Теория устранения

В коммутативной алгебре и геометрии алгебраической теория исключения — это классическое название алгоритмических подходов к исключению некоторых переменных между полиномами нескольких переменных с целью решения систем полиномиальных уравнений .

Классическая теория исключения достигла кульминации в работе Фрэнсиса Маколея о многомерных результирующих , как описано в главе о теории исключения в первых изданиях (1930) » Бартеля ван дер Вардена «Современной алгебры . После этого теория исключения игнорировалась большинством алгебраических геометров в течение почти тридцати лет, вплоть до появления новых методов решения полиномиальных уравнений, таких как базисы Грёбнера , которые были необходимы для компьютерной алгебры .

История и связь теориями с современными

Область теории исключения была мотивирована необходимостью методов решения систем полиномиальных уравнений .

Одним из первых результатов была теорема Безу , ограничивающая количество решений (в случае двух полиномов от двух переменных во время Безу).

За исключением теоремы Безу, общий подход заключался в исключении переменных для сведения проблемы к одному уравнению с одной переменной.

Случай линейных уравнений был полностью решен методом исключения Гаусса , при этом старый метод правила Крамера не использует исключение и работает только тогда, когда количество уравнений равно количеству переменных. В 19 веке это было распространено на линейные диофантовы уравнения и абелеву группу с нормальной формой Эрмита и нормальной формой Смита .

До 20-го века были введены различные типы элиминантов , включая результирующие , и различные виды дискриминантов . В общем, эти элиминанты также инвариантны относительно различных замен переменных и также являются фундаментальными в теории инвариантов .

Все эти концепции эффективны в том смысле, что их определения включают метод вычислений. Примерно в 1890 году Дэвид Гильберт представил неэффективные методы, и это было воспринято как революция, которая побудила большинство алгебраических геометров первой половины 20-го века попытаться «устранить исключение». Тем не менее, Nullstellensatz Гильберта можно считать принадлежащим к теории исключения, поскольку он утверждает, что система полиномиальных уравнений не имеет решения тогда и только тогда, когда можно исключить все неизвестные, чтобы получить постоянное уравнение 1 = 0.

Кульминацией теории исключения стали работы Леопольда Кронекера и, наконец, Маколея , которые ввели многомерные результирующие и U-результаты , предоставив полные методы исключения для систем полиномиальных уравнений, которые описаны в главе, посвященной теории исключения, в первых изданиях (1930 г.) книги. Ван дер Вардена «Современная алгебра» .

Позже теорию исключения сочли старомодной и удалили из последующих изданий «Современной алгебры» . Его обычно игнорировали до появления компьютеров и, в частности, компьютерной алгебры , которая снова сделала актуальной разработку эффективных алгоритмов исключения, а не просто существование и структурные результаты. Основными методами такого обновления теории исключения являются базисы Грёбнера и цилиндрическая алгебраическая декомпозиция , введенные примерно в 1970 году.

Подключение к логике [ править ]

У теории исключения есть также логический аспект, как видно из проблемы булевой выполнимости . В худшем случае, по-видимому, будет сложно исключить переменные вычислительным путем. Устранение квантора — это термин, используемый в математической логике для объяснения того, что в некоторых теориях каждая формула эквивалентна формуле без квантора. Это случай теории полиномов над алгебраически замкнутым полем , где теорию исключения можно рассматривать как теорию методов, позволяющих сделать алгоритмическое исключение кванторов эффективным. Устранение кванторов над действительными числами — еще один пример, который является фундаментальным в вычислительной алгебраической геометрии .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Израиль Гельфанд , Михаил Капранов, Андрей Зелевинский , Дискриминанты, результанты и многомерные определители . Математика: теория и приложения. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1994. x+523 стр. ISBN 0-8176-3660-9
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556
Дэвид Кокс, Джон Литтл, Донал О'Ши, Использование алгебраической геометрии . Переработанное второе издание. Тексты для аспирантов по математике , вып. 185. Springer-Verlag , 2005, xii+558 стр., ISBN 978-0-387-20733-9