Аффинная плоскость

В геометрии аффинная плоскость — это двумерное аффинное пространство .

Примеры [ править ]

Типичными примерами аффинных плоскостей являются

Евклидовы плоскости , которые являются аффинными плоскостями над вещественными числами, снабженными метрикой , евклидовым расстоянием . Другими словами, аффинная плоскость над вещественными числами — это евклидова плоскость, в которой «забыли» метрику (т. е. не говорят ни о длинах, ни об угловых мерах).
Векторные пространства размерности два, в которых нулевой вектор не считается отличным от других элементов.
Для каждого поля или дивизионного кольца $F$ , набор $F^{2}$ пар элементов $F$ .
Результат удаления любой отдельной прямой (и всех точек на этой прямой) из любой проективной плоскости .

Координаты и изоморфизм [ править ]

Все аффинные плоскости, определенные над полем, изоморфны . Точнее, выбор аффинной системы координат (или, в реальном случае, декартовой системы координат ) для аффинной плоскости $P$ над полем $F$ индуцирует изоморфизм аффинных плоскостей между $P$ и $F^{2}$ .

В более общей ситуации, когда аффинные плоскости не определены над полем, они вообще не будут изоморфными. Две аффинные плоскости, возникающие из одной и той же недезарговой проективной плоскости удалением разных прямых, могут быть неизоморфными.

Определения [ править ]

Есть два способа формального определения аффинных плоскостей, которые эквивалентны аффинным плоскостям над полем. Первый способ состоит в определении аффинной плоскости как множества, на котором векторное пространство размерности два действует просто транзитивно . Интуитивно это означает, что аффинная плоскость — это векторное пространство размерности два, в котором «забыли», где находится начало координат. Второй путь встречается в геометрии инцидентности , где аффинная плоскость определяется как абстрактная система точек и линий, удовлетворяющая системе аксиом.

Приложения [ править ]

В приложениях математики часто возникают ситуации, когда вместо евклидовой плоскости используется аффинная плоскость без евклидовой метрики. Например, на графике , который можно нарисовать на бумаге и на котором положение частицы изображено в зависимости от времени, евклидова метрика не подходит для его интерпретации, поскольку расстояния между его точками или меры углов между ними ее линии, вообще говоря, не имеют физического значения (в аффинной плоскости оси могут использовать разные единицы, которые несопоставимы, а меры также различаются в зависимости от единиц и масштабов). ^[1]). ^[2]^[3]

Источники [ править ]

Артин, Эмиль (1987), «II. Аффинная и проективная геометрия», Геометрическая алгебра , Interscience Publishers, ISBN 0-470-03432-7
Блюменталь, Леонард М. (1980) [1961], «IV. Координаты в аффинной плоскости», Современный взгляд на геометрию , Дувр, ISBN 0-486-63962-2
Грюнберг, КВ; Вейр, AJ (1977), «II. Аффинная и проективная геометрия», Линейная геометрия (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90227-9
Снаппер, Эрнст; Тройер, Роберт Дж. (1989) [1971], Метрическая аффинная геометрия , Дувр, ISBN 0-486-66108-3
Йель, Пол Б. (1968), «Глава 5 Аффинные пространства», Геометрия и симметрия , Холден-Дэй

Ссылки [ править ]

^ См. также книги Мандельброта «Гауссово самосродство и фракталы», Леви «Основы геометрии и тригонометрии» и Яглома «Простая неевклидова геометрия и ее физические основы».
^ Пол Бамберг; Шломо Штернберг (1991). Курс математики для студентов-физиков . Том. 1. Издательство Кембриджского университета . стр. 1–2. ISBN 978-0-521-40649-9 .
^ Говард Леви (1975). Темы по геометрии . Издательство RE Krieger. п. 75. ИСБН 978-0-88275-280-8 .

[1] См. также книги Мандельброта «Гауссово самосродство и фракталы», Леви «Основы геометрии и тригонометрии» и Яглома «Простая неевклидова геометрия и ее физические основы».

[2] Пол Бамберг; Шломо Штернберг (1991). Курс математики для студентов-физиков . Том. 1. Издательство Кембриджского университета . стр. 1–2. ISBN 978-0-521-40649-9 .

[3] Говард Леви (1975). Темы по геометрии . Издательство RE Krieger. п. 75. ИСБН 978-0-88275-280-8 .

[1]

[2]

[3]