Функциональное поле (теория схем)

Пучок рациональных функций K _X схемы в X является обобщением на теорию схем понятия функционального поля алгебраического многообразия классической алгебраической геометрии . В случае многообразий такой пучок ставит в соответствие каждому открытому множеству U кольцо алгебраических всех рациональных функций на этом открытом множестве; другими словами, K _X ( U ) — множество частных регулярных функций на U . свое название, K _X не всегда дает поле для общей схемы X. Несмотря на

Простые случаи

В простейших случаях определение K _X достаточно простое. Если X — ( неприводимое ) аффинное алгебраическое многообразие , и если U открытое подмножество X , то K _X ( U ) будет полем частных кольца регулярных функций на U. — Поскольку X аффинно, кольцо регулярных функций на U будет локализацией глобальных сечений X и, следовательно, K _X будет постоянным пучком , значением которого является поле дроби глобальных сечений X .

Если X целочисленно , но не аффинно, то любое непустое аффинно открытое множество будет плотным в X . Это означает, что регулярной функции недостаточно места, чтобы делать что-либо интересное за пределами U поведение рациональных функций на U должно определять поведение рациональных функций на X. , и, следовательно , Фактически, поля дробей колец регулярных функций на любом аффинном открытом множестве будут одинаковыми, поэтому мы определяем для любых U , K _X ( U ) поле общих дробей любого кольца регулярных функций на любом открытом множестве. аффинное подмножество X . Альтернативно, в этом случае можно определить функциональное поле как локальное кольцо общей точки .

Общий случай

Проблемы начинаются, когда X перестает быть целым. могут быть делители нуля Тогда в кольце регулярных функций , и, следовательно, поля дробей больше не существует. Наивное решение — заменить поле дроби полным кольцом частных , то есть инвертировать каждый элемент, который не является делителем нуля. К сожалению, в общем случае полное факторкольцо не образует предпучка, тем более пучка. Такой пример дает известная статья Клеймана, указанная в библиографии.

Правильное решение – действовать следующим образом:

Для каждого открытого множества U пусть SU _— множество всех элементов из Γ( U , O _X ), которые не являются делителями нуля ни в одном слое O _X,x . Пусть К _Х ^{предварительно} — предпучок, сечения которого на U являются локализациями S _U ⁻¹ Γ( U , O _X ), и чьи отображения ограничения индуцированы из отображений ограничения O _X универсальным свойством локализации. Тогда K _X — пучок, ассоциированный с предпучком K _X ^{предварительно} .

Дальнейшие вопросы

Как только K _X определен, можно изучать свойства X , которые зависят только от K _X . Это предмет бирациональной геометрии .

Если X — алгебраическое многообразие над полем k , то над каждым открытым множеством U имеем расширение поля KX _мы ( U ) поля k . Размерность U будет равна степени трансцендентности этого расширения поля. Все конечные расширения поля степени трансцендентности k соответствуют полю рациональных функций некоторого многообразия.

В частном случае алгебраической кривой C , то есть размерности 1, отсюда следует, что любые две непостоянные функции F и G на C удовлетворяют полиномиальному уравнению P ( F , G ) = 0.

Библиография

• Клейман С., «Заблуждения о KX _» , Enseign. Математика. 25 (1979), 203–206, доступно по адресу https ://www.e- periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1979:25::101.