Неравенство Эрдеша – Морделла

В евклидовой геометрии неравенство Эрдеша -Морделла гласит, что для любого треугольника ABC и точки P внутри ABC сумма расстояний от P до сторон меньше или равна половине суммы расстояний от P до вершин. Он назван в честь Пола Эрдеша и Луи Морделла . Эрдеш (1935) поставил задачу доказательства неравенства; доказательство было предоставлено двумя годами позже Морделлом и Д. Ф. Барроу ( 1937 ). Однако это решение было не очень элементарным. Последующие более простые доказательства были затем найдены Казариновым (1957) , Банкоффом (1958) и Альсиной и Нельсеном (2007) .

Неравенство Барроу представляет собой усиленную версию неравенства Эрдеша – Морделла, в которой расстояния от P до сторон заменяются расстояниями от P до точек, где биссектрисы ∠ APB , ∠ BPC и ∠ CPA пересекают стороны. Хотя замененные расстояния длиннее, их сумма все равно меньше или равна половине суммы расстояний до вершин.

Заявление

Позволять $P$ — произвольная точка P внутри данного треугольника $ABC$ , и пусть $PL$ , $PM$ , и $PN$ быть перпендикулярами из $P$ к сторонам треугольников. (Если треугольник тупоугольный, один из этих перпендикуляров может пересекать другую сторону треугольника и заканчиваться на линии, поддерживающей одну из сторон.) Тогда неравенство гласит, что

PA+PB+PC\geq 2(PL+PM+PN)

Доказательство

Пусть стороны ABC лежат напротив A, b напротив B и c напротив C; также пусть PA = p , PB = q , PC = r , dist(P;BC) = x , dist(P;CA) = y , dist(P;AB) = z . Сначала мы докажем, что

cr\geq ax+by.

Это эквивалентно

{\frac {c(r+z)}{2}}\geq {\frac {ax+by+cz}{2}}.

Правая сторона — это площадь треугольника ABC, а левая сторона r + z — это как минимум высота треугольника; следовательно, левая часть не может быть меньше правой. Теперь отразите P на биссектрисе угла в точке C. Мы находим, что cr ≥ ay + bx для отражения P. Аналогично, bq ≥ az + cx и ap ≥ bz + cy . Решим эти неравенства для r , q и p :

r\geq (a/c)y+(b/c)x,

q\geq (a/b)z+(c/b)x,

p\geq (b/a)z+(c/a)y.

Сложив эти три, получим

p+q+r\geq \left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)x+\left({\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)y+\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)z.

Поскольку сумма положительного числа и обратного ему числа не меньше 2 по неравенству AM – GM , мы закончили. Равенство справедливо только для равностороннего треугольника, где P — его центр тяжести.

Еще одна усиленная версия

Пусть ABC — треугольник, вписанный в окружность (O), а P — точка внутри ABC. Пусть D, E, F — ортогональные проекции P на BC, CA, AB. M, N, Q — ортогональные проекции P на касательные к (O) в точках A, B, C соответственно, тогда:

PM+PN+PQ\geq 2(PD+PE+PF)

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда треугольник ABC равносторонний ( Дао, Нгуен и Фам 2016 ; Маринеску и Монеа 2017 ).

Обобщение

Позволять $A_{1}A_{2}...A_{n}$ быть выпуклым многоугольником, и $P$ быть внутренней точкой $A_{1}A_{2}...A_{n}$ . Позволять $R_{i}$ быть расстоянием от $P$ до вершины $A_{i}$ , $r_{i}$ расстояние от $P$ в сторону $A_{i}A_{i+1}$ , $w_{i}$ отрезок биссектрисы угла $A_{i}PA_{i+1}$ от $P$ до его пересечения со стороной $A_{i}A_{i+1}$ затем ( Ленхард 1961 ):

\sum _{i=1}^{n}R_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}w_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}r_{i}

В абсолютной геометрии

В абсолютной геометрии неравенство Эрдеша – Морделла эквивалентно, как доказано в Памбучиане (2008) , утверждению что сумма углов треугольника меньше или равна двум прямым углам.

См. также

Список неравенств треугольника

Ссылки

Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2007), «Наглядное доказательство неравенства Эрдеша-Морделла» , Forum Geometricorum , 7 : 99–102 .
Банкофф, Леон (1958), «Элементарное доказательство теоремы Эрдеша-Морделла», American Mathematical Monthly , 65 (7): 521, doi : 10.2307/2308580 , JSTOR 2308580 .
Дао, Тхань Оай; Нгуен, Тьен Зунг; Фам, Нгок Май (2016), «Усиленная версия неравенства Эрдеша-Морделла» (PDF) , Forum Geometricorum , 16 : 317–321, MR 3556993 .
Эрдеш, Пол (1935), «Проблема 3740», American Mathematical Monthly , 42 : 396, doi : 10.2307/2301373 , JSTOR 2301373 .
Казаринов, Д.К. (1957), «Простое доказательство неравенства Эрдеша-Морделла для треугольников», Michigan Mathematical Journal , 4 (2): 97–98, doi : 10.1307/mmj/1028988998 . (См. неравенство Д.К. Казаринова для тетраэдров .)
Ленхард, Ханс-Кристоф (1961), «Обобщение и ужесточение неравенства Эрдеша-Морделла для многоугольников», Архив математической логики и фундаментальных исследований , 12 : 311–314, doi : 10.1007/BF01650566 , MR 0133060 , S2CID 124681241 .
Маринеску, Дан Штефан; Монеа, Михай (2017), «Об усиленной версии неравенства Эрдеша-Морделла» (PDF) , Forum Geometricorum , 17 : 197–202 .
Морделл, LJ ; Барроу, Д.Ф. (1937), «Решение задачи 3740», American Mathematical Monthly , 44 : 252–254, doi : 10.2307/2300713 , JSTOR 2300713 .

Памбучян, Виктор (2008), «Неравенство Эрдеша-Морделла эквивалентно неположительной кривизне», Journal of Geometry , 88 (1–2): 134–139, doi : 10.1007/s00022-007-1961-4 , S2CID 123082256 .

Внешние ссылки