1 42 многогранника

4 21	1 42	2 41
Исправлено 4 21	Исправлено 1 42	Исправлено 2 41
Биректифицированный 4 21	Триректифицированный 4 21
Ортогональные проекции в E 6 плоскости Кокстера

В 8-мерной 42 — геометрии 1 _это однородный 8-многогранник , построенный в рамках симметрии группы E ₈ .

Его символ Кокстера — 1 ₄₂ , описывающий его разветвляющуюся диаграмму Кокстера-Динкина с одним кольцом на конце 1-узловой последовательности.

Выпрямленное 1 ₄₂ построено точками на средних краях 1 ₄₂ и совпадает с двувыпрямленным 2 ₄₁ и четырехвыпрямленным 4 ₂₁ .

Эти многогранники являются частью семейства из 255 (2 ⁸ − 1) выпуклые однородные многогранники в 8 измерениях, состоящие из однородных фасет многогранников и вершинных фигур , определенные всеми непустыми комбинациями колец в этой диаграмме Кокстера-Динкина : .

1 ₄₂ многогранника

1 42
Тип	Равномерный 8-многогранник
Семья	1 k2 многогранник
Символ Шлефли	{3,3 4,2 }
Символ Коксетера	1 42
Диаграммы Кокстера
7-гранный	2400: 240 1 32 2160 1 41
6-гранный	106080: 6720 1 22 30240 1 31 69120 {3 5 }
5-гранный	725760: 60480 1 12 181440 1 21 483840 {3 4 }
4-ликий	2298240: 241920 1 02 604800 1 11 1451520 {3 3 }
Клетки	3628800: 1209600 1 01 2419200 {3 2 }
Лица	2419200 {3}
Края	483840
Вершины	17280
Вершинная фигура	т 2 {3 6 }
Полигон Петри	30-угольник
Группа Коксетера	Е 8 , [3 4,2,1 ]
Характеристики	выпуклый

Число 142 ₁₃₂ состоит из 2400 граней: 240 2160 _и полукубов -7 ( 141 _{многогранников} ). Его вершинная фигура представляет собой биректифицированный 7-симплекс .

Этот многогранник вместе с демиоктерактом может замощить 8-мерное пространство, представленное символом 1 ₅₂ , и диаграммой Кокстера-Динкина: .

Альтернативные названия

• Э. Л. Эльте (1912) исключил этот многогранник из своего списка полуправильных многогранников, поскольку он имеет более двух типов 6-граней, но по его схеме наименования он назывался бы V ₁₇₂₈₀ из-за его 17 280 вершин.
• Коксетер назвал его 1 ₄₂ в честь разветвляющейся диаграммы Кокстера-Дынкина с единственным кольцом на конце одноузловой ветви.
• Диакозитетраконт-дисхилиагектогексаконта-зеттон (аббревиатура биф ) — 240-2160 граненый полизеттон (Джонатан Бауэрс)

17280 вершин можно определить как перестановки знаков и местоположений:

Все комбинации знаков (32): (280×32=8960 вершин)

(4, 2, 2, 2, 2, 0, 0, 0)

Половина комбинаций знаков (128): ((1+8+56)×128=8320 вершин)

(2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)

(5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

(3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1)

Длина ребра равна 2 √ 2 в этом наборе координат, а радиус многогранника равен 4 √ 2 .

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 8 гиперплоских зеркал в 8-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина : .

При удалении узла на конце ветви длиной 2 остается полукуб 7 , 1 ₄₁ , .

Удаление узла на конце ветви длиной 4 оставляет 1 ₃₂ , .

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это делает биректифицированный 7-симплекс , 0 ₄₂ , .

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркал и соотношений групповых порядков Кокстера .

show		Матрица конфигурации
E8		k-face	fk	f0	f1	f2	f3		f4			f5			f6			f7		k-figure	notes
A7		( )	f0	17280	56	420	280	560	70	280	420	56	168	168	28	56	28	8	8	2r{36}	E8/A7 = 192*10!/8! = 17280
A4A2A1		{ }	f1	2	483840	15	15	30	5	30	30	10	30	15	10	15	3	5	3	{3}x{3,3,3}	E8/A4A2A1 = 192*10!/5!/2/2 = 483840
A3A2A1		{3}	f2	3	3	2419200	2	4	1	8	6	4	12	4	6	8	1	4	2	{3.3}v{ }	E8/A3A2A1 = 192*10!/4!/3!/2 = 2419200
A3A3		110	f3	4	6	4	1209600	*	1	4	0	4	6	0	6	4	0	4	1	{3,3}v( )	E8/A3A3 = 192*10!/4!/4! = 1209600
A3A2A1				4	6	4	*	2419200	0	2	3	1	6	3	3	6	1	3	2	{3}v{ }	E8/A3A2A1 = 192*10!/4!/3!/2 = 2419200
A4A3		120	f4	5	10	10	5	0	241920	*	*	4	0	0	6	0	0	4	0	{3,3}	E8/A4A3 = 192*10!/4!/4! = 241920
D4A2		111		8	24	32	8	8	*	604800	*	1	3	0	3	3	0	3	1	{3}v( )	E8/D4A2 = 192*10!/8/4!/3! = 604800
A4A1A1		120		5	10	10	0	5	*	*	1451520	0	2	2	1	4	1	2	2	{ }v{ }	E8/A4A1A1 = 192*10!/5!/2/2 = 1451520
D5A2		121	f5	16	80	160	80	40	16	10	0	60480	*	*	3	0	0	3	0	{3}	E8/D5A2 = 192*10!/16/5!/3! = 40480
D5A1				16	80	160	40	80	0	10	16	*	181440	*	1	2	0	2	1	{ }v( )	E8/D5A1 = 192*10!/16/5!/2 = 181440
A5A1		130		6	15	20	0	15	0	0	6	*	*	483840	0	2	1	1	2		E8/A5A1 = 192*10!/6!/2 = 483840
E6A1		122	f6	72	720	2160	1080	1080	216	270	216	27	27	0	6720	*	*	2	0	{ }	E8/E6A1 = 192*10!/72/6!/2 = 6720
D6		131		32	240	640	160	480	0	60	192	0	12	32	*	30240	*	1	1		E8/D6 = 192*10!/32/6! = 30240
A6A1		140		7	21	35	0	35	0	0	21	0	0	7	*	*	69120	0	2		E8/A6A1 = 192*10!/7!/2 = 69120
E7		132	f7	576	10080	40320	20160	30240	4032	7560	12096	756	1512	2016	56	126	0	240	*	( )	E8/E7 = 192*10!/72/8! = 240
D7		141		64	672	2240	560	2240	0	280	1344	0	84	448	0	14	64	*	2160		E8/D7 = 192*10!/64/7! = 2160

Прогнозы

Проекция 1 ₄₂ на плоскость Кокстера E ₈ (она же проекция Петри) с радиусом многогранника. $4{\sqrt {2}}$ показано ниже с длиной 483 840 ребер. $2{\sqrt {2}}$ отбраковали 53% на внутренних участках и составили всего 226 444:

Показано в 3D-проекции с использованием базисных векторов [u,v,w], обеспечивающих симметрию H3:

• ты = (1, φ , 0, −1, φ , 0,0,0)
• v = ( φ , 0, 1, φ , 0, −1,0,0)
• ш = (0, 1, φ , 0, −1, φ ,0,0)

17280 прогнозируемых 142 _вершин многогранников сортируются и подсчитываются по их трехмерным нормам, создавая все более прозрачные оболочки для каждого набора подсчитанных норм. Обратите внимание, что последние две внешние оболочки представляют собой комбинацию двух перекрывающихся додекаэдров (40) и неоднородного ромбикосидодекаэдра (60).

Е8 [30]	E7 [18]	Е6 [12]
(1)	(1,3,6)	(8,16,24,32,48,64,96)
[20]	[24]	[6]
		(1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,14,16,18,19,20)

Ортогональные проекции показаны для подсимметрий _{E 8} : E ₇ , E ₆ , B ₈ , B ₇ , ₆ B _{, B 5} , B ₄ , B ₃ , B ₂ , A ₇ и A ₅ плоскостей Кокстера , как а также еще две плоскости симметрии порядка 20 и 24. Вершины показаны в виде кругов, окрашенных в соответствии с порядком их перекрытия в каждой проективной плоскости.

Д3/Б2/А3 [4]	Д4/Б3/А2 [6]	Д5/В4 [8]
(32,160,192,240,480,512,832,960)	(72,216,432,720,864,1080)	(8,16,24,32,48,64,96)
Д6/В5/А4 [10]	D7 / B6 [12]	Д8/В7/А6 [14]
Б8 [16/2]	А5 [6]	A7 [8]

Связанные многогранники и соты

show1 k2 фигур в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E6	E7	E8	E9 = ${\tilde {E}}_{8}$ = E8+	E10 = ${\bar {T}}_{8}$ = E8++
Coxeter diagram
Symmetry (order)	[3−1,2,1]	[30,2,1]	[31,2,1]	[[32,2,1]]	[33,2,1]	[34,2,1]	[35,2,1]	[36,2,1]
Order	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	1−1,2	102	112	122	132	142	152	162

Выпрямленный _{1 42} многогранник

Исправлено 1 42
Тип	Равномерный 8-многогранник
Символ Шлефли	т 1 {3,3 4,2 }
Символ Коксетера	0 421
Диаграммы Кокстера
7-гранный	19680
6-гранный	382560
5-гранный	2661120
4-ликий	9072000
Клетки	16934400
Лица	16934400
Края	7257600
Вершины	483840
Вершинная фигура	{3,3,3}×{3}×{}
Группа Коксетера	Е 8 , [3 4,2,1 ]
Характеристики	выпуклый

Выпрямленный многогранник 1 ₄₂ назван в честь выпрямления многогранника 1 ₄₂ с вершинами, расположенными на средних краях 1 ₄₂ . Его также можно назвать многогранником 0 ₄₂₁ с кольцом в центре из трех ветвей длиной 4, 2 и 1.

Альтернативные названия

• 0 ₄₂₁ многогранник
• 2 ₄₁ Биректифицированный многогранник
• Квадриректифицированный 4 ₂₁ многогранник
• Ректифицированный диакозитетраконт-дисхилиагектогексаконта-зеттон как ректифицированный ограненный полизеттон 240-2160 (аббревиатура баффи ) (Джонатан Бауэрс)

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 8 гиперплоских зеркал в 8-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина : .

Удаление узла на конце ветви длиной 1 оставляет биректифицированный 7-симплекс ,

Удаление узла на конце ветви длиной 2 оставляет биректифицированный 7-куб , .

Удаление узла на конце ветви длиной 3 оставляет выпрямленный 1 ₃₂ , .

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Получается 5-ячеечная , треугольная призма-дуопризма .

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркал и соотношений групповых порядков Кокстера .

show		Матрица конфигурации
E8		k-face	fk	f0	f1	f2			f3					f4						f5						f6					f7			k-figure
A4A2A1		( )	f0	483840	30	30	15	60	10	15	60	30	60	5	20	30	60	30	30	10	20	30	30	15	6	10	10	15	6	3	5	2	3	{3,3,3}x{3,3}x{}
A3A1A1		{ }	f1	2	7257600	2	1	4	1	2	8	4	6	1	4	8	12	6	4	4	6	12	8	4	1	6	4	8	2	1	4	1	2
A3A2		{3}	f2	3	3	4838400	*	*	1	1	4	0	0	1	4	4	6	0	0	4	6	6	4	0	0	6	4	4	1	0	4	1	1
A3A2A1				3	3	*	2419200	*	0	2	0	4	0	1	0	8	0	6	0	4	0	12	0	4	0	6	0	8	0	1	4	0	2
A2A2A1				3	3	*	*	9676800	0	0	2	1	3	0	1	2	6	3	3	1	3	6	6	3	1	3	3	6	2	1	3	1	2
A3A3		0200	f3	4	6	4	0	0	1209600	*	*	*	*	1	4	0	0	0	0	4	6	0	0	0	0	6	4	0	0	0	4	1	0
		0110		6	12	4	4	0	*	1209600	*	*	*	1	0	4	0	0	0	4	0	6	0	0	0	6	0	4	0	0	4	0	1
A3A2				6	12	4	0	4	*	*	4838400	*	*	0	1	1	3	0	0	1	3	3	3	0	0	3	3	3	1	0	3	1	1
A3A2A1				6	12	0	4	4	*	*	*	2419200	*	0	0	2	0	3	0	1	0	6	0	3	0	3	0	6	0	1	3	0	2
A3A1A1		0200		4	6	0	0	4	*	*	*	*	7257600	0	0	0	2	1	2	0	1	2	4	2	1	1	2	4	2	1	2	1	2
A4A3		0210	f4	10	30	20	10	0	5	5	0	0	0	241920	*	*	*	*	*	4	0	0	0	0	0	6	0	0	0	0	4	0	0
A4A2				10	30	20	0	10	5	0	5	0	0	*	967680	*	*	*	*	1	3	0	0	0	0	3	3	0	0	0	3	1	0
D4A2		0111		24	96	32	32	32	0	8	8	8	0	*	*	604800	*	*	*	1	0	3	0	0	0	3	0	3	0	0	3	0	1
A4A1		0210		10	30	10	0	20	0	0	5	0	5	*	*	*	2903040	*	*	0	1	1	2	0	0	1	2	2	1	0	2	1	1
A4A1A1				10	30	0	10	20	0	0	0	5	5	*	*	*	*	1451520	*	0	0	2	0	2	0	1	0	4	0	1	2	0	2
A4A1		0300		5	10	0	0	10	0	0	0	0	5	*	*	*	*	*	2903040	0	0	0	2	1	1	0	1	2	2	1	1	1	2
D5A2		0211	f5	80	480	320	160	160	80	80	80	40	0	16	16	10	0	0	0	60480	*	*	*	*	*	3	0	0	0	0	3	0	0	{3}
A5A1		0220		20	90	60	0	60	15	0	30	0	15	0	6	0	6	0	0	*	483840	*	*	*	*	1	2	0	0	0	2	1	0	{ }v()
D5A1		0211		80	480	160	160	320	0	40	80	80	80	0	0	10	16	16	0	*	*	181440	*	*	*	1	0	2	0	0	2	0	1
A5		0310		15	60	20	0	60	0	0	15	0	30	0	0	0	6	0	6	*	*	*	967680	*	*	0	1	1	1	0	1	1	1	( )v( )v()
A5A1				15	60	0	20	60	0	0	0	15	30	0	0	0	0	6	6	*	*	*	*	483840	*	0	0	2	0	1	1	0	2	{ }v()
		0400		6	15	0	0	20	0	0	0	0	15	0	0	0	0	0	6	*	*	*	*	*	483840	0	0	0	2	1	0	1	2
E6A1		0221	f6	720	6480	4320	2160	4320	1080	1080	2160	1080	1080	216	432	270	432	216	0	27	72	27	0	0	0	6720	*	*	*	*	2	0	0	{ }
A6		0320		35	210	140	0	210	35	0	105	0	105	0	21	0	42	0	21	0	7	0	7	0	0	*	138240	*	*	*	1	1	0
D6		0311		240	1920	640	640	1920	0	160	480	480	960	0	0	60	192	192	192	0	0	12	32	32	0	*	*	30240	*	*	1	0	1
A6		0410		21	105	35	0	140	0	0	35	0	105	0	0	0	21	0	42	0	0	0	7	0	7	*	*	*	138240	*	0	1	1
A6A1				21	105	0	35	140	0	0	0	35	105	0	0	0	0	21	42	0	0	0	0	7	7	*	*	*	*	69120	0	0	2
E7		0321	f7	10080	120960	80640	40320	120960	20160	20160	60480	30240	60480	4032	12096	7560	24192	12096	12096	756	4032	1512	4032	2016	0	56	576	126	0	0	240	*	*	( )
A7		0420		56	420	280	0	560	70	0	280	0	420	0	56	0	168	0	168	0	28	0	56	0	28	0	8	0	8	0	*	17280	*
D7		0411		672	6720	2240	2240	8960	0	560	2240	2240	6720	0	0	280	1344	1344	2688	0	0	84	448	448	448	0	0	14	64	64	*	*	2160

Прогнозы

Ортографические проекции показаны для подсимметрий _{B 6} , B ₅ , B ₄ , B ₃ , B ₂ , A ₇ и A ₅ плоскостей Кокстера . Вершины показаны в виде кругов, окрашенных в соответствии с порядком их перекрытия в каждой проективной плоскости.

(Плоскости для E ₈ : E ₇ , E ₆ , B ₈ , B ₇ , [24] не показаны, поскольку они слишком велики для отображения.)

Д3/Б2/А3 [4]	Д4/Б3/А2 [6]	Д5/В4 [8]
Д6/В5/А4 [10]	D7 / B6 [12]	[6]
А5 [6]	A7 [8]	[20]

См. также

• Список многогранников E8

Ссылки

• HSM Coxeter , Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Клитцинг, Ричард. «8D Униформа Полизетта» . o3o3o3x *c3o3o3o3o - биф, o3o3o3x *c3o3o3o3o - баффи