очки Наполеона

В геометрии плоским точки Наполеона — это пара особых точек, связанных с треугольником . Принято считать, что существование этих точек было обнаружено Наполеоном Бонапартом , императором Франции с 1804 по 1815 год, но многие подвергают сомнению это убеждение. ^[1] Точки Наполеона — это центры треугольников , и они перечислены как точки X (17) и X (18) в Кларка Кимберлинга » «Энциклопедии центров треугольников .

Название «точки Наполеона» также применялось к другой паре центров треугольников, более известных как изодинамические точки . ^[2]

Определение точек

Первая точка Наполеона

Пусть $△ ABC$ — любой данный плоский треугольник . На сторонах $BC, CA, AB$ треугольника постройте обращенные наружу равносторонние треугольники $△ DBC, △ ECA, △ FAB$ соответственно. Пусть центроиды этих треугольников будут $X, Y, Z$ соответственно. линии $AX, BY, CZ$ совпадают Тогда . Точка совпадения $N 1$ — это первая точка Наполеона или внешняя точка Наполеона треугольника $△ ABC$ .

Треугольник $△ XYZ$ называется внешним треугольником Наполеона треугольника $△ ABC$ . Теорема Наполеона утверждает, что этот треугольник является равносторонним .

В » Кларка Кимберлинга первая «Энциклопедии центров треугольников точка Наполеона обозначена X (17). ^[3]

Трехлинейные координаты N $ 1$ : ${\begin{aligned}&\csc(A+{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(B+{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(C+{\tfrac {\pi }{6}})\\[2pt]=\ &\sec(A-{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(B-{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(C-{\tfrac {\pi }{3}})\end{aligned}}$
Барицентрические координаты N $ 1$ : $a\csc(A+{\tfrac {\pi }{6}}):b\csc(B+{\tfrac {\pi }{6}}):c\csc(C+{\tfrac {\pi }{6}})$

Вторая точка Наполеона

Пусть $△ ABC$ — любой данный плоский треугольник . На сторонах $BC, CA, AB$ треугольника $постройте равносторонние треугольники, нарисованные внутрь, △ DBC, △ ECA, △ FAB$ соответственно. Пусть центроиды этих треугольников будут $X, Y, Z$ соответственно. Тогда линии $AX, BY, CZ$ совпадают. Точка совпадения $N 2$ — это вторая точка Наполеона или внутренняя точка Наполеона $△ ABC$ .

Треугольник $△ XYZ$ называется внутренним треугольником Наполеона треугольника $△ ABC$ . Теорема Наполеона утверждает, что этот треугольник является равносторонним.

В Энциклопедии центров треугольников Кларка Кимберлинга вторая точка Наполеона обозначена X (18). ^[3]

Трехлинейные координаты $N 2$ : ${\begin{aligned}&\csc(A-{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(B-{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(C-{\tfrac {\pi }{6}})\\[2pt]=\ &\sec(A+{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(B+{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(C+{\tfrac {\pi }{3}})\end{aligned}}$
Барицентрические координаты $N 2$ : $a\csc(A-{\tfrac {\pi }{6}}):b\csc(B-{\tfrac {\pi }{6}}):c\csc(C-{\tfrac {\pi }{6}})$

Две точки, тесно связанные с точками Наполеона, — это точки Ферма-Торричелли (14) ETC ( X (13) и X ). Если вместо построения линий, соединяющих центроиды равносторонних треугольников с соответствующими вершинами, теперь построить линии, соединяющие вершины равносторонних треугольников с соответствующими вершинами треугольника, три построенные таким образом линии снова будут параллельными. Точки совпадения называются точками Ферма-Торричелли, иногда обозначаемыми $F 1$ и $F 2$ . Пересечение линии Ферма (т. е. линии, соединяющей две точки Ферма-Торричелли) и линии Наполеона (т. е. линии, соединяющей две точки Наполеона) является симмедианной точкой ETC треугольника ( X (6) ).

Обобщения

Результаты относительно существования точек Наполеона можно обобщать по-разному. При определении точек Наполеона мы начинаем с равносторонних треугольников, нарисованных на сторонах $△ ABC$ , а затем рассматриваем центры $X, Y, Z$ этих треугольников. Эти центры можно представить как вершины равнобедренных треугольников, возведенных на сторонах треугольника ABC с углами при основании, равными $π$ /6 (30 градусов). Обобщения направлены на определение других треугольников, которые при возведении над сторонами $△ ABC$ имеют совпадающие линии, соединяющие их внешние вершины и вершины $△ ABC$ .

Равнобедренные треугольники

Это обобщение утверждает следующее: ^[4]

Если три треугольника

XBC, △ YCA, △ ZAB

, построенные на сторонах данного треугольника

△ ABC

как основания, подобны , равнобедренны и одинаково расположены, то прямые

AX, BY, CZ

совпадают в точке

N.

△

Если общий базовый угол равен $θ$ , то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты. ${\begin{array}{rccccc}X=&-\sin \theta &:&\sin(C+\theta )&:&\sin(B+\theta )\\Y=&\sin(C+\theta )&:&-\sin \theta &:&\sin(A+\theta )\\Z=&\sin(B+\theta )&:&\sin(A+\theta )&:&-\sin \theta \end{array}}$

Трилинейные координаты $N$ : $\csc(A+\theta ):\csc(B+\theta ):\csc(C+\theta )$

Интересны несколько частных случаев.

Значение $θ$	Точка $Н$
⁠ $0$ ⁠	$G$ , центр тяжести $△ ABC$
⁠ ${\frac {\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}}$ ⁠	$O$ , ортоцентр $△ ABC$
⁠ ${\frac {\pi }{4}},-{\frac {\pi }{4}}$ ⁠	Точки Вектена
⁠ ${\frac {\pi }{6}}$ ⁠	$N 1$ , первая точка Наполеона X (17)
⁠ $-{\frac {\pi }{6}}$ ⁠	$N 2$ , вторая точка Наполеона X (18)
⁠ ${\frac {\pi }{3}}$ ⁠	$F 1$ , первая точка Ферма–Торричелли X (13)
⁠ $-{\frac {\pi }{3}}$ ⁠	$F 2$ , вторая точка Ферма–Торричелли X (14)
${\begin{cases}-A&{\text{if }}A<\pi /2\\\pi -A&{\text{if }}A>\pi /2\end{cases}}$	Вершина $А$
${\begin{cases}-B&{\text{if }}B<\pi /2\\\pi -B&{\text{if }}B>\pi /2\end{cases}}$	Вершина $Б$
${\begin{cases}-C&{\text{if }}C<\pi /2\\\pi -C&{\text{if }}C>\pi /2\end{cases}}$	Вершина $С$

Более того, место геометрическое $N$ , когда основной угол $θ$ изменяется между − $π$ /2 и $π$ /2, является конической

${\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0.$

Эта коника представляет собой прямоугольную гиперболу и называется гиперболой Киперта в честь Людвига Киперта (1846–1934), математика, открывшего этот результат. ^[4] Эта гипербола представляет собой единственную конику, проходящую через пять точек $A, B, C, G,$ O.

Подобные треугольники

Обобщение точки Наполеона: особый случай

Три треугольника $△ XBC, △ YCA, △ ZAB,$ возведенные над сторонами треугольника $△ ABC,$ не обязательно должны быть равнобедренными, чтобы три линии $AX, BY, CZ$ совпадали. ^[5]

подобные треугольники

△ XBC, △ AYC, △ ABZ

снаружи построены

Если на сторонах любого треугольника △ ABC

, то прямые

AX, BY, CZ

совпадают.

Произвольные треугольники

Совпадение линий $AX, BY, CZ$ сохраняется даже в очень расслабленных условиях. Следующий результат устанавливает одно из наиболее общих условий $строк AX, BY, CZ .$ одновременности ^[5]

Если треугольники

△ XBC, △ YCA, △ ZAB

построены снаружи на сторонах любого треугольника

△ ABC

такого, что

$\angle CBX=\angle ABZ,\quad \angle ACY=\angle BCX,\quad \angle BAZ=\angle CAY;$

тогда строки

AX, BY, CZ

совпадают.

Точка параллелизма известна как точка Якоби .

История

Коксетер и Грейтцер формулируют теорему Наполеона следующим образом: если на сторонах любого треугольника снаружи расположены равносторонние треугольники, их центры образуют равносторонний треугольник . Они отмечают, что Наполеон Бонапарт был немного математиком и очень интересовался геометрией. Однако они сомневаются, достаточно ли Наполеон знал геометрию, чтобы открыть приписываемую ему теорему. ^[1]

Самое раннее зарегистрированное появление результата, воплощенного в теореме Наполеона, находится в статье в «Дамском дневнике», опубликованной в 1825 году. «Дамский дневник» был ежегодным периодическим изданием, которое выходило в Лондоне с 1704 по 1841 год. Результат появился как часть вопрос, поставленный У. Резерфордом, Вудберном.

VII. Квест.(1439); г-на У. Резерфорда, Вудберн». Опишите равносторонние треугольники (все вершины либо все наружу, либо все внутрь) на трех сторонах любого треугольника ABC: тогда линии, соединяющие центры тяжести этих трех равносторонних треугольников, составят равносторонний треугольник. Требовался

Однако в этом вопросе нет никаких упоминаний о существовании так называемых наполеоновских точек. Кристоф Дж. Скриба , немецкий историк математики , изучил проблему приписывания Наполеону точек Наполеона в статье в журнале Historia Mathematica . ^[6]

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Коксетер, HSM; Грейцер, С.Л. (1967). Возвращение к геометрии . Математическая ассоциация Америки. стр. 61–64 .
^ Ригби, Дж. Ф. (1988). «Возвращение Наполеона». Журнал геометрии . 33 (1–2): 129–146. дои : 10.1007/BF01230612 . МР 0963992 . S2CID 189876799 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Кимберлинг, Кларк. «Энциклопедия центров треугольников» . Проверено 2 мая 2012 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Эдди, Р.Х.; Фрич, Р. (июнь 1994 г.). «Коники Людвига Киперта: комплексный урок геометрии треугольника» (PDF) . Журнал «Математика» . 67 (3): 188–205. дои : 10.2307/2690610 . JSTOR 2690610 . Проверено 26 апреля 2012 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б де Вильерс, Майкл (2009). Некоторые приключения в евклидовой геометрии . Динамическое обучение математике. стр. 138–140. ISBN 9780557102952 .
^ Скриба, Кристоф Дж (1981). «Как «Теорема Наполеона» получила свое название?» . История математики . 8 (4): 458–459. дои : 10.1016/0315-0860(81)90054-9 .

Дальнейшее чтение

Стачел, Хельмут (2002). «Теорема Наполеона и обобщения с помощью линейных карт» (PDF) . Вклад в алгебру и геометрию . 43 (2): 433–444 . Проверено 25 апреля 2012 г.
Грюнбаум, Бранко (2001). «Родственник «теоремы Наполеона» » (PDF) . Геомбинаторика . 10 : 116–121 . Проверено 25 апреля 2012 г.
Катриен Вандермейлен; и др. «Наполеон, математик?» . Математика для Европы. Архивировано из оригинала 30 августа 2012 года . Проверено 25 апреля 2012 г.
Богомольный, Александр . «Теорема Наполеона» . Разрежь узел! Интерактивная колонка с использованием Java-апплетов . Проверено 25 апреля 2012 г.
«Тема Наполеона и очки Наполеона» . Архивировано из оригинала 21 января 2012 года . Проверено 24 апреля 2012 г.
Вайсштейн, Эрик В. «Очки Наполеона» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 24 апреля 2012 г.
Филип ЛаФлер. «Теорема Наполеона» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 сентября 2012 года . Проверено 24 апреля 2012 г.
Ветцель, Джон Э. (апрель 1992 г.). «Обратные теоремы Наполеона» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 апреля 2014 года . Проверено 24 апреля 2012 г.

[Coexeter-1] Перейти обратно: ^а ^б Коксетер, HSM; Грейцер, С.Л. (1967). Возвращение к геометрии . Математическая ассоциация Америки. стр. 61–64 .

[2] Ригби, Дж. Ф. (1988). «Возвращение Наполеона». Журнал геометрии . 33 (1–2): 129–146. дои : 10.1007/BF01230612 . МР 0963992 . S2CID 189876799 .

[ETC-3] Перейти обратно: ^а ^б Кимберлинг, Кларк. «Энциклопедия центров треугольников» . Проверено 2 мая 2012 г.

[Eddy-4] Перейти обратно: ^а ^б Эдди, Р.Х.; Фрич, Р. (июнь 1994 г.). «Коники Людвига Киперта: комплексный урок геометрии треугольника» (PDF) . Журнал «Математика» . 67 (3): 188–205. дои : 10.2307/2690610 . JSTOR 2690610 . Проверено 26 апреля 2012 г.

[Michael-5] Перейти обратно: ^а ^б де Вильерс, Майкл (2009). Некоторые приключения в евклидовой геометрии . Динамическое обучение математике. стр. 138–140. ISBN 9780557102952 .

[6] Скриба, Кристоф Дж (1981). «Как «Теорема Наполеона» получила свое название?» . История математики . 8 (4): 458–459. дои : 10.1016/0315-0860(81)90054-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]