Теория Помпея

Теорема Помпейю — результат плоской геометрии , открытый румынским математиком Димитрие Помпейу . Теорема проста, но не классическая. В нем говорится следующее:

Учитывая равносторонний треугольник ABC на плоскости и точку P в плоскости треугольника ABC, длины PA, PB и PC образуют стороны (возможно, вырожденного) треугольника.

Доказательство теоремы Помпейю с треугольником Помпейю. $\triangle PCP'$

Доказательство быстрое. Рассмотрим поворот на 60° вокруг B. точки Предположим, что A отображается в C , а P отображается в P '. Затем $\scriptstyle PB\ =\ P'B$, и $\scriptstyle \angle PBP'\ =\ 60^{\circ }$. Следовательно, треугольник PBP ' равносторонний и $\scriptstyle PP'\ =\ PB$. Затем $\scriptstyle PA\ =\ P'C$. Таким образом, треугольник PCP ' имеет стороны, равные PA , PB и PC , и доказательство по построению завершено (см. рисунок).

Дальнейшие исследования показывают, что если P находится не внутри треугольника, а на описанной окружности , то PA , PB , PC образуют вырожденный треугольник, причем наибольший из них равен сумме остальных. Это наблюдение также известно как Теорема Ван Скутена .

Вообще говоря, по точке P и длинам вершин равностороннего треугольника - PA , PB и PC два равносторонних треугольника (большого и меньшего) со сторонами $a_{1}$ и $a_{2}$ определены:

${\begin{aligned}a_{1,2}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}\pm 4{\sqrt {3}}\triangle _{(PA,PB,PC)}\right)\end{aligned}}$.

Символ △ обозначает площадь треугольника, стороны которого имеют длины PA , PB , PC .

Помпейю опубликовал теорему в 1936 году, однако Август Фердинанд Мёбиус опубликовал более общую теорему о четырёх точках на евклидовой плоскости уже в 1852 году. В этой статье Мёбиус также вывел формулировку теоремы Помпейю явно как частный случай своей более общей теоремы. По этой причине эта теорема также известна как теорема Мёбиуса-Помпею .

Внешние ссылки

• Страница MathWorld, посвященная теореме Помпейю
• Теория Помпея на сайте Cut-the-knot.org