p'_{z}(x,y,1)}.$$

Например, уравнение касательной аффинной кривой уравнения p ( x , y ) = 0 в точке ( a , b ) имеет вид

$$xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0.$$

Замечательные точки плоской кривой

См. Также: Плоская кривая

В этом разделе мы рассматриваем плоскую алгебраическую кривую, определяемую двумерным многочленом p ( x , y ), и ее проективное пополнение, определяемое усреднением $P(x,y,z)={}^{h}p(x,y,z)$ из п .

Пересечение с линией

Часто бывает полезно знать точки пересечения кривой с заданной линией. Пересечение осей координат и асимптот полезно для построения кривой. Пересечение прямой, параллельной осям, позволяет найти хотя бы точку на каждой ветви кривой. Если доступен эффективный алгоритм поиска корня , это позволяет нарисовать кривую, нанося точку пересечения со всеми линиями, параллельными оси Y и проходящими через каждый пиксель на X. оси

Если полином, определяющий кривую, имеет степень d , любая линия разрезает кривую не более чем в d точках. Теорема Безу утверждает, что это число равно d , если точки ищутся на проективной плоскости над алгебраически замкнутым полем (например, комплексные числа ) и подсчитываются с учетом их кратности . Следующий метод вычислений еще раз доказывает эту теорему в этом простом случае.

Чтобы вычислить пересечение кривой, определяемой полиномом p, с линией уравнения ax + by + c = 0, нужно решить уравнение линии для x (или для y , если a = 0). Подставив результат в p , получим одномерное уравнение q ( y ) = 0 (или q ( x ) = 0, если уравнение прямой решено в y ), каждый из корней которого является одной координатой точки пересечения. . Другая координата выводится из уравнения прямой. Кратность точки пересечения равна кратности соответствующего корня. Точка пересечения находится на бесконечности, если степень q ниже степени p ; кратность такой точки пересечения на бесконечности равна разнице степеней p и q .

Касательная в точке

Касательная в точке ( a , b ) кривой является линией уравнения $(x-a)p'_{x}(a,b)+(y-b)p'_{y}(a,b)=0$, как и для любой дифференцируемой кривой, определяемой неявным уравнением. В случае многочленов другая формула тангенса имеет более простой постоянный член и более симметрична:

$$xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0,$$

где $p'_{\infty }(x,y)=P'_{z}(x,y,1)$ является производной на бесконечности. Эквивалентность двух уравнений является результатом теоремы Эйлера об однородной функции, примененной к P .

Если $p'_{x}(a,b)=p'_{y}(a,b)=0,$ касательная не определена и точка является особой точкой .

Это немедленно распространяется на проективный случай: уравнение тангенса в точке проективных координат ( a : b : c ) проективной кривой уравнения P ( x , y , z ) = 0 есть

$$xP'_{x}(a,b,c)+yP'_{y}(a,b,c)+zP'_{z}(a,b,c)=0,$$

а особые точки кривых — это точки такие, что

$$P'_{x}(a,b,c)=P'_{y}(a,b,c)=P'_{z}(a,b,c)=0.$$

(Условие P ( a , b , c ) = 0 вытекает из этих условий по теореме Эйлера об однородной функции.)

Асимптоты

Каждая бесконечная ветвь алгебраической кривой соответствует бесконечной точке кривой, то есть точке проективного завершения кривой, не принадлежащей ее аффинной части. Соответствующая асимптота представляет собой тангенс кривой в этой точке. Общая формула касательной к проективной кривой может быть применима, но в этом случае стоит сделать ее явной.

Позволять $p=p_{d}+\cdots +p_{0}$ — разложение полинома, определяющего кривую, на его однородные части, где p _i — сумма мономов p степени i . Отсюда следует, что

$$P={^{h}p}=p_{d}+zp_{d-1}+\cdots +z^{d}p_{0}$$

и

$$P'_{z}(a,b,0)=p_{d-1}(a,b).$$

Точка на бесконечности кривой — это ноль p вида ( a , b , 0). Эквивалентно, ( a , b ) является нулем p _d . Основная теорема алгебры подразумевает, что в алгебраически замкнутом поле (обычно поле комплексных чисел) p _d разлагается в произведение линейных сомножителей. Каждый фактор определяет точку на бесконечности на кривой: если bx − ay является таким фактором, то он определяет точку на бесконечности ( a , b , 0). В действительных числах p _d разбивается на линейные и квадратичные коэффициенты. Неприводимые . квадратичные множители определяют невещественные точки на бесконечности, а действительные точки задаются линейными множителями Если ( a , b , 0) — точка на бесконечности кривой, говорят, что ( a , b ) — асимптотическое направление . Полагая q = p _d, уравнение соответствующей асимптоты имеет вид

$$xq'_{x}(a,b)+yq'_{y}(a,b)+p_{d-1}(a,b)=0.$$

Если $q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=0$ и $p_{d-1}(a,b)\neq 0,$ асимптотой является линия, находящаяся на бесконечности, а в реальном случае кривая имеет ветвь, похожую на параболу . В этом случае говорят, что кривая имеет параболическую ветвь . Если

$$q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=p_{d-1}(a,b)=0,$$

кривая имеет особую точку на бесконечности и может иметь несколько асимптот. Их можно вычислить методом вычисления касательного конуса особой точки.

Особые точки

Особые точки кривой степени d, определяемой полиномом p ( x , y ) степени d, являются решениями системы уравнений:

$$p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p(x,y)=0.$$

В нулевой характеристике эта система эквивалентна

$$p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p'_{\infty }(x,y)=0,$$

где, учитывая обозначения предыдущего раздела, $p'_{\infty }(x,y)=P'_{z}(x,y,1).$Системы эквивалентны в силу теоремы Эйлера об однородной функции . Последняя система имеет то преимущество, что имеет третий полином степени d -1 вместо d .

Аналогично, для проективной кривой, определенной однородным полиномом P ( x , y , z ) степени d , особые точки имеют решения системы

$$P'_{x}(x,y,z)=P'_{y}(x,y,z)=P'_{z}(x,y,z)=0$$

как однородные координаты . (В положительной характеристике уравнение $P(x,y,z)$ необходимо добавить в систему.)

Это означает, что число особых точек конечно, пока p ( x , y ) или P ( x , y , z ) не содержит квадратов . Таким образом, из теоремы Безу следует, что число особых точек не превышает ( d − 1) ² , но эта оценка не является точной, поскольку система уравнений переопределена . Если приводимые полиномы разрешены , то точная граница равна d ( d - 1)/2, это значение достигается, когда полином разлагается на линейные множители, то есть если кривая представляет собой объединение d линий. Для неприводимых кривых и многочленов число особых точек не превышает ( d - 1)( d - 2)/2 из-за формулы, выражающей род через особенности (см. ниже). Максимума достигают кривые нулевого рода, все особенности которых имеют кратность два и различные касательные (см. ниже).

Уравнение касательных в особой точке задается ненулевой однородной частью низшей степени ряда Тейлора многочлена в особой точке. Когда кто-то меняет координаты, чтобы поместить особую точку в начало координат, уравнение касательных в особой точке, таким образом, является ненулевой однородной частью самой низкой степени многочлена, а кратность особой точки - это степень этой однородной точки. часть.

Аналитическая структура

Исследование аналитической структуры алгебраической кривой в окрестности особой точки дает точную информацию о топологии особенностей. Фактически, вблизи особой точки действительная алгебраическая кривая представляет собой объединение конечного числа ветвей, которые пересекаются только в особой точке и выглядят либо как точка возврата , либо как гладкая кривая.

Вблизи регулярной точки одна из координат кривой может быть выражена как аналитическая функция другой координаты. Это следствие теоремы об аналитической неявной функции , из которого следует, что кривая гладкая вблизи точки. Вблизи особой точки ситуация более сложная и включает в себя ряды Пюизо , которые дают аналитические параметрические уравнения ветвей.

Для описания особенности стоит перевести кривую на наличие особенности в начале координат. Это заключается в замене переменной вида $X=x-a,Y=y-b,$ где $a,b$ — координаты особой точки. В дальнейшем рассматриваемая особая точка всегда предполагается находящейся в начале координат.

Уравнение алгебраической кривой: $f(x,y)=0,$ где f — многочлен от x и y . Этот многочлен можно рассматривать как многочлен от y с коэффициентами в алгебраически замкнутом поле ряда Пюизо по x . Таким образом, f можно разложить на факторы вида $y-P(x),$ где P — ряд Пюизо. Все эти факторы различны, если f является неприводимым многочленом , поскольку это означает, что f не имеет квадратов , а это свойство не зависит от поля коэффициентов.

Встречающиеся здесь ряды Пюизо имеют вид

$$P(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}x^{n/d},$$

где d — целое положительное число, а $n_{0}$ — целое число, которое также можно считать положительным, поскольку мы рассматриваем только те ветви кривой, которые проходят через начало координат. Без ограничения общности мы можем предположить, что d взаимно просто с наибольшим общим делителем n, таким что $a_{n}\neq 0$ (иначе можно было бы выбрать меньший общий знаменатель показателей).

Позволять $\omega _{d}$ быть примитивным корнем d -й степени из единицы . Если приведенный выше ряд Пюизо встречается при факторизации $f(x,y)=0$, то d серия

$$P_{i}(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}\omega _{d}^{i}x^{n/d}$$

встречаются также при факторизации (следствие теории Галуа ). Эти d- ряды называются сопряженными и рассматриваются как одна ветвь кривой ветвления индекса d .

В случае реальной кривой, то есть кривой, определяемой полиномом с действительными коэффициентами, могут возникнуть три случая. Если нет $P_{i}(x)$ имеет действительные коэффициенты, то имеется недействительная ветвь. Если некоторые $P_{i}(x)$ имеет действительные коэффициенты, то его можно выбрать как $P_{0}(x)$. Если d нечетно, то каждое действительное значение x дает действительное значение $P_{0}(x)$, и у нас есть реальная ветвь, которая выглядит регулярной, хотя она и особенная, если d > 1 . Если d четно, то $P_{0}(x)$ и $P_{d/2}(x)$ имеют действительные значения, но только для x ≥ 0 . В этом случае реальная ветвь выглядит как точка возврата (или является точкой возврата, в зависимости от используемого определения точки возврата).

Например, у обыкновенного воротка всего одна ветвь. Если оно определяется уравнением $y^{2}-x^{3}=0,$ тогда факторизация $(y-x^{3/2})(y+x^{3/2});$ индекс ветвления равен 2, оба фактора действительны и определяют каждую половинную ветвь. Если точка возврата повернута, уравнение принимает вид $y^{3}-x^{2}=0,$ и факторизация $(y-x^{2/3})(y-j^{2}x^{2/3})(y-(j^{2})^{2}x^{2/3}),$ с $j=(1+{\sqrt {-3}})/2$ (коэффициент $(j^{2})^{2}$ не был упрощен до j, чтобы показать, как приведенное выше определение $P_{i}(x)$ является специализированным). Здесь индекс ветвления равен 3, и действительным является только один фактор; это показывает, что в первом случае оба фактора следует рассматривать как определяющие одну и ту же ветвь.

Неплоские

Алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие размерности один . Это означает, что аффинная кривая в аффинном пространстве размерности n определяется как минимум n - 1 полиномами от n переменных. Чтобы определить кривую, эти многочлены должны порождать простой идеал размерности Крулля 1. Это условие нелегко проверить на практике. Поэтому может быть предпочтительным следующий способ представления неплоских кривых.

Позволять $f,g_{0},g_{3},\ldots ,g_{n}$ — n многочленов от двух переменных x ₁ и x ₂ такие, что f неприводима. Точки аффинного пространства размерности n, координаты которых удовлетворяют уравнениям и неравенствам

$${\begin{aligned}&f(x_{1},x_{2})=0\\&g_{0}(x_{1},x_{2})\neq 0\\x_{3}&={\frac {g_{3}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\\&{}\ \vdots \\x_{n}&={\frac {g_{n}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\end{aligned}}$$

— это все точки алгебраической кривой, из которых удалено конечное число точек. Эта кривая определяется системой образующих идеала многочленов h такой, что существует целое число k такое, что $g_{0}^{k}h$ принадлежит идеалу, порожденному $f,x_{3}g_{0}-g_{3},\ldots ,x_{n}g_{0}-g_{n}$.Это представление является бирациональной эквивалентностью между кривой и плоской кривой, определенной f . Таким образом можно представить любую алгебраическую кривую. Однако может потребоваться линейная замена переменных, чтобы почти всегда сделать инъективной проекцию двух первых переменных. Когда необходима замена переменных, почти каждая замена удобна, поскольку она определена над бесконечным полем.

Это представление позволяет легко вывести любое свойство неплоской алгебраической кривой, включая ее графическое представление, из соответствующего свойства ее плоской проекции.

Для кривой, определяемой ее неявными уравнениями, приведенное выше представление кривой можно легко вывести из базиса Грёбнера для такого порядка блоков , что блок меньших переменных равен ( x ₁ , x ₂ ). Полином f — это единственный многочлен по основанию, который зависит только от x ₁ и x ₂ . Дроби g _i / g ₀ получаются выбором для i = 3, ..., n многочлена в базисе, линейного по x _i и зависящего только от x ₁ , x ₂ и x _i . Если такой выбор невозможен, это означает, что либо уравнения определяют алгебраическое множество , которое не является многообразием, либо многообразие не имеет размерности один, либо необходимо изменить координаты. Последний случай имеет место, когда f существует и является единственным, и для i = 3, …, n существуют многочлены, старший моном которых зависит только от x ₁ , x ₂ и x _i .

Поля алгебраических функций

Изучение алгебраических кривых можно свести к изучению неприводимых алгебраических кривых: тех кривых, которые нельзя записать как объединение двух меньших кривых. С точностью до бирациональной эквивалентности неприводимые кривые над полем F полям категорически эквивалентны алгебраических функций от одной переменной над F . Такое поле алгебраических функций представляет собой расширение поля K поля F , которое содержит элемент x , трансцендентный над F , и такое, что K является конечным алгебраическим расширением F ( x ), которое является полем рациональных функций в неопределенном x над F. Ф. ​

Например, рассмотрим поле C комплексных чисел, над которым мы можем определить поле C ( x рациональных функций в C. ) Если да ² = х ³ − x − 1 , то поле C ( x , y ) является полем эллиптической функции . Элемент x не определен однозначно; поле можно также рассматривать, например, как расширение C ( y ). Алгебраическая кривая, соответствующая функциональному полю, — это просто набор точек ( x , y ) в C ² удовлетворяя тебя ² = х ³ - Икс - 1 .

Если поле F не является алгебраически замкнутым, точка зрения функциональных полей несколько более общая, чем точка зрения рассмотрения геометрического положения точек, поскольку мы включаем, например, «кривые» без точек на них. Например, если базовое поле F является полем R действительных чисел , то x ² + и ² = −1 определяет алгебраическое поле расширения R ( x ), но соответствующая кривая рассматривается как подмножество R ² не имеет очков. Уравнение х ² + и ² = −1 определяет неприводимую алгебраическую кривую над R в схемном смысле ( целочисленные , отделимые одномерные схемы конечного типа над R ). взаимно однозначное соответствие между неприводимыми алгебраическими кривыми над F (с точностью до бирациональной эквивалентности) и полями алгебраических функций от одной переменной над F. В этом смысле в общем случае имеет место

Две кривые могут быть бирационально эквивалентными (т.е. иметь изоморфные функциональные поля), не будучи изоморфными как кривые. Ситуация упрощается, если иметь дело с неособыми кривыми, т. е. с кривыми, лишенными особенностей. Две неособые проективные кривые над полем изоморфны тогда и только тогда, когда их функциональные поля изоморфны.

Теорема Цена касается функционального поля алгебраической кривой над алгебраически замкнутым полем.

Сложные кривые и реальные поверхности

Комплексная проективная алгебраическая кривая находится в n -мерном комплексном проективном пространстве CP ^н . Оно имеет комплексную размерность n , но топологическую размерность, как вещественное многообразие , 2 n , и является компактным , связным и ориентируемым . Алгебраическая кривая над C также имеет топологическую размерность два; другими словами, это поверхность .

Топологический род этой поверхности, то есть количество ручек или отверстий для бублика, равен геометрическому роду алгебраической кривой, который можно вычислить алгебраическими средствами. Короче говоря, если рассматривать плоскую проекцию неособой кривой, которая имеет степень d и только обычные особенности (особенности кратности два с различными касательными), то род равен ( d - 1)( d - 2)/2 - k , где k — число этих особенностей.

римановы

Риманова поверхность — это связное комплексное аналитическое многообразие одного комплексного измерения, что делает его связным вещественным многообразием двух измерений. Оно компактно, если оно компактно как топологическое пространство.

Существует тройная эквивалентность категорий между категорией гладких неприводимых проективных алгебраических кривых над C (с непостоянными регулярными отображениями в качестве морфизмов), категорией компактных римановых поверхностей (с непостоянными голоморфными отображениями ) и противоположностью в качестве морфизмов категория полей алгебраических функций от одной переменной над C (с гомоморфизмами полей, фиксирующими C как морфизмы). Это означает, что, изучая эти три предмета, мы в каком-то смысле изучаем одно и то же. Это позволяет использовать комплексные аналитические методы в алгебраической геометрии, а также алгебро-геометрические методы в комплексном анализе и теоретико-полевые методы в обоих случаях. Это характерно для гораздо более широкого класса задач алгебраической геометрии.

См. также алгебраическую геометрию и аналитическую геометрию для более общей теории.

Особенности

Используя внутреннюю концепцию касательного пространства , точки P на алгебраической кривой C классифицируются как гладкие (синоним: неособые ) или особые . Учитывая n - 1 однородный многочлен от n + 1 переменных, мы можем найти матрицу Якобиана как матрицу ( n - 1) × ( n + 1) частных производных. Если ранг этой матрицы равен n - 1, то многочлены определяют алгебраическую кривую (в противном случае они определяют алгебраическое многообразие более высокой размерности). Если ранг остается n - 1, когда матрица Якоби оценивается в точке P на кривой, то эта точка является гладкой или регулярной точкой; в противном случае это особая точка . В частности, если кривая представляет собой плоскую проективную алгебраическую кривую, определяемую одним однородным полиномиальным уравнением f ( x , y , z ) = 0, то особыми точками являются именно точки P , в которых ранг 1 × ( n + 1) матрица равна нулю, т. е. где

$${\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0.$$

Поскольку f является полиномом, это определение является чисто алгебраическим и не делает никаких предположений о природе поля F , которое, в частности, не обязательно должно быть действительными или комплексными числами. Следует, конечно, напомнить, что (0,0,0) не является точкой кривой и, следовательно, не особой точкой.

Аналогично, для аффинной алгебраической кривой, определяемой одним полиномиальным уравнением f ( x , y ) = 0, тогда особые точки - это в точности точки P кривой , где ранг матрицы Якобиана 1 × n равен нулю, то есть где

$$f(P)={\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)=0.$$

Особенности кривой не являются бирациональными инвариантами. Однако обнаружение и классификация особенностей кривой — это один из способов вычисления рода , который является бирациональным инвариантом. Чтобы это работало, мы должны рассматривать кривую проективно и требовать, чтобы F была алгебраически замкнутой, чтобы были рассмотрены все особенности, принадлежащие кривой.

Классификация особенностей

«Дельта-инвариант» перенаправляется сюда. Другое понятие дельта-инварианта в K-стабильности многообразий Фано см. в разделе K-стабильность многообразий Фано § Дельта-инвариант .

х ³ = и ²

К особым точкам относятся несколько точек, в которых кривая пересекает сама себя, а также различные типы точек возврата , например, показанные кривой с уравнением x. ³ = и ² в (0,0).

Кривая C имеет не более чем конечное число особых точек. Если у него такового нет, его можно назвать гладким или неособым . Обычно это определение понимают над алгебраически замкнутым полем и кривой C в проективном пространстве (т. е. полном в смысле алгебраической геометрии). Например, плоская кривая уравнения $y-x^{3}=0$ считается сингулярным, поскольку имеет особую точку (касп) на бесконечности.

В оставшейся части этого раздела рассматривается плоская кривая C, определенная как нулевой набор двумерного многочлена f ( x , y ) . Некоторые из результатов, но не все, можно обобщить на случай неплоских кривых.

Особые точки классифицируются с помощью нескольких инвариантов. Кратность m определяется как максимальное целое число, при котором производные f всех порядков до m – 1 обращаются в нуль (а также минимальное число пересечения кривой и прямой линии в точке P ).Интуитивно, особая точка имеет дельта-инвариант δ, если он концентрирует δ обычных двойных точек в P . Чтобы быть точным, процесс раздутия производит так называемые бесконечно близкие точки , а суммирование m ( m − 1)/2 по бесконечно близким точкам, где m — их кратность, дает δ .Для неприводимой и приведенной кривой и точки P мы можем алгебраически определить δ как длину ${\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}/{\mathcal {O}}_{P}$ где ${\mathcal {O}}_{P}$ - локальное кольцо в точке P и ${\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}$ является его целостным замыканием.

Число Милнора µ особенности есть степень отображения град ж ( Икс , y ) / |град ж ( Икс , y )| на малой сфере радиуса ε в смысле топологической степени непрерывного отображения , где grad f — (комплексное) векторное поле градиента f . Он связан с δ и r формулой Милнора–Юнга :

ц = 2δ - г + 1.

Здесь число ветвления r точки P — это количество локально неприводимых ветвей в P. точке Например, r = 1 в обычной точке возврата и r = 2 в обычной двойной точке. Кратность m не меньше r , и P сингулярна тогда и только тогда, когда m не меньше 2. Более того, δ не меньше m ( m -1)/2.

Вычисление дельта-инвариантов всех особенностей позволяет определить род g кривой; если d — степень, то

$$g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},$$

где сумма берется по всем особым точкам P комплексной проективной плоской кривой. Это называется формулой рода .

Назначьте инварианты [ m , δ, r ] особенности, где m — кратность, δ — дельта-инвариант, а r — число ветвления. Тогда обычный касп — это точка с инвариантами [2,1,1], а обычная двойная точка — это точка с инвариантами [2,1,2], а обычная m -кратная точка — это точка с инвариантами [ m , m ( м - 1)/2, м ].

Примеры кривых

Рациональные кривые

, Рациональная кривая также называемая уникурсальной кривой, — это любая кривая, которая бирационально эквивалентна прямой, которую мы можем считать проективной прямой; соответственно, мы можем отождествить функциональное поле кривой с полем рациональных функций в одной неопределенной F ( x ). Если F алгебраически замкнуто, это эквивалентно кривой нулевого рода ; однако поле всех вещественных алгебраических функций, определенных на вещественном алгебраическом многообразии x ² + и ² = −1 — поле нулевого рода, не являющееся полем рациональных функций.

Конкретно, рациональная кривая, вложенная в аффинное пространство размерности n над F, может быть параметризована (за исключением изолированных исключительных точек) с помощью n рациональных функций одного параметра t ; приводя эти рациональные функции к одному и тому же знаменателю, полученные n +1 полиномы определяют полиномиальную параметризацию проективного завершения кривой в проективном пространстве. Примером является рациональная нормальная кривая , где все эти многочлены являются мономами .

Любое коническое сечение, определенное над F с рациональной точкой в ​​F, является рациональной кривой. Его можно параметризовать, проведя линию с наклоном t через рациональную точку и пересечение с плоской квадратичной кривой; это дает многочлен с F -рациональными коэффициентами и одним F -рациональным корнем, следовательно, другой корень также F -рационален (т. е. принадлежит F ).

х ² + ху + у ² = 1

Например, рассмотрим эллипс x ² + ху + у ² = 1, где (−1, 0) — рациональная точка. Проведя линию с наклоном t из (−1,0), y = t ( x + 1), подставив ее в уравнение эллипса, факторизовав и решив для x , получим

$$x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}.$$

Тогда уравнение для y будет

$$y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}\,,$$

который определяет рациональную параметризацию эллипса и, следовательно, показывает, что эллипс является рациональной кривой. Заданы все точки эллипса, кроме (−1,1), соответствующей t = ∞; Таким образом, вся кривая параметризуется реальной проективной линией.

Такую рациональную параметризацию можно рассматривать в проективном пространстве, приравнивая первые проективные координаты числителям параметризации, а последнюю - общему знаменателю. Поскольку параметр определен в проективной линии, полиномы в параметре должны быть гомогенизированы . Например, проективная параметризация приведенного выше эллипса имеет вид

$$X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.$$

Исключив T и U между этими уравнениями, мы снова получаем проективное уравнение эллипса

$$X^{2}+X\,Y+Y^{2}=Z^{2},$$

которое можно легко получить непосредственно путем гомогенизации приведенного выше уравнения.

Многие кривые в списке кривых Википедии являются рациональными и, следовательно, имеют схожие рациональные параметризации.

плоские

Рациональные плоские кривые — это рациональные кривые, вложенные в $\mathbb {P} ^{2}$. Учитывая общие разделы $s_{1},s_{2},s_{3}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(d))$ степени $d$ однородные полиномы по двум координатам, $x,y$, есть карта

$$s:\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{2}$$

данный

$$s([x:y])=[s_{1}([x:y]):s_{2}([x:y]):s_{3}([x:y])]$$

определяя рациональную плоскую кривую степени $d$. Существует связанное пространство модулей ${\mathcal {M}}={\overline {\mathcal {M}}}_{0,0}(\mathbb {P} ^{2},d\cdot [H])$ (где $[H]$ — класс гиперплоскости), параметризующий все такие устойчивые кривые . Для определения размерности пространств модулей можно произвести подсчет измерений: есть $d+1$ параметры в $\Gamma (\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(d))$ предоставление $3d+3$ итого параметров по каждому из разделов. Тогда, поскольку они рассматриваются с точностью до проективного фактора по $\mathbb {P} ^{2}$ есть $1$ меньше параметра в ${\mathcal {M}}$. Более того, существует трехмерная группа автоморфизмов $\mathbb {P} ^{1}$, следовательно ${\mathcal {M}}$ имеет размерность $3d+3-1-3=3d-1$. Это пространство модулей можно использовать для подсчета числа $N_{d}$ степени $d$ рациональные плоские кривые, пересекающиеся $3d-1$ точек с использованием теории Громова–Виттена . Оно задается рекурсивным соотношением

$$N_{d}=\sum _{d_{A}+d_{B}=d}N_{d_{A}}N_{d_{B}}d_{A}^{2}d_{B}\left(d_{B}{\binom {3d-4}{3d_{A}-2}}-d_{A}{\binom {3d-4}{3d_{A}-1}}\right)$$

где $N_{1}=N_{2}=1$.

Эллиптические кривые

Эллиптическую кривую можно определить как любую кривую первого рода с рациональной точкой : распространенной моделью является неособая кубическая кривая , которой достаточно для моделирования любой кривой первого рода. В этой модели выделенной точкой обычно считается точка перегиба на бесконечности; это равносильно требованию, чтобы кривая могла быть записана в форме Тейта-Вейерштрасса, которая в своей проективной версии имеет вид

$$y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.$$

Если характеристика поля отлична от 2 и 3, то линейная замена координат позволяет положить $a_{1}=a_{2}=a_{3}=0,$ что дает классическую форму Вейерштрасса

$$y^{2}=x^{3}+px+q.$$

Эллиптические кривые несут структуру абелевой группы с выделенной точкой как тождеством группового закона. В плоской кубической модели сумма трех точек в группе равна нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны . Для эллиптической кривой, определенной над комплексными числами, группа изоморфна аддитивной группе комплексной плоскости по модулю решетки периодов соответствующих эллиптических функций .

Пересечение двух квадратичных поверхностей , вообще говоря, представляет собой неособую кривую рода один и степени четыре и, следовательно, эллиптическую кривую, если она имеет рациональную точку. В особых случаях пересечение либо может быть рациональной особой квартикой, либо разлагается на кривые меньших степеней, не всегда различные (либо кубическая кривая и прямая, либо две коники, либо коника и две прямые, либо четыре прямые). .

Кривые рода больше единицы

Кривые рода больше единицы заметно отличаются как от рациональных, так и от эллиптических кривых. Такие кривые, определенные над рациональными числами по теореме Фалтингса , могут иметь только конечное число рациональных точек, и их можно рассматривать как имеющие гиперболическую геометрическую структуру. Примерами являются гиперэллиптические кривые , кривая Клейна квартики и кривая Ферма x. ^н + и ^н = г ^н когда n больше трех. Также проективные плоские кривые в $\mathbb {P} ^{2}$ и кривые в $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ привести много полезных примеров.

Кривые проективной плоскости

Плоские кривые $C\subset \mathbb {P} ^{2}$ степени $k$, который можно построить как исчезающее множество общего сечения $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(k))$, имеет род

$${\frac {(k-1)(k-2)}{2}}$$

который можно вычислить с помощью когомологий когерентного пучка . Вот краткий обзор родов кривых относительно их степени.

степень	1	2	3	4	5	6	7
род	0	0	1	3	6	10	15

Например, кривая $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ определяет кривую рода $3$ что является гладким, поскольку дифференциалы $4x^{3},4y^{3},4z^{3}$ не имеют общих нулей с кривой. Непримером общего сечения является кривая $x(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ которые по теореме Безу должны пересекаться не более $2$ точек, представляет собой объединение двух рациональных кривых $C_{1}\cup C_{2}$ пересекающиеся в двух точках. Примечание $C_{1}$ задается исчезающим местом $x$ и $C_{2}$ задается исчезающим местом $x^{2}+y^{2}+z^{2}$. Их можно найти явно: точка лежит в обоих случаях, если $x=0$. Таким образом, два решения являются точками $[0:y:z]$ такой, что $y^{2}+z^{2}=0$, которые $[0:1:-{\sqrt {-1}}]$ и $[0:1:{\sqrt {-1}}]$.

Кривые произведения проективных линий

Изгиб $C\subset \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ заданное исчезающим локусом $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(a,b))$, для $a,b\geq 2$, задайте кривые рода

$$ab-a-b+1$$

что можно проверить с помощью когомологий когерентного пучка . Если $a=2$, то они определяют кривые рода $2b-2-b+1=b-1$, следовательно, кривую любого рода можно построить как кривую из $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$. Их роды можно свести в таблицу.

двустепенная	$(2,2)$	$(2,3)$	$(2,4)$	$(2,5)$
род	1	2	3	4

и для $a=3$, Это

двустепенная	$(3,2)$	$(3,3)$	$(3,4)$	$(3,5)$
род	2	4	6	8

См. также

Классическая алгебраическая геометрия

• Акнод
• Теорема Безу
• Теорема Крамера (алгебраические кривые)
• Крунод
• Изгиб
• Рисование кривых
• Якобианская разновидность
• Клейн квартик
• Список кривых
• Шестнадцатая проблема Гильберта
• Кубическая плоская кривая
• Гиперэллиптическая кривая

Современная алгебраическая геометрия

• Бирациональная геометрия
• Коническое сечение
• Эллиптическая кривая
• Дробный идеал
• Функциональное поле алгебраического многообразия
• Функциональное поле (теория схем)
• Род (математика)
• Полиномиальная лемниската
• Кривая плоскости четвертой степени
• Рациональная нормальная кривая
• Теорема Римана–Роха для алгебраических кривых
• Теорема Вебера (Алгебраические кривые)

Геометрия римановых поверхностей

• Формула Римана – Гурвица
• Теорема Римана–Роха для римановых поверхностей
• Риманова поверхность

Ссылки

• Брискорн, Эгберт; Кнёррер, Хорст (2013). Плоские алгебраические кривые . Перевод Стиллвелла, Джона. Биркхойзер. ISBN  978-3-0348-5097-1 .
• Шевалле, Клод (1951). Введение в теорию алгебраических функций одного переменного . Математические обзоры. Том. 6. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1506-9 .
• Кулидж, Джулиан Л. (2004) [1931]. Трактат об алгебраических плоских кривых . Дувр. ISBN  978-0-486-49576-7 .
• Фаркас, HM; Кра, И. (2012) [1980]. Римановы поверхности . Тексты для аспирантов по математике. Том. 71. Спрингер. ISBN  978-1-4684-9930-8 .
• Фултон, Уильям (1989). Алгебраические кривые: введение в алгебраическую геометрию . Серия конспектов лекций по математике. Том. 30 (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-51010-2 .
• Гибсон, К.Г. (1998). Элементарная геометрия алгебраических кривых: введение для студентов . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-64641-3 .
• Гриффитс, Филипп А. (1985). Введение в алгебраические кривые . Перевод математических монографий. Том. 70 (3-е изд.). Американское математическое общество. ISBN  9780821845370 .
• Хартшорн, Робин (2013) [1977]. Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Спрингер. ISBN  978-1-4757-3849-0 .
• Иитака, Сигеру (2011) [1982]. Алгебраическая геометрия: введение в бирациональную геометрию алгебраических многообразий . Тексты для аспирантов по математике. Том. 76. Спрингер Нью-Йорк. ISBN  978-1-4613-8121-1 .
• Милнор, Джон (1968). Особые точки комплексных гиперповерхностей . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08065-8 .
• Серр, Жан-Пьер (2012) [1988]. Алгебраические группы и поля классов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 117. Спрингер. ISBN  978-1-4612-1035-1 .
• Кёттер, Эрнст (1887). «Основы чисто геометрической теории алгебраических плоских кривых». Труды Королевской академии Берлина . - выиграл премию Академии 1886 года.