Основная теорема теории исключения

В алгебраической геометрии основная теорема теории исключения утверждает, что каждая проективная схема является правильной . Версия этой теоремы появилась еще до появления теории схем . Его можно сформулировать, доказать и применить в следующей более классической ситуации. Пусть $k —$ , поле обозначим через $\mathbb {P} _{k}^{n}$ проективное $n$ -мерное пространство над $k$ . Основной теоремой теории исключения является утверждение, что для любого $n$ и любого алгебраического многообразия $V,$ определенного над $k$ , отображение проекции $V\times \mathbb {P} _{k}^{n}\to V$ отправляет закрытые по Зарискому подмножества в закрытые по Зарискому подмножества.

Основная теорема теории исключения является следствием и обобщением Маколея теории многомерной равнодействующей . Результатом $n$ однородных многочленов от $n$ переменных является значение полиномиальной функции коэффициентов, которая принимает нулевое значение тогда и только тогда, когда многочлены имеют общий нетривиальный нуль над некоторым полем, содержащим коэффициенты.

Это относится к теории исключения , поскольку вычисление результирующей суммы позволяет исключить переменные между полиномиальными уравнениями. Фактически, учитывая систему полиномиальных уравнений , однородную по некоторым переменным, результирующая исключает эти однородные переменные, предоставляя уравнение с другими переменными, которое имеет в качестве решений значения этих других переменных в решениях исходного уравнения. система.

Простой мотивирующий пример

Аффинная плоскость над полем $k$ является прямым произведением $A_{2}=L_{x}\times L_{y}$ двух копий $k$ . Позволять

\pi \colon L_{x}\times L_{y}\to L_{x}

быть проекцией

(x,y)\mapsto \pi (x,y)=x.

Эта проекция не является замкнутой для топологии Зарисского (как и для обычной топологии, если $k=\mathbb {R}$ или $k=\mathbb {C}$ ), потому что изображение $\pi$ изгипербола $H$ уравнения $xy-1=0$ является $L_{x}\setminus \{0\},$ которое не замкнуто, хотя $H$ замкнуто, будучи алгебраическим многообразием .

Если кто-то продлит $L_{y}$ к проективной линии $P_{y},$ уравнение проективного пополнения гиперболы принимает вид

xy_{1}-y_{0}=0,

и содержит

{\overline {\pi }}(0,(1,0))=0,

где ${\overline {\pi }}$ это продление $\pi$ к $L_{x}\times P_{y}.$

Обычно это выражают, говоря, что начало аффинной плоскости — это проекция точки гиперболы, находящейся на бесконечности, в направлении $Y.$ оси

В более общем плане изображение $\pi$ каждого алгебраического множества в $L_{x}\times L_{y}$ является либо конечным числом точек, либо $L_{x}$ с удаленным конечным числом точек, а изображение по ${\overline {\pi }}$ любого алгебраического множества в $L_{x}\times P_{y}$ это либо конечное число точек, либо вся линия $L_{y}.$ Отсюда следует, что изображение ${\overline {\pi }}$ любого алгебраического множества является алгебраическим множеством, то есть ${\overline {\pi }}$ является замкнутым отображением топологии Зарисского.

Основная теорема теории исключения представляет собой широкое обобщение этого свойства.

Классическая формулировка

Для формулировки теоремы в терминах коммутативной алгебры необходимо рассмотреть кольцо многочленов $R[\mathbf {x} ]=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ над коммутативным нетеровым кольцом $R$ и однородным идеалом $I,$ порожденным однородными многочленами $f_{1},\ldots ,f_{k}.$ исходном доказательстве Маколея k $n$ было равно $( В$ , а $R$ было кольцом полиномов над целыми числами, чьими неопределенными были все коэффициенты $f_{i}\mathrm {s} .$ )

Любой кольцевой гомоморфизм $\varphi$ из $R$ в поле $K$ , определяет кольцевой гомоморфизм $R[\mathbf {x} ]\to K[\mathbf {x} ]$ (также обозначается $\varphi$ ), применяя $\varphi$ к коэффициентам многочленов.

Теорема: существует идеал ${\mathfrak {r}}$ в $R$ , однозначно определяемом $I$ , такой, что для любого гомоморфизма колец $\varphi$ из $R$ в поле $K$ однородные многочлены $\varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})$ имеют нетривиальный общий нуль (в алгебраическом замыкании $K$ ) тогда и только тогда, когда $\varphi ({\mathfrak {r}})=\{0\}.$

Более того, ${\mathfrak {r}}=0$ если $k < n$ и ${\mathfrak {r}}$ является главным, если $k = n$ . В последнем случае генератор ${\mathfrak {r}}$ называется равнодействующей $f_{1},\ldots ,f_{k}.$

Подсказки для доказательства и связанных с ним результатов

Используя приведенные выше обозначения, необходимо сначала охарактеризовать условие, при котором $\varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})$ не имеют нетривиального общего нуля. Это тот случай, когда максимальный однородный идеал ${\mathfrak {m}}=\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle$ — единственный однородный простой идеал, содержащий $\varphi (I)=\langle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})\rangle .$ Nullstellensatz Гильберта утверждает, что это так тогда и только тогда, когда $\varphi (I)$ содержит силу каждого $x_{i},$ или, что то же самое, что ${\mathfrak {m}}^{d}\subseteq \varphi (I)$ для некоторого положительного целого числа $d$ .

Для этого исследования Маколей представил матрицу, которая теперь называется матрицей Маколея степени $d$ . Его строки нумеруются мономами степени $d$ из $x_{1},\ldots ,x_{n},$ а его столбцы — векторы коэффициентов при мономиальном базисе полиномов вида $m\varphi (f_{i}),$ где $m$ — моном степени $d-\deg(f_{i}).$ У одного есть ${\mathfrak {m}}^{d}\subseteq \varphi (I)$ тогда и только тогда, когда ранг матрицы Маколея равен числу ее строк.

Если $k < n$ , то ранг матрицы Маколея меньше числа ее строк для каждого $d$ и, следовательно, $\varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})$ всегда имеют нетривиальный общий нуль.

В противном случае, пусть $d_{i}$ быть степенью $f_{i},$ и предположим, что индексы выбраны так, чтобы $d_{2}\geq d_{3}\geq \cdots \geq d_{k}\geq d_{1}.$ Степень

D=d_{1}+d_{2}+\cdots +d_{n}-n+1=1+\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-1)

называется степенью Маколея или границей Маколея , потому что Маколей доказал, что $\varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})$ имеют нетривиальный общий нуль тогда и только тогда, когда ранг матрицы Маколея степени $D$ меньше числа ее строк. Другими словами, указанное выше значение $может$ быть выбрано раз и навсегда равным $D.$ d

Следовательно, идеал ${\mathfrak {r}},$ существование которого утверждается основной теоремой теории исключения, является нулевым идеалом, если $< n,$ и, в противном случае, порождается максимальными минорами матрицы Маколея степени $D.$ k

Если $k = n$ , Маколей также доказал, что ${\mathfrak {r}}$ является главным идеалом (хотя матрица Маколея степени $D$ не является квадратной матрицей при $k > 2$ порождается результантом ), который $\varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{n}).$ Этот идеал также в общем случае , является простым идеалом поскольку он является простым, если $R$ — кольцо целочисленных многочленов со всеми коэффициентами $\varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})$ как неопределенные.

Геометрическая интерпретация

В предыдущей формулировке кольцо многочленов $R[\mathbf {x} ]=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ определяет морфизм схем (которые являются алгебраическими многообразиями, если $R$ конечно порождено над полем)

\mathbb {P} _{R}^{n-1}=\operatorname {Proj} (R[\mathbf {x} ])\to \operatorname {Spec} (R).

Теорема утверждает, что образ замкнутого по Зарисскому множества $V (I),$ определенного $I,$ является замкнутым множеством $V (r)$ . Таким образом, морфизм замкнут.

См. также

Ссылки

Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга сортов и схем . Спрингер. ISBN 9783540632931 .
Эйзенбуд, Дэвид (2013). Коммутативная алгебра: взгляд на алгебраическую геометрию . Спрингер. ISBN 9781461253501 .
Милн, Джеймс С. (2014). «Работа Джона Тейта». Абелевская премия 2008–2012 гг . Спрингер. ISBN 9783642394492 .