Формула рода – степени

В классической алгебраической геометрии формула рода-степени связывает степень d неприводимой . плоской кривой $C$ с его арифметическим родом g по формуле:

$g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).$

Здесь «плоская кривая» означает, что $C$ представляет собой замкнутую кривую в проективной плоскости $\mathbb {P} ^{2}$. Если кривая неособая, геометрический род и арифметический род равны, но если кривая особая, имеющая только обычные особенности, геометрический род меньше. Точнее, обычная особенность кратности r уменьшает род на ${\frac {1}{2}}r(r-1)$.

Доказательство

Доказательство непосредственно следует из формулы присоединения . Классическое доказательство см. в книге Арбарелло, Корнальбы, Гриффитса и Харриса.

Обобщение

Для неособой гиперповерхности $H$ степени d в проективном пространстве $\mathbb {P} ^{n}$ арифметического рода g формула принимает вид:

$g={\binom {d-1}{n}},\,$

где ${\tbinom {d-1}{n}}$ – биномиальный коэффициент .

См. также

• Гипотеза Тома

Ссылки

• Эта статья включает в себя материал из статьи Citizendium « Формула степени рода », которая лицензируется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported , но не по GFDL .
• Энрико Арбарелло , Маурицио Корнальба, Филлип Гриффитс , Джо Харрис . Геометрия алгебраических кривых. том 1 Спрингер, ISBN   0-387-90997-4 , приложение А.
• Филлип Гриффитс и Джо Харрис , Принципы алгебраической геометрии, Уайли, ISBN   0-471-05059-8 , глава 2, раздел 1.
• Робин Хартшорн (1977): Алгебраическая геометрия , Спрингер, ISBN   0-387-90244-9 .
• Куликов, Виктор С. (2001) [1994], «Род кривой» , Энциклопедия Математики , EMS Press