Сплит-комплексное число

«Двойной номер» перенаправляется сюда. Информацию о формате числа компьютера см. в разделе Формат чисел с плавающей запятой двойной точности .

В алгебре расщепленное комплексное число (или гиперболическое число , также число недоумения , двойное число ) основано на гиперболической единице j , удовлетворяющей условиям $j^{2}=1.$ Комплексное число с расщеплением имеет две действительные компоненты x и y и записывается $z=x+yj.$ Сопряженное ​ с z есть $z^{*}=x-yj.$ С $j^{2}=1,$ произведение числа z на сопряженное ему равно $N(z):=zz^{*}=x^{2}-y^{2},$ изотропная квадратичная форма .

Коллекция D всех разделенных комплексных чисел $z=x+yj$ для $x,y\in \mathbb {R}$образует алгебру над полем действительных чисел . Два расщепленных комплексных числа w и z имеют произведение wz , удовлетворяющее условиям $N(wz)=N(w)N(z).$ Эта композиция N над произведением алгебры делает ( D , +, ×, *) композиционной алгеброй .

Подобная алгебра на основе $\mathbb {R} ^{2}$ и покомпонентные операции сложения и умножения, $(\mathbb {R} ^{2},+,\times ,xy),$ где xy — квадратичная форма на $\mathbb {R} ^{2},$также образует квадратичное пространство . Кольцевой изоморфизм

$${\begin{aligned}D&\to \mathbb {R} ^{2}\\x+yj&\mapsto (x-y,x+y)\end{aligned}}$$

связывает пропорциональные квадратичные формы, но отображение не является изометрией , поскольку мультипликативное тождество 1, 1) ( $\mathbb {R} ^{2}$ находится на расстоянии ${\sqrt {2}}$ от 0, который нормирован в D .

Сплит-комплексные числа имеют много других названий; см. § Синонимы ниже. См. статью Переменная двигателя для функций расщепленного комплексного числа.

Определение

Сплит -комплексное число — это упорядоченная пара действительных чисел, записанная в виде

$$z=x+jy$$

где x и y — действительные числа , а гиперболическая единица Джей удовлетворяет

$$j^{2}=+1$$

В области комплексных чисел мнимая единица i удовлетворяет $i^{2}=-1.$Смена знака отличает расщепленные комплексные числа от обычных комплексных. Гиперболическая единица j — это не действительное число, а независимая величина.

Совокупность всех таких z называется расщепленной комплексной плоскостью . Сложение и умножение расщепленных комплексных чисел определяются формулой

$${\begin{aligned}(x+jy)+(u+jv)&=(x+u)+j(y+v)\\(x+jy)(u+jv)&=(xu+yv)+j(xv+yu).\end{aligned}}$$

Это умножение коммутативно , ассоциативно и распределяется по сложению.

, модульная и

Как и для комплексных чисел, можно определить понятие комплексно-сопряженного числа . Если

$$z=x+jy~,$$

тогда сопряженное к z определяется как

$$z^{*}=x-jy~.$$

Конъюгат представляет собой инволюцию , которая обладает свойствами, аналогичными комплексно-сопряженным . А именно,

$${\begin{aligned}(z+w)^{*}&=z^{*}+w^{*}\\(zw)^{*}&=z^{*}w^{*}\\\left(z^{*}\right)^{*}&=z.\end{aligned}}$$

Квадрат модуля расщепленного комплексного числа $z=x+jy$ задается изотропной квадратичной формой

$$\lVert z\rVert ^{2}=zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}~.$$

Он обладает свойством алгебры композиции :

$$\lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~.$$

Однако эта квадратичная форма не является положительно определенной , а имеет сигнатуру (1, −1) , поэтому модуль не нормой является .

Соответствующая билинейная форма имеет вид

$$\langle z,w\rangle =\operatorname {\mathrm {Re} } \left(zw^{*}\right)=\operatorname {\mathrm {Re} } \left(z^{*}w\right)=xu-yv~,$$

где $z=x+jy$ и $w=u+jv.$ Здесь действительная часть определяется выражением $\operatorname {\mathrm {Re} } (z)={\tfrac {1}{2}}(z+z^{*})=x$. Тогда другое выражение для квадрата модуля:

$$\lVert z\rVert ^{2}=\langle z,z\rangle ~.$$

Поскольку она не является положительно определенной, эта билинейная форма не является внутренним продуктом ; тем не менее, билинейную форму часто называют неопределенным внутренним продуктом . Аналогичное злоупотребление языком относится к модулю как к норме.

Комплексное число с расщеплением обратимо тогда и только тогда, когда его модуль отличен от нуля ( $\lVert z\rVert \neq 0$), таким образом, числа вида x ± jx не имеют обратных. Мультипликативный обратный обратимому элементу задается формулой

$$z^{-1}={\frac {z^{*}}{{\lVert z\rVert }^{2}}}~.$$

Комплексные числа, которые не являются обратимыми, называются нулевыми векторами . Все они имеют форму ( a ± ja ) для некоторого действительного числа a .

Диагональный базис

Есть два нетривиальных идемпотентных элемента , заданных формулой $e={\tfrac {1}{2}}(1-j)$ и $e^{*}={\tfrac {1}{2}}(1+j).$ Напомним, что идемпотентность означает, что $ee=e$ и $e^{*}e^{*}=e^{*}.$ Оба эти элемента имеют значение null:

$$\lVert e\rVert =\lVert e^{*}\rVert =e^{*}e=0~.$$

Часто удобно использовать e и e ^∗ как альтернативный базис для расщепленной комплексной плоскости. Этот базис называется диагональным базисом или нулевым базисом . Сплит-комплексное число z можно записать в нулевом базисе как

$$z=x+jy=(x-y)e+(x+y)e^{*}~.$$

Если мы обозначим число $z=ae+be^{*}$ для действительных чисел a и b на ( a , b ) , то комплексное умножение с расщеплением задается формулой

$$\left(a_{1},b_{1}\right)\left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2}\right)~.$$

Сплит-комплекс, сопряженный в диагональном базисе, имеет вид

$$(a,b)^{*}=(b,a)$$

и квадрат модуля по

$$\lVert (a,b)\rVert ^{2}=ab.$$

Изоморфизм

Эта коммутативная диаграмма связывает действие гиперболического версора на D с отображением сжатия σ , примененным к $\mathbb {R} ^{2}$

На основе {е, е*} становится ясно, что расщепляемые комплексные числа кольцево изоморфны прямой сумме $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ с попарным определением сложения и умножения.

Диагональный базис для расщепленной комплексной числовой плоскости можно вызвать, используя упорядоченную пару ( x , y ) для $z=x+jy$ и делаем картографирование

$$(u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(x,y)S~.$$

Теперь квадратичная форма $uv=(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}~.$ Более того,

$$(\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=\left(e^{a},e^{-a}\right)$$

таким образом, две параметризованные гиперболы приводятся в соответствие с S .

Действие ​ гиперболического версора $e^{bj}\!$ тогда при этом линейном преобразовании соответствует отображению сжатия

$$\sigma :(u,v)\mapsto \left(ru,{\frac {v}{r}}\right),\quad r=e^{b}~.$$

лежат в одном и том же классе изоморфизма в категории колец Хотя расщепляемая комплексная плоскость и прямая сумма двух вещественных прямых , они различаются по своему расположению в декартовой плоскости . Изоморфизм как плоское отображение состоит из поворота против часовой стрелки на 45° и расширения на √ 2 . В частности, расширение иногда вызывало путаницу в отношении областей гиперболического сектора . Действительно, гиперболический угол соответствует площади сектора в $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ плоскость с ее «единичным кругом», заданным формулой $\{(a,b)\in \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} :ab=1\}.$ Сжатая единичная гипербола $\{\cosh a+j\sinh a:a\in \mathbb {R} \}$плоскости расщепленного комплекса имеет только половину площади в размахе соответствующего гиперболического сектора. Подобная путаница может продолжаться вечно, если геометрия расщепленной комплексной плоскости не отличается от геометрии плоскости. $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$.

Геометрия

  Единичная гипербола: ‖ z ‖ = 1

  Сопряженная гипербола: ‖ z ‖ = −1

  Асимптоты: ‖ z ‖ = 0

Двумерное действительное векторное пространство со скалярным произведением Минковского называется (1 + 1) -мерным пространством Минковского , часто обозначаемым $\mathbb {R} ^{1,1}.$ Столько же геометрии евклидовой плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ можно описать комплексными числами, геометрия плоскости Минковского $\mathbb {R} ^{1,1}$ можно описать расщепленными комплексными числами.

Набор очков

$$\left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=a^{2}\right\}$$

является гиперболой для любого ненулевого a в $\mathbb {R} .$Гипербола состоит из правой и левой ветвей, проходящих через ( a , 0) и (− a , 0) . Случай а = 1 называется единичной гиперболой . Сопряженная гипербола имеет вид

$$\left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=-a^{2}\right\}$$

с верхней и нижней ветвью, проходящей через (0, a ) и (0, − a ) . Гипербола и сопряженная гипербола разделены двумя диагональными асимптотами , которые образуют набор нулевых элементов:

$$\left\{z:\lVert z\rVert =0\right\}.$$

Эти две линии (иногда называемые конусом ) перпендикулярны нулевым $\mathbb {R} ^{2}$ и имеют наклоны ±1.

Сплит-комплексные числа z и w называются гиперболически-ортогональными, если ⟨ z , w ⟩ = 0 . Хотя это условие аналогично обычной ортогональности, особенно в том виде, в котором оно известно в обычной арифметике комплексных чисел, оно более тонкое. Это составляет основу концепции одновременной гиперплоскости в пространстве-времени.

Аналогом формулы Эйлера для расщепленных комплексных чисел является

$$\exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta ).$$

Эту формулу можно получить путем разложения в степенной ряд, используя тот факт, что cosh имеет только четные степени, а sinh — нечетные. Для всех действительных значений гиперболического угла θ расщепленное комплексное число λ = exp( jθ ) имеет норму 1 и лежит на правой ветви единичной гиперболы. Такие числа, как λ, называются гиперболическими версорами .

Поскольку λ имеет модуль 1, умножение любого расщепленного комплексного числа z на λ сохраняет модуль z и представляет собой гиперболическое вращение (также называемое усилением Лоренца или отображением сжатия ). Умножение на λ сохраняет геометрическую структуру, переводя гиперболы в себя, а нулевой конус в себя.

Набор всех преобразований расщепленной комплексной плоскости, которые сохраняют модуль (или, что то же самое, скалярный продукт), образует группу , называемую обобщенной ортогональной группой O(1, 1) . Эта группа состоит из гиперболических вращений, которые образуют подгруппу , обозначенную SO. ⁺ (1, 1) в сочетании с четырьмя дискретными отражениями , заданными формулой

$$z\mapsto \pm z$$

и $z\mapsto \pm z^{*}.$

Экспоненциальная карта

$$\exp \colon (\mathbb {R} ,+)\to \mathrm {SO} ^{+}(1,1)$$

отправка θ во вращение с помощью exp( jθ ) является групповым изоморфизмом, поскольку применяется обычная экспоненциальная формула:

$$e^{j(\theta +\phi )}=e^{j\theta }e^{j\phi }.$$

Если расщепленное комплексное число z не лежит ни на одной из диагоналей, то z имеет полярное разложение .

Алгебраические свойства

В терминах абстрактной алгебры расщепленные комплексные числа можно описать как частное . кольца полиномов $\mathbb {R} [x]$ идеалом , порожденным полиномом $x^{2}-1,$

$$\mathbb {R} [x]/(x^{2}-1).$$

Образ x в частном — это «мнимая» единица j . Благодаря этому описанию становится ясно, что расщепленные комплексные числа образуют коммутативную алгебру над действительными числами. Алгебра не является полем , поскольку нулевые элементы не обратимы. Все ненулевые нулевые элементы являются делителями нуля .

Поскольку сложение и умножение являются непрерывными операциями относительно обычной топологии плоскости, расщепляемые комплексные числа образуют топологическое кольцо .

Алгебра расщепленных комплексных чисел образует композиционную алгебру , поскольку

$$\lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~$$

для любых чисел z и w .

Из определения видно, что кольцо расщепленных комплексных чисел изоморфно групповому кольцу $\mathbb {R} [C_{2}]$ циклической группы C ₂ над действительными числами $\mathbb {R} .$

Матричные представления

Комплексные числа с расщеплением можно легко представить с помощью матриц . Сплит-комплексное число $z=x+jy$ может быть представлена ​​матрицей $z\mapsto {\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.$

Сложение и умножение комплексных чисел затем задаются путем сложения и умножения матриц. Модуль z задается определителем соответствующей матрицы.

На самом деле существует множество представлений расщепленной комплексной плоскости в четырехмерном кольце вещественных матриц размером 2x2. Действительные кратные единичной матрицы образуют вещественную строку в кольце матриц M(2,R). Любая гиперболическая единица m обеспечивает базовый элемент, с помощью которого можно продлить действительную линию до плоскости расщепленного комплекса. Матрицы

$$m={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}}$$

какой квадрат единичной матрицы удовлетворяет $a^{2}+bc=1.$Например, когда a = 0, то ( b,c ) — точка стандартной гиперболы. В более общем смысле, в M(2,R) существует гиперповерхность гиперболических единиц, любая из которых служит базисом для представления расщепленных комплексных чисел как подкольца M (2,R).

Номер $z=x+jy$ может быть представлена ​​матрицей $x\ I+y\ m.$

История

Использование расщепленных комплексных чисел восходит к 1848 году, когда Джеймс Кокл представил свои тессарины . Уильям Кингдон Клиффорд использовал расщепленные комплексные числа для представления сумм спинов. Клиффорд ввел использование расщепленных комплексных чисел в качестве коэффициентов в алгебре кватернионов, которая теперь называется расщепленными бикватернионами . Его элементы он назвал «двигателями», термином, параллельным «роторному» действию обычного комплексного числа, взятого из группы кругов . Продолжая аналогию, функции двигательной переменной противопоставляются функциям обычной комплексной переменной .

С конца двадцатого века расщепленное комплексное умножение обычно рассматривалось как лоренцевское усиление плоскости пространства-времени . В этой модели число z = x + y j представляет событие в пространственно-временной плоскости, где x измеряется в наносекундах, а y — в футах Мермина . Будущее соответствует квадранту событий { z : | й | < x } , который имеет расщепленное комплексное полярное разложение $z=\rho e^{aj}\!$. Модель утверждает, что z можно достичь из начала координат, введя систему отсчета с быстротой a и ожидая ρ наносекунд. Уравнение расщепленного комплекса

$$e^{aj}\ e^{bj}=e^{(a+b)j}$$

Выражение произведений через единичную гиперболу иллюстрирует аддитивность быстроты для коллинеарных скоростей. Одновременность событий зависит от быстроты а ;

$$\{z=\sigma je^{aj}:\sigma \in \mathbb {R} \}$$

— линия событий, одновременная с началом координат в системе отсчета с быстротой a .

Два события z и w являются гиперболически-ортогональными, если $z^{*}w+zw^{*}=0.$ Канонические события exp( aj ) и j exp( aj ) гиперболически ортогональны и лежат на осях системы отсчета, в которой события, одновременные с началом координат, пропорциональны j exp( aj ) .

В 1933 году Макс Цорн использовал расщепленные октонионы и отметил свойство алгебры композиции . Он понял, что конструкция Кэли-Диксона , используемая для создания алгебр с делением, может быть изменена (с фактором гамма, γ ) для построения других композиционных алгебр, включая расщепленные октонионы. Его новаторство было продолжено Адрианом Альбертом , Ричардом Д. Шафером и другими. Гамма-фактор с R в качестве базового поля строит комплексные числа с расщеплением как композиционную алгебру. В обзоре Альберта для Mathematical Reviews Н. Х. Маккой писал, что произошло «введение некоторых новых алгебр второго порядка». ^Это над F, обобщающим алгебры Кэли – Диксона». Взятие F = R и e = 1 соответствует алгебре этой статьи.

В 1935 году Х. К. Виньо, А. Дураньона и Ведия разработали геометрическую алгебру и теорию функций с расщепленным комплексом в четырех статьях в журнале « Вклад в физические и математические науки» , Национальный университет Ла-Платы , Аргентинская Республика (на испанском языке). Эти разъяснительные и педагогические эссе представили тему, получившую широкое признание.

В 1941 году Э. Ф. Аллен использовал комплексную геометрическую арифметику, чтобы определить девятиточечную гиперболу треугольника, вписанного в zz. ^∗ = 1 .

В 1956 году Мечислав Вармус опубликовал «Исчисление аппроксимаций» в «Бюллетене Полонезской академии наук» (см. ссылку в разделе «Ссылки»). Он разработал две алгебраические системы, каждую из которых он назвал «приблизительными числами», вторая из которых образует настоящую алгебру. Д. Х. Лемер просмотрел статью в Mathematical Reviews и заметил, что эта вторая система изоморфна «гиперболическим комплексным» числам, которые являются предметом этой статьи.

В 1961 году Вармус продолжил свое изложение, называя компоненты приблизительного числа серединой и радиусом обозначенного интервала.

Синонимы

Разные авторы использовали самые разные названия для расщепляющихся комплексных чисел. Некоторые из них включают в себя:

• ( настоящие ) тессарины , Джеймс Кокл (1848)
• ( алгебраические ) двигатели , У. К. Клиффорд (1882 г.)
• гиперболические комплексные числа , Ж.К.Виньо (1935), Г.Кри (1949)
• двумерные числа , У. Бенчивенга (1946)
• действительные гиперболические числа , Н. Смит (1949)
• приблизительные числа , Вармус (1956), для использования в интервальном анализе
• двойные числа , И.М. Яглом (1968), Кантор и Солодовников (1989), Хазевинкель (1990), Руни (2014)
• гиперболические числа , В. Миллер и Р. Бенинг (1968), Г. Собчик (1995)
• анормально-комплексные числа , В. Бенц (1973)
• числа недоумения , П. Фьелстад (1986) и Пудиак и Леклер (2009)
• контркомплекс или гиперболический , Кармоди (1988)
• Числа Лоренца , Ф. Р. Харви (1990)
• полукомплексные числа , Ф. Антонуччо (1994)
• паракомплексные числа , Кручану, Фортуни и Гадеа (1996)
• расщепленные комплексные числа , Б. Розенфельд (1997)
• Числа пространства-времени , Н. Борота (2000)
• Номера исследований , П. Лунесто (2001)
• два комплексных числа , С. Олариу (2002)
• расщепленные бинарионы , К. МакКриммон (2004)

См. также

• Пространство Минковского
• Сплит-кватернион
• Гиперкомплексное число

Дальнейшее чтение

• Бенчивенга, Ульдрико (1946) «О геометрическом представлении двойных алгебр, оснащенных модулем», Труды Королевской академии наук и Fine Letters Неаполя , Сер (3) т.2 №7. МИСТЕР 0021123 .
• Вальтер Бенц (1973) Лекции по геометрии алгебр , Спрингер
• Н. А. Борота, Э. Флорес и Т. Дж. Ослер (2000) «Пространство-время исчисляется простым способом», Mathematics and Computer Education 34: 159–168.
• Н. А. Борота и Т. Дж. Ослер (2002) «Функции пространственно-временной переменной», Математика и компьютерное образование 36: 231–239.
• К. Кармоди, (1988) «Круговые и гиперболические кватернионы, октонионы и седенионы» , Appl. Математика. Вычислить. 28:47–72.
• К. Кармоди, (1997) «Круговые и гиперболические кватернионы, октонионы и седенионы – дальнейшие результаты», Appl. Математика. Вычислить. 84:27–48.
• Уильям Кингдон Клиффорд (1882) Математические труды , редактор А. В. Такера, стр. 392, «Дальнейшие заметки о бикватернионах»
• В. Кручану, П. Фортуни и П. М. Гадеа (1996) Обзор паракомплексной геометрии , Rocky Mountain Journal of Mathematics 26 (1): 83–115, ссылка из Project Euclid .
• Де Бур, Р. (1987) «Также известный как список чисел недоумения», American Journal of Physics 55(4):296.
• Энтони А. Харкин и Джозеф Б. Харкин (2004) Геометрия обобщенных комплексных чисел , журнал Mathematics Magazine 77 (2): 118–29.
• Ф. Риз Харви. Спиноры и калибровки. Академическое издательство, Сан-Диего. 1990. ISBN   0-12-329650-1 . Содержит описание нормированных алгебр неопределенной сигнатуры, включая числа Лоренца.
• Хазевинкль, М. (1994) «Двойные и двойственные числа», Математическая энциклопедия , Советский Союз/AMS/Kluwer, Дордрект.
• Кевин МакКриммон (2004) Вкус иорданской алгебры , стр. 66, 157, Universitext, Springer ISBN   0-387-95447-3 МР 2014924
• К. Мюзес, «Прикладные гиперчисла: вычислительные концепции», Appl. Математика. Вычислить. 3 (1977) 211–226.
• К. Мюзес, «Гиперчисла II — дальнейшие концепции и вычислительные приложения», Appl. Математика. Вычислить. 4 (1978) 45–66.
• Олариу, Сильвиу (2002) Комплексные числа в N измерениях , Глава 1: Гиперболические комплексные числа в двух измерениях, страницы 1–16, Математические исследования Северной Голландии № 190, Elsevier ISBN   0-444-51123-7 .
• Пудиак, Роберт Д. и Кевин Дж. Леклер (2009) «Фундаментальные теоремы алгебры для недоумений», The College Mathematics Journal 40 (5): 322–35.
• Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , перевод Э. Примроуза с русского оригинала 1963 года, Academic Press , стр. 18–20.
• Дж. Руни (2014). «Обобщенные комплексные числа в механике». У Марко Чеккарелли и Виктора А. Глазунова (ред.). Достижения в области теории и практики роботов и манипуляторов: Труды Romansy 2014 XX Симпозиум CISM-IFToMM по теории и практике роботов и манипуляторов . Механизмы и машиноведение. Том. 22. Спрингер. стр. 55–62. дои : 10.1007/978-3-319-07058-2_7 . ISBN  978-3-319-07058-2 .