Равносторонний треугольник

«Равносторонний» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Равносторонний (значения) .

Равносторонний треугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	3
Символ Шлефли	{3}
Диаграммы Кокстера – Динкина
Группа симметрии	Д 3
Область	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$
Внутренний угол ( градусы )	60°

В геометрии равносторонний треугольник — это треугольник , у которого все три стороны имеют одинаковую длину. В знакомой евклидовой геометрии равносторонний треугольник также является равноугольным ; то есть все три внутренних угла также конгруэнтны друг другу и составляют каждый по 60 °. Это также правильный многоугольник , поэтому его еще называют правильным треугольником .

Основные свойства

Равносторонний треугольник. У него равные стороны ( $a=b=c$), равные углы ( $\alpha =\beta =\gamma$) и равные высоты ( $h_{a}=h_{b}=h_{c}$).

Обозначив общую длину сторон равностороннего треугольника как $a$, мы можем определить с помощью теоремы Пифагора , что:

• Район $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2},$
• Периметр $p=3a\,\!$
• Радиус описанной окружности равен $R={\frac {a}{\sqrt {3}}}$
• Радиус вписанной окружности равен $r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$ или $r={\frac {R}{2}}$
• Геометрический центр треугольника — это центр описанной и вписанной окружностей.
• Высота ( высота ) с любой стороны равна $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$

Обозначив радиус описанной окружности как R , мы можем определить с помощью тригонометрии , что:

• Площадь треугольника равна $A={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}$

Многие из этих величин имеют простую связь с высотой («h») каждой вершины с противоположной стороны:

• Район $A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}$
• Высота центра с каждой стороны, или апофемы , равна ${\frac {h}{3}}$
• Радиус окружности, описывающей три вершины, равен $R={\frac {2h}{3}}$
• Радиус вписанной окружности равен $r={\frac {h}{3}}$

В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, биссектрисы и медианы каждой стороны совпадают.

Характеристики

Треугольник $ABC$ у которого есть стороны $a$, $b$, $c$, полупериметр $s$, область $T$, эксрадии $r_{a}$, $r_{b}$, $r_{c}$ (касательная к $a$, $b$, $c$ соответственно), и где $R$ и $r$ являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, является равносторонним тогда и только тогда, когда любое из утверждений в следующих девяти категориях истинно. Таким образом, эти свойства уникальны для равносторонних треугольников, и знание того, что любое из них истинно, напрямую подразумевает, что мы имеем равносторонний треугольник.

Стороны

• $a=b=c$
• ${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}$

Полупериметр

• $s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r$ (Бландон)
• $s^{2}=3r^{2}+12Rr$
• $s^{2}=3{\sqrt {3}}T$
• $s=3{\sqrt {3}}r$
• $s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R$

Углы

• $A=B=C=60^{\circ }$
• $\cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}$
• $\sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}$

Область

• $T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$ ( Вайценбёк )
• $T={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{\frac {2}{3}}$

Окружной радиус, внутренний радиус и эксрадиус

• $R=2r$ (Чаппл-Эйлер)
• $9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
• $r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}$
• $r_{a}=r_{b}=r_{c}$

Равные чевианцы

Три вида чевиан совпадают и равны для (и только для) равносторонних треугольников:

• Все три высоты имеют одинаковую длину.
• Три медианы имеют одинаковую длину.
• Три биссектрисы угла имеют одинаковую длину.

Совпадающие центры треугольников

каждого Центр треугольника равностороннего треугольника совпадает с его центроидом , что означает, что равносторонний треугольник — единственный треугольник, у которого нет линии Эйлера, соединяющей некоторые центры. Для некоторых пар центров треугольников того факта, что они совпадают, достаточно, чтобы треугольник был равносторонним. В частности:

• Треугольник является равносторонним, если любые два из центра описанной окружности , центра , центроида или ортоцентра совпадают.
• Он также является равносторонним, если его центр описанной окружности совпадает с точкой Нагеля или если его центр совпадает с его девятиточечным центром .

Шесть треугольников, образованных разделением медианами.

В любом треугольнике три медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников.

• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда любые три меньших треугольника имеют одинаковый периметр или одинаковый радиус.
• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда центры любых трех меньших треугольников находятся на одинаковом расстоянии от центроида.

Точки на плоскости

• Треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда для каждой точки $P$ в плоскости, с расстояниями $p$, $q$, и $r$ сторонам и расстояниям треугольника $x$, $y$, и $z$ к его вершинам, $$4\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.$$

Известные теоремы

Наглядное доказательство теоремы Вивиани

1. Ближайшие расстояния от точки P до сторон равностороннего треугольника $ABC$ показаны.
2. Линии $DE$, $FG$, и $HI$ параллельно $AB$, $BC$ и $CA$, соответственно, определяют меньшие треугольники $PHE$, $PFI$ и $PDG$.
3. Поскольку эти треугольники равносторонние, их высоты можно повернуть так, чтобы они были вертикальными.
4. Как $PGCH$ это параллелограмм, треугольник $PHE$ можно сдвинуть вверх, чтобы показать, что сумма высот равна высоте треугольника $ABC$.

Теорема Морли о трисекторах утверждает, что в любом треугольнике три точки пересечения трисекторов соседних углов образуют равносторонний треугольник.

Теорема Наполеона гласит, что если на сторонах любого треугольника, либо полностью наружу, либо полностью внутрь, построить равносторонние треугольники, то центры этих равносторонних треугольников сами образуют равносторонний треугольник.

Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник наибольшей площади среди всех треугольников с данным периметром является равносторонним.

Теорема Вивиани утверждает, что для любой внутренней точки $P$ в равностороннем треугольнике с расстояниями $d$, $e$, и $f$ с боков и высоты $h$, $$d+e+f=h,$$ независимо от местонахождения $P$.

Теорема Помпейю утверждает, что если $P$ — произвольная точка плоскости равностороннего треугольника $ABC$ но не на описанной окружности , то существует треугольник со сторонами длины $PA$, $PB$, и $PC$. То есть, $PA$, $PB$, и $PC$ удовлетворяют неравенству треугольника , согласно которому сумма любых двух из них больше третьей. Если $P$ находится на описанной окружности, то сумма двух меньших равна самому длинному и треугольник вырождается в прямую, этот случай известен как теорема Ван Скутена .

Геометрическая конструкция

Построение равностороннего треугольника с помощью циркуля и линейки.

Равносторонний треугольник легко построить с помощью линейки и циркуля , поскольку 3 — простое число Ферма . Нарисуйте прямую линию, поместите острие циркуля на один конец линии и проведите дугу от этой точки к другой точке отрезка линии. Повторите то же самое с другой стороной линии. Наконец, соедините точку пересечения двух дуг с каждым концом отрезка.

Альтернативный метод — нарисовать круг радиусом $r$, поместите точку циркуля на круг и нарисуйте еще один круг того же радиуса. Две окружности пересекутся в двух точках. Равносторонний треугольник можно построить, взяв два центра окружностей и любую из точек пересечения.

В обоих методах побочным продуктом является образование vesica piscis .

Доказательство того, что полученная фигура представляет собой равносторонний треугольник, является первым утверждением в первой книге « Евклида Начал» .

Вывод формулы площади

Формула площади $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ по длине стороны $a$ можно получить непосредственно с помощью теоремы Пифагора или с помощью тригонометрии.

Используя теорему Пифагора

Площадь треугольника равна половине одной стороны $a$ раз больше высоты $h$ с той стороны: $$A={\frac {1}{2}}ah.$$

Равносторонний треугольник со стороной 2 имеет высоту √ 3 , так как 60 ° равен √ 3/2 синус .

Катеты любого прямоугольного треугольника, образованные высотой равностороннего треугольника, составляют половину основания. $a$, а гипотенуза — это сторона $a$ равностороннего треугольника. Высоту равностороннего треугольника можно найти по теореме Пифагора. $$\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}$$так что $$h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.$$

Замена $h$ в формулу площади ${\frac {1}{2}}ah$ дает формулу площади равностороннего треугольника: $$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.$$

Использование тригонометрии

Используя тригонометрию , площадь треугольника с любыми двумя сторонами $a$ и $b$, и угол $C$ между ними есть $$A={\frac {1}{2}}ab\sin C.$$

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°, поэтому $$A={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.$$

Синус 60° это ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$. Таким образом $$A={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$$так как в равностороннем треугольнике все стороны равны.

Другие объекты недвижимости

Равносторонний треугольник — наиболее симметричный треугольник, имеющий 3 линии отражения и вращательную симметрию порядка 3 относительно своего центра, группа симметрии которого — группа двугранников порядка 6 . $\mathrm {D} _{3}$. Равносторонний треугольник с целыми сторонами — единственный треугольник с целыми сторонами и тремя рациональными углами, измеренными в градусах. Это единственный остроугольный треугольник, похожий на свой прямоугольный треугольник (с вершинами у подножия высот ) , и единственный треугольник, эллипс Штейнера которого представляет собой круг (в частности, вписанную окружность). Треугольник наибольшей площади из всех, вписанных в данную окружность, является равносторонним, и треугольник наименьшей площади из всех, описанных вокруг данной окружности, также является равносторонним. Это единственный правильный многоугольник, кроме квадрата , который можно вписать внутрь любого другого правильного многоугольника.

По неравенству Эйлера равносторонний треугольник имеет наименьшее отношение описанного радиуса $R$ до внутреннего радиуса $r$ любого треугольника, причем $${\frac {R}{r}}=2.$$

Учитывая точку $P$ внутри равностороннего треугольника отношение суммы его расстояний от вершин к сумме его расстояний от сторон больше или равно 2, равенство сохраняется при $P$ является центроидом. Ни в одном другом треугольнике нет точки, для которой это отношение было бы меньше 2. Это неравенство Эрдеша – Морделла ; более сильным его вариантом является неравенство Барроу , которое заменяет перпендикулярные расстояния до сторон расстояниями от $P$ в точки, где биссектрисы угла $\angle APB$, $\angle BPC$, и $\angle CPA$ скрести стороны( $A$, $B$, и $C$ являются вершинами). Существует множество других неравенств треугольника , которые выполняются с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

Для любой точки $P$ в плоскости, с расстояниями $p$, $q$, и $t$ из вершин $A$, $B$, и $C$ соответственно, $$3\left(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4}\right)=\left(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2}\right)^{2}.$$

Для любой точки $P$ в плоскости, с расстояниями $p$, $q$, и $t$ из вершин, $$p^{2}+q^{2}+t^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),$$$$p^{4}+q^{4}+t^{4}=3\left[\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right],$$где $R$ описанный радиус и $L$ это расстояние между точкой $P$ и центр тяжести равностороннего треугольника.

Для любой точки $P$ на вписанной окружности равностороннего треугольника с расстояниями $p$, $q$, и $t$ из вершин, $$4\left(p^{2}+q^{2}+t^{2}\right)=5a^{2},$$$$16\left(p^{4}+q^{4}+t^{4}\right)=11a^{4}.$$

Для любой точки $P$ на малой дуге $BC$ описанной окружности с расстояниями $p$, $q$, и $t$ от $A$, $B$, и $C$, соответственно $$p=q+t,$$$$q^{2}+qt+t^{2}=a^{2}.$$

Более того, если точка $D$ на стороне $BC$ делит $PA$ на сегменты $PD$ и $DA$ с $DA$ имеющий длину $z$ и $PD$ имеющий длину $y$, затем $$z={\frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},$$что также равно ${\textstyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}$ если $t\neq q$ и $${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{t}}={\frac {1}{y}},$$что является оптическим уравнением .

Для равностороннего треугольника:

• Отношение его площади к площади вписанной окружности. ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$, является наибольшим из любого треугольника.

• Отношение его площади к квадрату его периметра, ${\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},$ больше, чем у любого неравностороннего треугольника.

• Если отрезок разбивает равносторонний треугольник на две области с равными периметрами и площадями $A_{1}$ и $A_{2}$, затем

$${\frac {7}{9}}\leq {\frac {A_{1}}{A_{2}}}\leq {\frac {9}{7}}.$$

Если треугольник помещен в комплексную плоскость со сложными вершинами $z_{1}$, $z_{2}$, и $z_{3}$, то для любого недействительного кубического корня $\omega$ из 1 треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда $$z_{1}+\omega z_{2}+\omega ^{2}z_{3}=0.$$

Мозаика равностороннего треугольника заполняет плоскость.

Примечательно, что равносторонний треугольник замостил двумерное пространство шестью треугольниками, сходящимися в вершине, чья двойная мозаика представляет собой шестиугольную мозаику . 3.12 ² , 3.4.6.4 , (3.6) ² , 3 ² .4.3.4 и 3 ⁴ .6 — все полуправильные мозаики, построенные из равносторонних треугольников.

Правильный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников.

В трех измерениях равносторонние треугольники образуют грани правильных и однородных многогранников . Три из пяти Платоновых тел состоят из равносторонних треугольников: тетраэдра , октаэдра и икосаэдра . В частности, трёхмерным аналогом треугольника можно считать тетраэдр, имеющий четыре равносторонних треугольника вместо граней . Все Платоновы тела могут вписывать тетраэдры, а также быть вписанными внутрь тетраэдров. Равносторонние треугольники также образуют однородные антипризмы , а также однородные звездные антипризмы в трехмерном пространстве. В случае антипризм две (незеркальные) параллельные копии правильных многоугольников соединяются чередующимися полосами $2n$ равносторонние треугольники. В частности, для звездных антипризм существуют прогрессивные и ретроградные (перекрещенные) решения, которые соединяют зеркальные и незеркальные параллельные звездчатые многоугольники . Платонов октаэдр также является треугольной антипризмой , которая является первым настоящим членом бесконечного семейства антипризм (тетраэдр, как двуугольная антипризма, иногда считается первым).

В обобщенном виде равносторонний треугольник принадлежит к бесконечному семейству треугольников. $n$- симплексы , с $n=2$.

В культуре и обществе

Равносторонние треугольники часто встречаются в искусственных конструкциях:

• Форма встречается в современной архитектуре, например, в поперечном разрезе Арки Ворот .
• Его применение на флагах и геральдике включает флаг Никарагуа. и флаг Филиппин .
• Это форма различных дорожных знаков , в том числе знака «Уступи дорогу» .

См. также

• Почти равносторонний геронов треугольник
• Равнобедренный треугольник
• Тройной сюжет
• Трилинейные координаты

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Равносторонний треугольник» . Математический мир .