Теорема Ван Скутена

$|PA|=|PB|+|PC|$

Теорема Ван Скутена , названная в честь голландского математика Франса ван Скутена , описывает свойство равносторонних треугольников . В нем говорится:

Для равностороннего треугольника $\triangle ABC$ с точкой $P$ на описанной окружности длина самого длинного из трех отрезков $PA,PB,PC$ подключение $P$ с вершинами треугольника равна сумме длин двух других.

Теорема является следствием теоремы Птолемея для вписанных четырехугольников . Позволять $a$ - длина стороны равностороннего треугольника $\triangle ABC$ и $PA$ самый длинный сегмент линии. Вершины треугольника вместе с $P$ образуют вписанный в окружность четырехугольник, и, следовательно, теорема Птолемея дает:

${\begin{aligned}&|BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|\\[6pt]\Longleftrightarrow &a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|\end{aligned}}$

Разделив последнее уравнение на $a$ выдвигает теорему Ван Скутена.

Ссылки

• Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . МАА, 2010, ISBN   9780883853481 , стр. 102–103.
• Дуг Френч: Преподавание и изучение геометрии . Издательство Блумсбери, 2004 г., ISBN   9780826434173 , стр. 62–64.
• Раймонд Вильоне: Доказательство без слов: теорема ван Скутена . Математический журнал, Vol. 89, № 2 (апрель 2016 г.), с. 132
• Йожеф Шандор: О геометрии равносторонних треугольников . Forum Geometricorum, том 5 (2005), стр. 107–117.

Внешние ссылки

• Теорема Ван Скутена на сайте Cut-the-knot.org