Гипотеза Тома

В математике гладкая алгебраическая кривая $C$ в комплексной проективной плоскости степени $d$, имеет род , заданный формулой род-степень

$g=(d-1)(d-2)/2$.

Гипотеза Тома , названная в честь французского математика Рене Тома , утверждает, что если $\Sigma$ тот же класс, — любая гладко вложенная связная кривая, представляющая в гомологии что и $C$, то род $g$ из $\Sigma$ удовлетворяет неравенству

$g\geq (d-1)(d-2)/2$.

В частности, C известен как минимизирующий род представитель своего класса гомологии. Впервые это было доказано Питером Кронхаймером и Томашом Мровкой в ​​октябре 1994 года. с использованием новых на тот момент инвариантов Зайберга – Виттена .

Предполагая, что $\Sigma$ имеет неотрицательное число самопересечения. Это было обобщено на кэлеровы многообразия (примером является комплексная проективная плоскость) Джоном Морганом , Золтаном Сабо и Клиффордом Таубсом , также используя инварианты Зайберга – Виттена.

Существует по крайней мере одно обобщение этой гипотезы, известное как симплектическая гипотеза Тома (которая теперь является теоремой, как доказали, например, Питер Озсват и Сабо в 2000 году). ). Он утверждает, что симплектическая поверхность симплектического 4-многообразия является минимизирующей род в пределах своего класса гомологии. Это подразумевало бы предыдущий результат, поскольку алгебраические кривые (комплексная размерность 1, действительная размерность 2) являются симплектическими поверхностями внутри комплексной проективной плоскости, которая является симплектическим 4-многообразием.

См. также

• Формула присоединения
• Гипотеза Милнора (топология)