Интервал (математика)
В математике ( действительный ) интервал — это набор всех действительных чисел, лежащих между двумя фиксированными конечными точками без «пробелов». Каждая конечная точка представляет собой либо действительное число, либо положительную или отрицательную бесконечность , что указывает на то, что интервал простирается без границ . Интервал не может содержать ни одну конечную точку, ни одну конечную точку или обе конечные точки.
Например, набор действительных чисел, состоящий из 0 , 1 и всех чисел между ними, представляет собой интервал, обозначаемый [0, 1] и называемый единичным интервалом ; множество всех положительных действительных чисел представляет собой интервал, обозначаемый (0, ∞) ; множество всех действительных чисел представляет собой интервал, обозначаемый (−∞, ∞) ; и любое отдельное действительное число a является интервалом, обозначаемым [ a , a ] .
Интервалы повсеместно используются в математическом анализе . Например, они неявно встречаются в эпсилон-дельта-определении непрерывности ; теорема о промежуточном значении утверждает, что образ интервала непрерывной функцией есть интервал; интегралы от действительных функций определяются на интервале; и т. д.
Интервальная арифметика заключается в вычислениях с интервалами вместо действительных чисел для обеспечения гарантированной вложенности результата числового вычисления даже при наличии неопределенностей входных данных и ошибок округления .
Интервалы также определяются на произвольном полностью упорядоченном множестве, таком как целые или рациональные числа . Обозначение целочисленных интервалов рассматривается в специальном разделе ниже .
Определения и терминология
[ редактировать ]Интервал подмножество — это действительных чисел , содержащее все действительные числа, лежащие между любыми двумя числами этого подмножества.
интервала Конечные точки — это его верхняя и нижняя границы , если они существуют как действительные числа. [1] Если нижняя грань не существует, часто говорят, что соответствующая конечная точка равна Аналогично, если верхняя грань не существует, говорят, что соответствующая конечная точка равна
Интервалы полностью определяются их конечными точками и тем, принадлежит ли каждая конечная точка интервалу. Это следствие свойства наименьшей верхней границы действительных чисел. Эта характеристика используется для задания интервалов с помощью интервальное обозначение , которое описано ниже.
Ан Открытый интервал не включает в себя конечную точку и указывается в скобках. [2] Например, это интервал всех действительных чисел больше 0 и меньше 1 . (Этот интервал также можно обозначить ]0, 1[ , см. ниже). Открытый интервал (0, +∞) состоит из действительных чисел, больших 0 , т.е. положительных действительных чисел. Таким образом, открытые интервалы являются одной из форм
где и действительные числа такие, что Когда в первом случае результирующий интервал представляет собой пустое множество который является вырожденным интервалом (см. ниже). Открытые интервалы — это те интервалы, которые представляют собой открытые множества для обычной топологии действительных чисел.
А Закрытый интервал — это интервал, включающий все свои концы и обозначаемый квадратными скобками. [2] Например, [0, 1] означает больше или равно 0 и меньше или равно 1 . Замкнутые интервалы имеют одну из следующих форм, в которой a и b — действительные числа такие, что
Замкнутые интервалы — это интервалы, которые представляют собой замкнутые множества для обычной топологии действительных чисел. Пустой набор и являются единственными интервалами, которые одновременно открыты и закрыты.
А полуоткрытый интервал имеет два конца и включает только один из них. Говорят, что он открыт слева или открыт справа в зависимости от того, находится ли исключенная конечная точка слева или справа. Эти интервалы обозначаются смешанными обозначениями открытых и закрытых интервалов. [3] Например, (0, 1] означает больше 0 и меньше или равно 1 , а [0, 1) означает больше или равно 0 и меньше 1 . Полуоткрытые интервалы имеют вид
Каждый закрытый интервал представляет собой замкнутое множество действительной прямой , но интервал, являющийся замкнутым множеством, не обязательно должен быть замкнутым интервалом. Например, интервалы и также являются замкнутыми множествами в действительной прямой. Интервалы и не являются ни открытым, ни закрытым множеством. Если разрешить, чтобы конечная точка на закрытой стороне была бесконечностью (например, (0,+∞] ) , результатом не будет интервал, поскольку он даже не является подмножеством действительных чисел. Вместо этого результат можно увидеть как интервал в расширенной действительной линии , который встречается в теории меры , например, .
Таким образом, набор действительных чисел является интервалом тогда и только тогда, когда это открытый интервал, закрытый интервал или полуоткрытый интервал. [4] [5]
А вырожденный интервал — это любой набор, состоящий из одного действительного числа (т. е. интервал формы [ a , a ] ). [6] Некоторые авторы включают в это определение пустое множество. Действительный интервал, который не является ни пустым, ни вырожденным, называется собственным и имеет бесконечное число элементов.
Интервал называется ограниченным слева или справа , если существует некоторое действительное число, которое соответственно меньше или больше всех его элементов. Интервал называется ограниченным , если он ограничен как слева, так и справа; и в противном случае говорят, что он неограничен . Интервалы, ограниченные только с одного конца, называются полуограниченными . Пустое множество ограничено, а множество всех действительных чисел — единственный интервал, неограниченный на обоих концах. Ограниченные интервалы также широко известны как конечные интервалы .
Ограниченные интервалы — это ограниченные множества в том смысле, что их диаметр (который равен абсолютной разности между конечными точками) конечен. Диаметр можно назвать длиной , шириной , мерой , диапазоном или размером интервала. Размер неограниченных интервалов обычно определяется как +∞ , а размер пустого интервала может быть определен как 0 (или оставлен неопределенным).
Центр ( ( середина ограниченного интервала с концами a и b равен ) a + b )/2 , а его радиус — полудлина | а - б |/2 . Эти понятия не определены для пустых или неограниченных интервалов.
Интервал называется открытым слева тогда и только тогда, когда он не содержит минимума (элемент, который меньше всех других элементов); открыть вправо, если он не содержит максимума ; и открыть, если он не содержит ни того, ни другого. Интервал [0, 1) = { x | 0 ≤ x < 1} , например, закрыто слева и открыто справа. Пустое множество и множество всех действительных чисел являются как открытыми, так и закрытыми интервалами, тогда как множество неотрицательных действительных чисел представляет собой закрытый интервал, открытый справа, но не открытый слева. Открытые интервалы представляют собой открытые множества реальной линии в ее стандартной топологии и образуют основу открытых множеств.
Интервал называется замкнутым слева, если он имеет минимальный элемент или неограничен слева, и замкнутым справа, если он имеет максимум или неограничен справа; он просто закрыт , если он закрыт одновременно слева и справа. Итак, замкнутые интервалы совпадают с замкнутыми множествами в этой топологии.
Внутренняя часть интервала I — это самый большой открытый интервал, содержащийся в I ; это также набор точек в I, не являются конечными точками I. которые Замыкание содержащий I I это наименьший закрытый интервал, ; — которое также является множеством, которое я дополнил конечными концами.
Для любого набора X действительных чисел интервал интервала или интервал интервала X — это уникальный интервал, содержащий X , и не содержит должным образом какой-либо другой интервал, который также X. содержит
Интервал I является подинтервалом интервала J если I является подмножеством J , . Интервал I является собственным подинтервалом J , если I является подмножеством J собственным .
Однако существует противоречивая терминология для терминов «сегмент» и «интервал» , которые используются в литературе двумя принципиально противоположными способами, что приводит к двусмысленности при использовании этих терминов. Энциклопедия математики [7] определяет интервал (без квалификатора), чтобы исключить обе конечные точки (т. е. открытый интервал), и сегмент Рудина , включающий обе конечные точки (т. е. закрытый интервал), тогда как Принципы математического анализа [8] вызывает наборы формы [ a , b ] интервалов и наборы формы ( a , b ) сегментов повсюду. Эти термины, как правило, появляются в старых работах; в современных текстах все чаще отдается предпочтение термину «интервал» (определяемому словами «открытый» , «закрытый » или «полуоткрытый» ), независимо от того, включены ли конечные точки.
Обозначения интервалов
[ редактировать ]Интервал чисел между a и b , включая a и b , часто обозначается [ a , b ] . Эти два числа называются конечными точками интервала. В странах, где числа записываются через десятичную запятую , точку с запятой во избежание двусмысленности в качестве разделителя можно использовать .
Включение или исключение конечных точек
[ редактировать ]Чтобы указать, что одну из конечных точек следует исключить из набора, соответствующую квадратную скобку можно либо заменить круглой скобкой, либо перевернуть. Оба обозначения описаны в международном стандарте ISO 31-11 . Таким образом, в обозначениях построителя множеств ,
Каждый интервал ( a , a ) , [ a , a ) и ( a , a ] представляет пустое множество , тогда как [ a , a ] обозначает единичный набор { a } . Когда a > b , обычно принимаются все четыре обозначения для представления пустого множества.
Оба обозначения могут пересекаться с другими видами использования круглых и квадратных скобок в математике. Например, обозначение ( a , b ) часто используется для обозначения упорядоченной пары в теории множеств, координат точки линейной или вектора в аналитической геометрии и алгебре или (иногда) комплексного числа в алгебре . Именно поэтому Бурбаки ввел обозначения ] a , b [ для обозначения открытого интервала. [9] Обозначение [ a , b ] тоже иногда используется для упорядоченных пар, особенно в информатике .
Некоторые авторы, такие как Ив Тилле, используют ] a , b [ для обозначения дополнения интервала ( a , b ) ; а именно, набор всех действительных чисел, которые либо меньше или равны a , либо больше или равны b .
Бесконечные конечные точки
[ редактировать ]В некоторых контекстах интервал может быть определен как подмножество расширенных действительных чисел , набор всех действительных чисел, дополненных -∞ и +∞ .
В этой интерпретации обозначения [−∞, b ] , (−∞, b ] , [ a , +∞] и [ a , +∞) осмысленны и различны. В частности, (−∞, +∞) обозначает множество всех обычных действительных чисел, а [−∞, +∞] обозначает расширенные действительные числа.
Даже в контексте обычных реалов можно использовать бесконечную конечную точку, чтобы указать, что в этом направлении нет границы. Например, (0, +∞) — это набор положительных действительных чисел , также записываемый как Контекст влияет на некоторые из приведенных выше определений и терминологии. Например, интервал (−∞, +∞) = замкнуто в сфере обычных реалов, но не в сфере расширенных реалов.
Целочисленные интервалы
[ редактировать ]Когда a и b являются целыми числами , обозначения ⟦ a, b ⟧ или [ a .. b ] или { a .. b } или просто a .. b иногда используются для обозначения интервала всех целых чисел между a и b. включено. Обозначение [ a..b программирования ] некоторых используется в языках ; в Паскале , например, он используется для формального определения типа поддиапазона, чаще всего используется для указания нижней и верхней границ индексов массива допустимых .
Другой способ интерпретации целочисленных интервалов — это наборы, определенные перечислением , с использованием записи с многоточием .
Целочисленный интервал, имеющий конечную нижнюю или верхнюю конечную точку, всегда включает эту конечную точку. Следовательно, исключение конечных точек можно явно обозначить, написав a .. b − 1 , a + 1 .. b или a + 1 .. b − 1 . Обозначения в альтернативных скобках, такие как [ a .. b ) или [ a .. b [, редко используются для целочисленных интервалов. [ нужна ссылка ]
Характеристики
[ редактировать ]Интервалы — это в точности связные подмножества Отсюда следует, что образ интервала любой непрерывной функцией из к тоже интервал. Это одна из формулировок теоремы о промежуточном значении .
Интервалы также являются выпуклыми подмножествами Интервал, включающий подмножество также является выпуклой оболочкой
Замыкание . интервала представляет собой объединение интервала и множества его конечных точек и, следовательно, также является интервалом (Последнее также следует из того, что замыкание каждого связного подмножества топологического пространства является связным подмножеством.) Другими словами, мы имеем [10]
Пересечение любого набора интервалов всегда является интервалом. Объединение двух интервалов является интервалом тогда и только тогда, когда они имеют непустое пересечение или открытый конец одного интервала является замкнутым концом другого, например
Если рассматривается как метрическое пространство , его открытые шары — это открытые ограниченные интервалы ( c + r , c − r ) , а его закрытые шары — это закрытые ограниченные интервалы [ c + r , c — r ] . В частности, метрическая и порядковая топологии в реальной линии совпадают, что является стандартной топологией реальной линии.
Любой элемент x интервала I определяет разбиение I на три непересекающихся интервала I 1 , I 2 , I 3 : соответственно элементы I , меньшие x , представляют собой одиночный элемент. и элементы, которые больше x . Части I 1 и I 3 непусты (и имеют непустую внутреннюю часть), тогда и только тогда, когда x находится внутри I . Это интервальная версия принципа трихотомии .
Диадические интервалы
[ редактировать ]Диадический интервал — это ограниченный действительный интервал, конечные точки которого и где и являются целыми числами. В зависимости от контекста любая конечная точка может быть включена или не включена в интервал.
Диадические интервалы обладают следующими свойствами:
- Длина двоичного интервала всегда равна целой степени двойки.
- Каждый двоичный интервал содержится ровно в одном двоичном интервале двойной длины.
- Каждый диадический интервал состоит из двух диадических интервалов половинной длины.
- Если два открытых диадических интервала перекрываются, то один из них является подмножеством другого.
Следовательно, диадические интервалы имеют структуру, отражающую структуру бесконечного двоичного дерева .
Диадические интервалы актуальны для нескольких областей численного анализа, включая адаптивное уточнение сетки , многосеточные методы и вейвлет-анализ . Другой способ представления такой структуры — p-адический анализ (при p = 2 ). [11]
Обобщения
[ редактировать ]Шары
[ редактировать ]Открытый конечный интервал представляет собой одномерный открытый шар с центром в точке и радиус Замкнутый конечный интервал — соответствующий замкнутый шар, а две конечные точки интервала образуют 0-мерную сферу . Обобщено до В многомерном евклидовом пространстве шаром называется множество точек, расстояние от центра которых меньше радиуса. В двумерном случае шар называется диском .
Если полупространство рассматривается как своего рода вырожденный шар (без четко определенного центра или радиуса), полупространство можно рассматривать как аналог полуограниченного интервала с его граничной плоскостью в качестве (вырожденной) сферы. соответствующий конечной конечной точке.
Многомерные интервалы
[ редактировать ]Конечный интервал — это (внутренность) одномерного гиперпрямоугольника . Обобщено к реальному координатному пространству гиперпрямоугольник ориентированный по оси, (или прямоугольник), произведением является декартовым конечные интервалы. Для это прямоугольник ; для это прямоугольный кубоид (его еще называют « коробкой »).
Учитывая сочетание открытых, закрытых и бесконечных конечных точек, декартово произведение любого интервалы, иногда называют -мерный интервал . [ нужна ссылка ]
Аспект интервала такого является результатом замены любого невырожденного интервального коэффициента вырожденным интервалом, состоящим из конечной точки Лица включать в себя себя и все лица своих граней. Углы это грани, состоящие из одной точки [ нужна ссылка ]
Выпуклые многогранники
[ редактировать ]Любой конечный интервал может быть построен как пересечение полуограниченных интервалов (при этом пустое пересечение означает всю действительную линию), а пересечение любого количества полуограниченных интервалов представляет собой (возможно, пустой) интервал. Обобщено до -мерное аффинное пространство , пересечение полупространств (произвольной ориентации) является (внутренностью) выпуклым многогранником или, в двумерном случае, выпуклым многоугольником .
Домены
[ редактировать ]Открытый интервал — это связное открытое множество действительных чисел. Обобщая топологические пространства в целом, непустое связное открытое множество называется областью .
Сложные интервалы
[ редактировать ]Интервалы комплексных чисел можно определить как области комплексной плоскости , прямоугольные или круглые . [12]
Интервалы в частично упорядоченных наборах и предварительно упорядоченных наборах
[ редактировать ]Определения
[ редактировать ]Понятие интервалов может быть определено в произвольных частично упорядоченных множествах или, в более общем смысле, в произвольных предварительно упорядоченных множествах . Для предзаказанного набора и два элемента аналогичным образом определяются интервалы [13] : 11, Определение 11
где означает На самом деле интервалы с одной конечной точкой или без нее — это то же самое, что интервалы с двумя конечными точками в большем предварительно упорядоченном наборе.
определяется путем добавления новых наименьших и наибольших элементов (даже если они были), которые являются подмножествами В случае можно взять быть расширенной действительной линией .
Выпуклые множества и выпуклые компоненты в теории порядка
[ редактировать ]Подмножество из предзаказанного набора является (порядково)выпуклым, если для любого и каждый у нас есть В отличие от реальной линии, выпуклое множество предупорядоченного множества не обязательно должно быть интервалом. Например, в полностью упорядоченном множестве рациональных чисел , множество
выпукло, но не является интервалом так как нет квадратного корня из двух
Позволять быть заранее заказанным набором и пусть Выпуклые множества содержится в образуют частично упорядоченное множество при включении. Максимальный элемент этого ЧУМ называется выпуклой компонентой [14] : Определение 5.1 [15] : 727 По лемме Цорна любое выпуклое множество содержится в содержится в некоторой выпуклой компоненте но такие компоненты не обязательно должны быть уникальными. В полностью упорядоченном множестве такая компонента всегда уникальна. То есть выпуклые компоненты подмножества полностью упорядоченного множества образуют раздел .
Характеристики
[ редактировать ]Далее следует обобщение характеристик действительных интервалов. Для непустого подмножества линейного континуума следующие условия эквивалентны. [16] : 153, Теорема 24.1.
- Набор является интервалом.
- Набор является порядково-выпуклой.
- Набор является связным подмножеством, когда наделен порядковой топологией .
Для подмножества решетки следующие условия эквивалентны.
- Набор является подрешеткой и (порядково)выпуклым множеством.
- Есть идеал и фильтр такой, что
Приложения
[ редактировать ]В общей топологии
[ редактировать ]Каждое тихоновское пространство вкладывается в пространство произведений замкнутых единичных интервалов. имеющее базу мощности Фактически, каждое тихоновское пространство , встраивается в продукт из копии интервалов. [17] : с. 83, Теорема 2.3.23
Понятия выпуклых множеств и выпуклых компонент используются для доказательства того, что любое полностью упорядоченное множество, наделенное порядковой топологией, . совершенно нормально [15] или, более того, монотонно нормально . [14]
Топологическая алгебра
[ редактировать ]Этот раздел нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( сентябрь 2023 г. ) |
Интервалы могут быть связаны с точками плоскости, и, следовательно, области интервалов могут быть связаны с областями плоскости. Обычно интервал в математике соответствует упорядоченной паре ( x , y ), взятой из прямого произведения действительных чисел с самим собой, где часто предполагается, что y > x . Для целей математической структуры это ограничение отбрасывается, [18] и «перевернутые интервалы», где y − x <0 разрешены . Тогда совокупность всех интервалов [ x , y ] можно отождествить с топологическим кольцом, образованным прямой суммой сам с собой, где сложение и умножение определяются покомпонентно.
Алгебра прямой суммы имеет два идеала : { [ x ,0] : x ∈ R } и { [0, y ] : y ∈ R }. Единичным элементом этой алгебры является сокращенный интервал [1, 1] . Если интервал [ x , y ] не принадлежит ни одному из идеалов, то он имеет мультипликативную обратную [1/ x , 1/ y ] . наделенная обычной топологией Алгебра интервалов, , образует топологическое кольцо . Группа единиц этого кольца состоит из четырех квадрантов, определяемых осями, в данном случае идеалами. Единичным компонентом этой группы является квадрант I.
Каждый интервал можно рассматривать как симметричный интервал вокруг его середины . В реконфигурации, опубликованной в 1956 году М. Вармусом, ось «сбалансированных интервалов» [ x , − x ] используется вместе с осью интервалов [ x , x ] , которые сводятся к точке. Вместо прямой суммы кольцо интервалов было идентифицировано [19] с гиперболическими числами М. Вармуса и Д. Х. Лемера посредством идентификации
где
Это линейное отображение плоскости, представляющее собой кольцевой изоморфизм , придает плоскости мультипликативную структуру, имеющую некоторые аналогии с обычной комплексной арифметикой, такой как полярное разложение .
См. также
[ редактировать ]- Дуга (геометрия)
- Неравенство
- Интервальный график
- Интервальный конечный элемент
- Интервал (статистика)
- Отрезок линии
- Разделение интервала
- Единичный интервал
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Берцекас, Дмитрий П. (1998). Оптимизация сети: непрерывные и дискретные методы . Афина Сайентифик. п. 409. ИСБН 1-886529-02-7 .
- ^ Перейти обратно: а б Стрихарц, Роберт С. (2000). Путь анализа . Издательство Джонс и Бартлетт. п. 86. ИСБН 0-7637-1497-6 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Интервал» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 г.
- ^ «Интервал и отрезок» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Тао, Теренс (2016). Анализ И. Тексты и чтения по математике. Том. 37 (3-е изд.). Сингапур: Спрингер. п. 212. дои : 10.1007/978-981-10-1789-6 . ISBN 978-981-10-1789-6 . ISSN 2366-8725 . LCCN 2016940817 . См. определение 9.1.1.
- ^ Крамер, Харальд (1999). Математические методы статистики . Издательство Принстонского университета. п. 11. ISBN 0691005478 .
- ^ «Интервал и отрезок — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Архивировано из оригинала 26 декабря 2014 г. Проверено 12 ноября 2016 г.
- ^ Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 31 . ISBN 0-07-054235-Х .
- ^ «Почему американские и французские обозначения для открытых интервалов ( x , y ) отличаются от ] x , y [?» . hsm.stackexchange.com . Проверено 28 апреля 2018 г.
- ^ Люди (2016) , с. 214, см. лемму 9.1.12.
- ^ Козырев, Сергей (2002). «Вейвлет-теория как p -адический спектральный анализ» . Известия РАН. Сер. Мат. 66 (2): 149–158. arXiv : math-ph/0012019 . Бибкод : 2002ИзМат..66..367К . дои : 10.1070/IM2002v066n02ABEH000381 . S2CID 16796699 . Проверено 5 апреля 2012 г.
- ^ Комплексная интервальная арифметика и ее приложения , Миодраг Петкович, Лиляна Петкович, Wiley-VCH, 1998, ISBN 978-3-527-40134-5
- ^ Винд, Карл (2003). Независимость, аддитивность, неопределенность . Исследования по экономической теории. Том. 14. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-540-24757-9 . ISBN 978-3-540-41683-8 . Збл 1080.91001 .
- ^ Перейти обратно: а б Хит, RW; Лютцер, Дэвид Дж.; Зенор, Польша (1973). «Монотонно нормальные пространства» . Труды Американского математического общества . 178 : 481–493. дои : 10.2307/1996713 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1996713 . МР 0372826 . Збл 0269.54009 .
- ^ Перейти обратно: а б Стин, Линн А. (1970). «Прямое доказательство того, что линейно упорядоченное пространство является наследственно нормальным по совокупности» . Труды Американского математического общества . 24 (4): 727–728. дои : 10.2307/2037311 . ISSN 0002-9939 . JSTOR 2037311 . МР 0257985 . Збл 0189.53103 .
- ^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-181629-9 . МР 0464128 . Збл 0951.54001 .
- ^ Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Ряд сигм в чистой математике. Том. 6 (Переработанное и дополненное изд.). Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN 3-88538-006-4 . МР 1039321 . Збл 0684.54001 .
- ^ Кай Мэдсен (1979) Обзор «Интервального анализа в расширенном интервальном пространстве» Эдгара Каучера [ постоянная мертвая ссылка ] из математических обзоров
- ^ Д. Х. Лемер (1956) Обзор «Исчисления приближений» [ постоянная мертвая ссылка ] из математических обзоров
Библиография
[ редактировать ]- Т. Сунага, «Теория интервальной алгебры и ее применение к численному анализу». Архивировано 9 марта 2012 г. в Wayback Machine , В: Мемуары Исследовательской ассоциации прикладной геометрии (RAAG), Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Токио, Япония, 1958 г., Том. 2, стр. 29–46 (547–564); перепечатано в Японском журнале промышленной и прикладной математики, 2009 г., Vol. 26, № 2–3, стр. 126–143.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- «Осознанный интервал» Брайана Хейса: статья American Scientist представляет собой введение.
- Веб-сайт интервальных вычислений. Архивировано 2 марта 2006 г. на Wayback Machine.
- Исследовательские центры интервальных вычислений. Архивировано 3 февраля 2007 г. в Wayback Machine.
- Интервальная нотация Джорджа Бека, Демонстрационный проект Wolfram .
- Вайсштейн, Эрик В. «Интервал» . Математический мир .