дисфеноид

Четырехугольный делящего и двуугольный дисфеноиды можно расположить внутри кубоида, пополам две противоположные грани. Оба имеют четыре равных края, идущие по бокам. У двуугольника есть две пары конгруэнтных граней равнобедренного треугольника , а у тетрагонала - четыре конгруэнтных грани равнобедренного треугольника.

Ромбический дисфеноид имеет конгруэнтные грани разностороннего треугольника и может помещаться по диагонали внутри кубоида . Он имеет три набора длин ребер, существующих как противоположные пары.

В геометрии дисфеноид тетраэдр (от греческого sphenoeides «клиновидный») представляет собой , четыре грани которого представляют собой конгруэнтные остроугольные треугольники. Его также можно описать как тетраэдр, в котором каждые два ребра , противоположные друг другу, имеют одинаковую длину. Другие названия той же формы — изотетраэдр . клиновидная кость , бисфеноид , равнобедренный тетраэдр , равносторонний тетраэдр , почти правильный тетраэдр , и тетрамоноэдр .

Все телесные углы и вершинные фигуры дисфеноида одинаковы, а сумма граней углов при каждой вершине равна двум прямым углам . Однако дисфеноид не является правильным многогранником , поскольку, как правило, его грани не являются правильными многоугольниками , а его ребра имеют три разные длины.

Особые случаи и обобщения

Дополнительная информация: Тетраэдр § Изометрии неправильных тетраэдров.

Если грани дисфеноида представляют собой равносторонние треугольники , это правильный тетраэдр с T _d тетраэдрической симметрией , хотя обычно его не называют дисфеноидом. Когда грани дисфеноида представляют собой равнобедренные треугольники , его называют тетрагональным дисфеноидом . В этом случае он имеет D _2d диэдральную симметрию .Клиновидная пластинка с разносторонними треугольниками на гранях называется ромбическим дисфеноидом и имеет двугранную симметрию D ₂ . В отличие от тетрагонального дисфеноида, ромбический дисфеноид не имеет отражательной симметрии , поэтому он хиральный . И тетрагональные дисфеноиды, и ромбические дисфеноиды являются изоэдрами : все их грани не только конгруэнтны друг другу, но и симметричны друг другу.

Невозможно построить дисфеноид с гранями прямоугольного или тупоугольного треугольника . Когда прямоугольные треугольники склеены по образцу дисфеноида, они образуют плоскую фигуру (двойной прямоугольник), не заключающую в себе никакого объема. При склеивании таким способом тупоугольных треугольников полученную поверхность можно сложить и образовать дисфеноид (по теореме единственности Александрова ), но с гранями острого треугольника и с ребрами, вообще говоря, не лежащими вдоль ребер данных тупоугольных треугольников.

Еще два типа тетраэдров обобщают дисфеноид и имеют сходные названия. Двуугольный дисфеноид имеет грани двух разных форм, оба равнобедренных треугольника, по две грани каждой формы. Филлический дисфеноид также имеет лица с двумя формами лестничных треугольников.

Дисфеноиды также можно рассматривать как двуугольные антипризмы или как чередующиеся четырехсторонние призмы .

Характеристики

Тетраэдр является дисфеноидом тогда и только тогда, когда описанный им параллелепипед прямоугольный.

Мы также имеем, что тетраэдр является дисфеноидом тогда и только тогда, когда центры описанной сферы и вписанной сферы совпадают.

Другая характеристика гласит, что если d ₁ , d ₂ и d ₃ являются общими перпендикулярами AB и CD ; АС и БД ; и AD и BC соответственно в тетраэдре ABCD , то тетраэдр является дисфеноидом тогда и только тогда, когда d ₁ , d ₂ и d ₃ попарно перпендикулярны .

Дисфеноиды — единственные многогранники, имеющие бесконечное количество несамопересекающихся замкнутых геодезических . На дисфеноиде все замкнутые геодезические несамопересекающиеся.

Дисфеноиды — это тетраэдры, у которых все четыре грани имеют одинаковый периметр , тетраэдры, у которых все четыре грани имеют одинаковую площадь. и тетраэдры, в которых угловые дефекты всех четырех вершин равны π . Они представляют собой многогранники, имеющие развертку в форме остроугольного треугольника, разделенного на четыре подобных треугольника отрезками, соединяющими середины ребер.

Метрические формулы

Объем , дисфеноида с противоположными краями длиной l : m и n определяется выражением

$V={\sqrt {\frac {(l^{2}+m^{2}-n^{2})(l^{2}-m^{2}+n^{2})(-l^{2}+m^{2}+n^{2})}{72}}}.$

имеет Описанная сфера радиус (радиус описанной окружности):

$R={\sqrt {\frac {l^{2}+m^{2}+n^{2}}{8}}}$

а вписанная сфера имеет радиус:

$r={\frac {3V}{4T}}$

где V — объем дисфеноида, а T — площадь любого лица, определяемая формулой Герона . Существует также следующее интересное соотношение, связывающее объем и радиус описанной окружности:

$\displaystyle 16T^{2}R^{2}=l^{2}m^{2}n^{2}+9V^{2}.$

Квадраты длин бимедиан равны :

${\tfrac {1}{2}}(l^{2}+m^{2}-n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(l^{2}-m^{2}+n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(-l^{2}+m^{2}+n^{2}).$

Другие объекты недвижимости

Если четыре грани тетраэдра имеют одинаковый периметр, то тетраэдр является дисфеноидом.

Если четыре грани тетраэдра имеют одинаковую площадь, то это дисфеноид.

Центры описанной и вписанной сфер совпадают с центроидом дисфеноида.

Бимедианы перпендикулярны ребрам, которые они соединяют, и друг другу.

Соты и кристаллы

Заполняющий пространство тетраэдрический дисфеноид внутри куба. Два ребра имеют двугранные углы 90°, а четыре ребра имеют двугранные углы 60°.

Некоторые тетрагональные дисфеноиды образуют соты . Таким дисфеноидом является дисфеноид, четыре вершины которого равны (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) и (0, 1, -1). Каждая из его четырех граней представляет собой равнобедренный треугольник с ребрами длиной √ 3 , √ 3 и 2. Он может замощить пространство, образуя дисфеноидные тетраэдрические соты . Как описывает Гибб (1990) , его можно сложить, не разрезая и не перекрывая друг друга, из одного листа бумаги формата А4 .

«Дисфеноид» также используется для описания двух форм кристаллов :

• Клиновидная кристаллическая форма тетрагональной или ромбической системы . Он имеет четыре одинаковых треугольных грани, которые по положению соответствуют чередующимся граням тетрагональной или ромбической дипирамиды . Он симметричен относительно каждой из трех взаимно перпендикулярных осей симметрии диады во всех классах, кроме тетрагонально-дисфеноидального, в котором форма порождается обратной тетрадной осью симметрии.
• Кристаллическая форма, ограниченная восемью разносторонними треугольниками, расположенными попарно, образующими тетрагональный скаленоэдр .

Другое использование

Шесть тетрагональных дисфеноидов, соединенных между собой в кольцо, образуют калейдоцикл — бумажную игрушку, которая может вращаться на 4 наборах граней в шестиугольнике.Вращение шести дисфеноидов с противоположными ребрами длиной l, m и n (без ограничения общности n≤l, n≤m) физически осуществимо тогда и только тогда, когда

$-8*(l^{2}-m^{2})^{2}*(l^{2}+m^{2})-5*n^{6}+11*(l^{2}-m^{2})^{2}*n^{2}+2*(l^{2}+m^{2})*n^{4}>=0$

См. также

• Неправильные тетраэдры
• Ортоцентрический тетраэдр
• Курносый дисфеноид - тело Джонсона с 12 гранями равностороннего треугольника и _{D 2d .} симметрией
• Трехпрямоугольный тетраэдр

Внешние ссылки

• Математический анализ дисфеноида, проведенный Х.К. Раджпутом из Academia.edu
• Вайсштейн, Эрик В. «Дисфеноид» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Равнобедренный тетраэдр» . Математический мир .