Теорема Наполеона

Теорема Наполеона: если треугольники с центрами L, M, N равносторонние, то и зеленый треугольник равносторонний.

В геометрии , либо полностью направленных наружу, либо полностью внутрь , теорема Наполеона гласит, что если равносторонние треугольники построены на сторонах любого треугольника , то линии, соединяющие центры этих равносторонних треугольников, сами образуют равносторонний треугольник.

Образовавшийся таким образом треугольник называется внутренним или внешним треугольником Наполеона . Разница площадей внешнего и внутреннего треугольников Наполеона равна площади исходного треугольника.

Эту теорему часто приписывают Наполеону Бонапарту (1769–1821). Некоторые предполагают, что это может быть связано с вопросом У. Резерфорда, опубликованным в 1825 году в «Дамском дневнике» , через четыре года после смерти французского императора: но результат объясняется тремя вопросами, заданными на экзамене на золотую медаль в Дублинском университете в октябре 1820 года, тогда как Наполеон умер в мае следующего года.

Доказательства

На рисунке выше △ ABC — исходный треугольник. △ AZB , △ BXC , △ CYA — равносторонние треугольники, построенные по внешним сторонам, а точки L, M, N — центры тяжести этих треугольников. Теорема для внешних треугольников утверждает, что треугольник △ LMN ( зеленый ) равносторонний.

Быстрый способ убедиться в том, что △ LMN равносторонний, — это заметить, что MN становится CZ при вращении по часовой стрелке на 30 ° вокруг A и гомотетии отношения ⁠. ${\sqrt {3}}$⁠ с тем же центром, и что LN также становится CZ после поворота против часовой стрелки на 30 ° вокруг B и гомотетии отношения ⁠ ${\sqrt {3}}$⁠ с тем же центром. Соответствующие спиральные сходства являются ⁠ $A({\sqrt {3}},-30^{\circ }),\ B({\sqrt {3}},30^{\circ }).$⁠ Это означает, что MN = LN и угол между ними должен быть 60°.

На самом деле существует множество доказательств утверждения теоремы, в том числе синтетическое (бескоординатное) , тригонометрический ​ , подход , основанный на симметрии , и доказательства с использованием комплексных чисел .

Фон

Отрывок из «Женского дневника» 1826 года с геометрическими и аналитическими доказательствами.

Эту теорему часто приписывали Наполеону, но по этому вопросу было написано несколько статей. что ставит под сомнение это утверждение (см. ( Грюнбаум 2012 )).

Следующая запись появилась на странице 47 «Женского дневника» за 1825 год (то есть в конце 1824 года, примерно через год после составления экзаменационных работ в Дублине). Это первое появление теоремы Наполеона в печати, имя Наполеона не упоминается.

VII. Квест.(1439); г-н У. Резерфорд, Вудберн.

«Опишите равносторонние треугольники (все вершины либо все наружу, либо все внутрь) на трех сторонах любого треугольника △ ABC : тогда линии, соединяющие центры тяжести этих трех равносторонних треугольников, составят равносторонний треугольник. Требуется демонстрация».

Поскольку Уильям Резерфорд был очень способным математиком, его мотивы потребовать доказательства теоремы, которую он наверняка мог бы доказать сам, неизвестны. Возможно, он задал этот вопрос как вызов своим коллегам, или, возможно, он надеялся, что ответы приведут к более элегантному решению. Однако это становится ясно из прочтения последовательных номеров «Женского дневника» в 1820-х годов, что редактор стремился каждый год включать разнообразный набор вопросов, некоторые из которых подходили для начинающих.

Очевидно, что ни в вопросе, ни в опубликованных ответах, появившихся годом позже, в 1826 году, нет никаких упоминаний о Наполеоне, хотя редактор, очевидно, опустил некоторые материалы. Кроме того, сам Резерфорд не фигурирует среди названных решателей после напечатанных решений, хотя из подсчета несколькими страницами ранее очевидно, что он действительно прислал решение, как это сделали некоторые из его учеников и коллеги из школы Вудберна, включая первое из опубликованных решений. Действительно, Группа решения проблем Вудберна, как ее можно было бы назвать сегодня, к тому времени была достаточно известна, чтобы о ней было написано в «Историческом, географическом и описательном взгляде на графство Нортумберленд…» (2-е изд. Том II, стр. 123–124). Считалось, что первая известная ссылка на этот результат как на теорему Наполеона появляется в 17-м издании « Элементов геометрии» Файфофера , опубликованном в 1911 году. хотя Файфофер действительно упоминает Наполеона в несколько более ранних изданиях. Но это спорный вопрос, поскольку мы находим Наполеона, упомянутого по имени в этом контексте в энциклопедии 1867 года. Больший исторический интерес в отношении Файфофера представляет проблема, которую он использовал в более ранних изданиях: классическая задача об описании наибольшего равностороннего треугольника вокруг данного треугольника, которую Томас Мосс поставил в « Женском дневнике» в 1754 году, в решении которой, предложенном Уильямом Бевилом в следующем году, мы могли бы легко распознать зародыш теоремы Наполеона - два результата, тогда бегайте вместе туда-сюда хотя бы ближайшие сто лет по проблемным страницам популярных альманахов: когда Хонсбергер предложил в «Математических жемчужинах» в 1973 году то, что он считал собственной новинкой, он фактически резюмировал часть этой обширной, хотя и неформальной, литературы.

Неплохо было бы вспомнить, что популярный вариант предложения Пифагора, согласно которому квадраты помещаются на краях треугольников, заключался в размещении равносторонних треугольников на краях треугольников: можно ли сделать с равносторонними треугольниками то же, что можно сделать с квадратами? например, в случае прямоугольных треугольников разрезать тот, что стоит на гипотенузе, на те, что стоят на катетах? Подобно тому, как авторы неоднократно возвращались к рассмотрению других свойств ветряной мельницы Евклида или стула невесты, так и эквивалентная фигура с равносторонними треугольниками, заменяющими квадраты, привлекла и получила - внимание. Возможно, самым величественным достижением в этом отношении является призовой вопрос Уильяма Мейсона в « Дневнике леди и джентльмена» за 1864 год, ответы и комментарии к которому в следующем году займут около пятнадцати страниц. К тому времени это особенное почтенное место - начиная с 1704 года для журнала "Дамский дневник" и с 1741 года для журнала "Дневник джентльмена" - было на последнем издыхании, но проблемы такого рода продолжались и в « Образовательной газете». прямо в начале 1900-х годов.

Дублинские проблемы, октябрь 1820 г.

В докладе по геометрии, представленном на второе утро экзаменов для кандидатов на золотую медаль на общем экзамене Дублинского университета в октябре 1820 года, появляются следующие три задачи.

Вопрос 10. Таким образом, на сторонах данного треугольника построены три равносторонних треугольника A, B, D , прямые, соединяющие их центры, C, C', C" образуют равносторонний треугольник. [На прилагаемой схеме показаны равносторонние треугольники, расположенные внешне.]

Вопрос 11. Если три равносторонних треугольника построить так, как показано на последнем рисунке, то линии, соединяющие их центры, также образуют равносторонний треугольник. [На прилагаемой диаграмме показано расположение равносторонних треугольников внутрь.]

Вопрос 12. Исследовать связь между площадью данного треугольника и площадями этих двух равносторонних треугольников.

Эти проблемы зафиксированы в

• Дублинские задачи: сборник вопросов, предлагаемых кандидатам на золотую медаль на общих экзаменах с 1816 по 1822 год включительно. За ним следует отчет об экзамене на стипендию в 1823 году (Г. и У. Б. Уиттакер, Лондон, 1823 г.).

Вопрос 1249 в «Дневнике джентльмена»; или «Математический репозиторий за 1829 год» (появившийся таким образом в конце 1828 года) развивает эту тему, а решения появятся в выпуске следующего года. Один из решателей, Т. С. Дэвис, затем обобщил результат, полученный в вопросе 1265 в том же году, а в следующем году представил свое собственное решение, опираясь на статью, которую он уже опубликовал в «Философском журнале» в 1826 году. В этом материале нет перекрестных ссылок на то, что описано выше. Однако на проблемных страницах популярных альманахов есть несколько предметов, представляющих схожий интерес, начиная как минимум с середины 1750-х годов (Мосс) и заканчивая серединой 1860-х годов (Мейсон), как упоминалось выше.

Так случилось, что имя Наполеона упоминается в связи с этим результатом не менее чем в справочном труде, чем в Энциклопедии Чемберса еще в 1867 году (т. IX, ближе к концу статьи о треугольниках).

Другое замечательное свойство треугольников, известное как проблема Наполеона, состоит в следующем: если в каком-либо треугольнике описаны три равносторонних треугольника и центры тяжести этих трех соединены, то образовавшийся таким образом треугольник является равносторонним и имеет центр тяжести, совпадающий с центром тяжести треугольника. как у исходного треугольника.

Но затем результат появился с доказательством в учебнике, по крайней мере, к 1834 году ( «Евклид» Джеймса Томсона , стр. 255–256). ). В примечании (стр. 372) Томасон добавляет:

Это любопытное положение я не встречал, за исключением « Дублинских задач», опубликованных в 1823 году, где оно помещено без демонстрации.

Во втором издании (1837 г.) Томсон расширил примечание, предоставив доказательство от бывшего студента из Белфаста:

Ниже приводится набросок очень простого и аккуратного доказательства, сделанного мистером Адамом Д. Глазго из Белфаста, моим бывшим студентом с большим вкусом и талантом к математическим занятиям:

Таким образом, Томсон, судя по всему, не знает о появлении проблемы в «Дамском дневнике» за 1825 год или в «Дневнике джентльмена» за 1829 год (точно так же, как Дж. С. Маккей должен был оставаться в неведении о последнем появлении, цитируя « Дублинские проблемы», хотя и отмечая у бывших читателей American Mathematical Monthly есть указатель на вопрос 1249 в « Дневнике джентльмена» в Р. К. Арчибальда «Дневнике джентльмена»; выпуск за январь 1920 г., стр. 41, сн. 7, хотя первое опубликованное решение в « Дамском дневнике» за 1826 г. показывает, что даже Арчибальд не был всезнающим в приоритетных вопросах).

Общий центр

Центры внутреннего и внешнего треугольников Наполеона совпадают с центром тяжести исходного треугольника. Это совпадение было отмечено в Энциклопедии Чемберса в 1867 году, как цитировалось выше. Запись там без подписи. П.Г. Тейт , тогдашний профессор естественной философии Эдинбургского университета, числится среди авторов, но Дж. Ю. Хиллхаус, преподаватель математики также в Эдинбургском университете, появляется среди других джентльменов-литераторов, связанных в течение длительного или короткого времени с постоянными сотрудниками Эдинбургского университета. Энциклопедия. Однако в разделе 189(e) «Элементарного трактата о кватернионах » также в 1867 году Тейт рассматривает проблему (по сути, повторяя замечания Дэвиса в «Дневнике джентльмена» 1831 года относительно вопроса 1265, но теперь в контексте кватернионов):

Если перпендикуляры возвести наружу в средних точках сторон треугольника, каждый из которых пропорционален соответствующей стороне, то средняя точка их концов совпадет со средней точкой исходного треугольника. Найдите отношение каждого перпендикуляра к половине соответствующей стороны старого треугольника, чтобы новый треугольник мог быть равносторонним.

Тейт заключает, что средние точки равносторонних треугольников, возведенных наружу на сторонах любого треугольника, образуют равносторонний треугольник. Обсуждение сохраняется в последующих изданиях 1873 и 1890 годов, а также в его дальнейшем «Введении в кватернионы». совместно с Филипом Келландом в 1873 году.

Площади и стороны внутреннего и внешнего треугольников Наполеона.

Площадь внутреннего треугольника Наполеона треугольника площадью △ равна

$${\text{Area(inner)}}=-{\frac {\triangle }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 0,$$

где a, b, c — длины сторон исходного треугольника, причем равенство только в том случае, когда исходный треугольник равносторонний, по неравенству Вайценбека . Однако с алгебраической точки зрения внутренний треугольник «ретроградный», а его алгебраическая площадь является отрицательным выражением этого выражения.

Площадь внешнего треугольника Наполеона равна

$${\text{Area(outer)}}={\frac {\triangle }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).$$

Аналитически это можно показать что каждая из трех сторон внешнего треугольника Наполеона имеет длину $${\text{Side(outer)}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}+c^{2} \over 6}+{{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}} \over {2{\sqrt {3}}}}}}.$$

Связь между последними двумя уравнениями заключается в том, что площадь равностороннего треугольника равна квадрату стороны, умноженной на ${\sqrt {3}}/4.$

Обобщения

Теорема Петра – Дугласа – Неймана

Основная статья: теорема Петра – Дугласа – Неймана

Если равнобедренные треугольники с углами при вершине ⁠ ${\tfrac {2k\pi }{n}}$⁠ возводятся на сторонах произвольного n -угольника A ₀ , а если повторить этот процесс с n -угольником, образованным свободными вершинами треугольников, но с другим значением k , и так до тех пор, пока все значения 1 ⩽ k ⩽ n − 2 (в произвольном порядке), то образуется правильный n -угольник A _{n −2} , центр тяжести которого совпадает с центроидом A ₀ .

Теорема Наполеона-Барлотти

Теорема Наполеона-Барлотти для пятиугольника.

Центры правильных n -угольников, построенные по сторонам n -угольника P, образуют правильный n -угольник тогда и только тогда, когда P — аффинный образ правильного n -угольника.

Обобщение Джа-Саварана

Дан шестиугольник A ₁ A ₂ A ₃ A ₄ A ₅ A ₆ с построенными на сторонах, как внутрь, так и снаружи, равносторонними треугольниками, а вершины равносторонних треугольников обозначены B _i . Если G ₁ , G ₃ , G ₅ являются соответствующими центроидами △ B ₆ B ₁ B ₂ , △ B ₂ B ₃ B ₄ , △ B ₄ B ₅ B ₆ , то G ₁ , G ₃ , G ₅ образуют равносторонний треугольник.

Обобщение Дао Тан Оая

Дан шестиугольник ABCDEF с равносторонними ABG, DHC, IEF, построенными на чередующихся сторонах AB, CD и EF либо внутри, либо снаружи. Пусть A ₁ , B ₁ , C ₁ — центроиды ∆FGC, ∆BHE и ∆DIA соответственно, пусть A ₂ , B ₂ , C ₂ — центроиды ∆DGE, ∆AHF и ∆BIC соответственно. Тогда ∆A ₁ B ₁ C ₁ и ∆A ₂ B ₂ C ₂ — равносторонние треугольники. (Если, например, мы позволим совпадать точкам A и F, а также B и C, D и E, то результат Дао Тан Оая сводится к теореме Наполеона).

См. также

• очки Наполеона
• Проблема Лемуана
• Проблема Наполеона
• Теорема Ван Обеля

Ссылки

• Коксетер, HSM ; Грейтцер, С.Л. (1967). Возвращение к геометрии . Новая математическая библиотека . Том. 19. Вашингтон, округ Колумбия : Математическая ассоциация Америки . стр. 60–65. ISBN  978-0-88385-619-2 . Артикул   0166.16402 .
• ли теорема Наполеона Грюнбаум, Бранко (2012), « Действительно теорема Наполеона?», American Mathematical Monthly , 119 (6): 495–501, doi : 10.4169/amer.math.monthly.119.06.495 , S2CID   42928783 , Zbl   1264.01010
• Ветцель, Джон Э. (апрель 1992 г.). «Обратные теоремы Наполеона» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 99 (4): 339–351. дои : 10.2307/2324901 . JSTOR   2324901 . Збл   1264.01010 . Архивировано из оригинала (PDF) 29 апреля 2014 г.

Внешние ссылки

• Теорема Наполеона и обобщения , в Cut-the-Knot
• Посмотреть стройку можно на instrumenpoche.
• Теорема Наполеона Джея Варендорфа, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Наполеона» . Математический мир .
• Теорема Наполеона и некоторые обобщения, вариации и обращения в эскизах динамической геометрии.
• Теорема Наполеона, два простых доказательства
• Бесконечные правильные последовательности шестиугольников в треугольнике (обобщение теоремы Наполеона) Элви Рэя Смита .

Эта статья включает в себя материал из теоремы Наполеона о PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .