Девятиточечная гипербола

  Точки треугольника △ ABC и задана точка P.

  Шесть составляющих линий четырехугольника, образованного A, B, C, P

  Девятиточечная гипербола . Правая ветвь делит пополам BA , BC , BP ; левая делит пополам PA , PC , AC и проходит через пересечения прямых BC, PA и AB, PC .

В евклидовой геометрии с треугольником △ ABC гипербола с девятью точками является примером коники с девятью точками, описанной американским математиком Максимом Бошером в 1892 году. Знаменитый круг с девятью точками является отдельным экземпляром коники Бошера:

Дан треугольник △ ABC и точка P в его плоскости. конику Через следующие девять точек можно провести :

середины ​ сторон △ ABC ,

средние точки линий, соединяющих P с вершинами, и

точки, в которых эти последние названные линии пересекают стороны треугольника.

Коника является эллипсом , если P лежит внутри △ ABC или в одной из областей плоскости, отделенной от внутренней части двумя сторонами треугольника; в противном случае коника является гиперболой . Бохер отмечает, что когда P является ортоцентром , получается окружность из девяти точек, а когда P находится на окружности описанной △ ABC , то коника является равносторонней гиперболой.

Аллен

Подход к девятиточечной гиперболе с использованием аналитической геометрии расщепленных комплексных чисел был разработан Э. Ф. Алленом в 1941 году. Письмо $z=a+bj$, Дж ² = 1 , он использует комплексную арифметику для выражения гиперболы как

$zz^{*}=a^{2}.$

Используется как описанная окружность треугольника. $t_{1},t_{2},t_{3}.$ Позволять $s=t_{1}+t_{2}+t_{3}.$ Тогда девятиточечная коника

$\left(z-{\frac {s}{2}}\right)\left(z^{*}-{\frac {s^{*}}{2}}\right)={\frac {a^{2}}{4}}.$

Описание Алленом девятиточечной гиперболы последовало за развитием девятиточечного круга , который Фрэнк Морли и его сын опубликовали в 1933 году. Они использовали единичный круг на комплексной плоскости как описанную окружность данного треугольника.

В 1953 году Аллен расширил свое исследование до девятиточечной коники треугольника, вписанного в любую центральную конику.

Yaglom

Для Яглома гипербола — это круг Минковского, как и в плоскости Минковского . Описание этой геометрии Ягломом можно найти в главе «Заключение» книги, в которой первоначально рассматривается геометрия Галилея. Он рассматривает треугольник, вписанный в «описанную окружность», которая на самом деле является гиперболой. На плоскости Минковского девятиточечная гипербола также описывается как круг:

… середины сторон треугольника △ ABC и основания его высот (а также середины отрезков, соединяющих ортоцентр △ ABC с его вершинами) лежат на [Минковском] круге S, радиус которого равен половине радиуса описанной окружности треугольника. S естественно называть шести- (девяти) точечной окружностью (Минковского) треугольника △ ABC ; если △ ABC имеет вписанную окружность s , то шести- (девяти) точечная окружность S фигуры △ ABC касается вписанной окружности s (рис.173).

Другие

В 2005 году Дж. А. Скотт использовал единичную гиперболу в качестве описанной окружности треугольника ABC и нашел условия для того, чтобы она включала шесть центров треугольника: центроид X (2), ортоцентр X (4), точки Ферма X (13) и X (14) и Наполеон указывает X(17) и X(18), как указано в Энциклопедии центров треугольников . Гипербола Скотта — это гипербола Киперта треугольника.

Кристофер Бат описывает прямоугольную гиперболу с девятью точками, проходящую через эти центры: центр X (1), три эксцентра , центроид X (2), точку де Лонгшана треугольника X (20) и три точки, полученные путем продления медиан в два раза. их цевианская длина.

Ссылки

• Максим Бошер (1892) Девятиточечная коническая система , Анналы математики , ссылка из Jstor .
• Мод А. Минторн (1912) Коническая девятиточечная , магистерская диссертация в Калифорнийском университете в Беркли , ссылка с сайта HathiTrust . Мод Эллен Минторн родилась в 1883 году, ЛеМарс, Айова, умерла в 1966 году, Санкт-Петербург, Флорида. Дау. Пеннингтона Минторна, 1856–1939 (брат Хульды Минторн Гувер, матери президента Герберта Гувера) и Анны Мэри Хилд, 1887–1940 (сестра Франклина Германа Хилда, основателя озера Эльсинор, Калифорния (WRH) Мод Минторн также преподавал в средней школе Фресно, Калифорния, 1935–1940 гг.
• Бьёрн Фельсагер (2004) Геометрия Минковского, Часть 1 , Геометрия Минковского, Часть 2 ICME-10 Копенгаген.