Бипирамида

В геометрии бипирамида , дипирамида или двойная пирамида — это многогранник , образованный путем слияния двух пирамид вместе по основанию . Поэтому многоугольное копланарны основание каждой пирамиды должно быть одинаковым, и, если не указано иное, вершины основания обычно , а бипирамида обычно симметрична , то есть две пирамиды являются зеркальными отражениями в их общей базовой плоскости. Когда каждая вершина ( мн. вершины, вершины вне основания) бипирамиды находится на линии, перпендикулярной основанию и проходящей через ее центр, это правильная бипирамида; ^[а] в противном случае это косой . Если основанием является правильный многоугольник , бипирамиду еще называют правильной .

Определение и свойства

Треугольная бипирамида, октаэдр и пятиугольная бипирамида.

Бипирамида — это многогранник, построенный путем слияния двух пирамид , имеющих одно и то же многоугольное основание ; ^[1] Пирамида, в свою очередь, строится путем соединения каждой вершины ее основания с одной новой вершиной ( вершиной ), не лежащей в плоскости основания, для $n$ - формирование гонального основания $n$ треугольные грани в дополнение к базовой грани. Ан $n$ - таким образом, гональная бипирамида имеет $2n$ лица, $3n$ края, и $n+2$ вершины. В более общем смысле правильная пирамида — это пирамида, вершины которой находятся на перпендикулярной линии, проходящей через центр тяжести произвольного многоугольника или центральную точку , касательного многоугольника в зависимости от источника. ^[а] Точно так же правая бипирамида — это многогранник, построенный путем соединения двух симметричных оснований правой бипирамиды; бипирамиды, вершины которых не лежат на этой линии, называются косыми бипирамидами . ^[2]

Когда две пирамиды являются зеркальными отражениями, бипирамида называется симметричной . Он называется правильным, если его основанием является правильный многоугольник. ^[1] Если основанием является правильный многоугольник и вершины лежат на перпендикуляре, проходящем через его центр ( правильная правая бипирамида ), то все его грани представляют собой равнобедренные треугольники ; иногда название бипирамида относится конкретно к симметричным правильным правым бипирамидам, ^[3] Примерами таких бипирамид являются треугольная бипирамида , октаэдр (квадратная бипирамида) и пятиугольная бипирамида . В случае, если все их ребра равны по длине, эти фигуры состоят из равностороннего треугольника граней , что делает их дельтаэдрами ; ^[4]^[5] треугольная бипирамида и пятиугольная бипирамида — тела Джонсона , а правильный октаэдр — платоново тело . ^[6]

Симметричные правильные правые бипирамиды обладают призматической симметрией , диэдра группа $D_{nh}$ порядка $4n$ : их внешний вид симметричен за счет вращения вокруг оси симметрии и отражения от плоскости зеркала. ^[7] Поскольку при такой симметрии внешний вид выглядит одинаково, а все грани конгруэнтны , бипирамиды являются изоэдральными . ^[8]^[9] Они являются двойственными многогранниками призм , а призмы также являются двойственными бипирамидам: вершины бипирамид соответствуют граням призмы, а ребра между парами вершин одной соответствуют ребрам между парами граней другой, и наоборот; ^[10] призмы имеют ту же симметрию, что и бипирамиды. ^[11] Правильный октаэдр еще более симметричен, поскольку его базовые вершины и вершины неразличимы и могут меняться местами за счет отражений или вращений: правильный октаэдр и двойственный ему куб обладают октаэдрической симметрией . ^[12]

Объем равен симметричной бипирамиды ${\frac {2}{3}}Bh,$ где $B$ — площадь основания, а $h —$ высота от плоскости основания до любой вершины. В случае регулярного $n$ - односторонний многоугольник с длиной стороны $s$ и чья высота $h$ , объем такой бипирамиды равен: ${\frac {n}{6}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

Родственные и другие виды бипирамиды

Вогнутая тетрагональная бипирамида.

Асимметричная шестиугольная бипирамида.

Вогнутые бипирамиды

Вогнутая бипирамида имеет основание вогнутого многоугольника , и одним из примеров является вогнутая тетрагональная бипирамида или неправильный вогнутый октаэдр. Бипирамиду с произвольным многоугольным основанием можно считать правой основания бипирамидой, если вершины находятся на линии, перпендикулярной основанию, проходящей через центр тяжести .

Асимметричные бипирамиды

Асимметричная бипирамида имеет вершины, которые не зеркально отражаются от базовой плоскости; для правой бипирамиды это происходит только в том случае, если каждая вершина находится на разном расстоянии от основания.

Двойственной асимметричной правой $n$ -угольной бипирамиде является $n$ -угольная усеченная пирамида .

Правильная несимметричная правоn $-$ имеет группу $Cnv симметрии бипирамида$ порядка $2n угольная$ .

Бипирамиды разностороннего треугольника

Пример: дитетрагональная бипирамида ( $2 n = 2\times4$ )

Изотоксальная правая (симметричная) би- $n$ -угольная бипирамида — это правая (симметричная) $2 n$ -угольная бипирамида с изотоксальным плоским многоугольным основанием: ее $2 n$ базальные вершины компланарны, но чередуются по двум радиусам .

Все его грани представляют собой равные разносторонние треугольники , и он равногранен . рассматривать как еще один тип правосимметричного двуугольного $скаленоэдра$ Его можно с изотоксальным плоским многоугольным основанием.

Изотоксальная правая (симметричная) двуугольная $бипирамида$ имеет $n$ осей двукратного вращения через противоположные базальные вершины, $n$ плоскостей отражения через противоположные апикальные ребра, $n$ - ось вращения через вершины, плоскость отражения через основание и $n$ - сложить ось вращения-отражения через вершины, ^[13] представляющая группу симметрии $D n h, [n,2], (*22 n)$ порядка $4 n$ . (Отражение от базовой плоскости соответствует $отражению вращения на 0°$ . Если $n$ четное, то существует инверсионная симметрия относительно центра, соответствующая $отражению вращения на 180°$ .)

Пример с $2 n = 2\times3$ :

Изотоксальная правая (симметричная) дитригональная бипирамида имеет три одинаковые вертикальные плоскости симметрии, пересекающиеся по (вертикальной)

3

-кратной оси вращения; перпендикулярно им — четвертая плоскость симметрии (горизонтальная); на пересечении трех вертикальных плоскостей с горизонтальной плоскостью находятся три одинаковые (горизонтальные)

оси 2

-кратного вращения; нет центра инверсионной симметрии, ^[14] но есть центр симметрии : точка пересечения четырех осей.

Пример с $2 n = 2\times4$ :

Изотоксальная правая (симметричная) дитетрагональная бипирамида имеет четыре вертикальные плоскости симметрии двух видов, пересекающиеся по (вертикальной)

4

оси вращения -го порядка; перпендикулярно им — пятая плоскость симметрии (горизонтальная); на пересечении четырех вертикальных плоскостей с горизонтальной плоскостью расположены четыре (горизонтальные)

оси 2

-кратного вращения двух видов, каждая из которых перпендикулярна плоскости симметрии; две вертикальные плоскости делят пополам углы между двумя горизонтальными осями; и есть центр инверсионной симметрии. ^[15]

Двойной пример:

Бипирамида с изотоксальными 2×2 вершинами основания -угольника U, U', V, V' и правосимметричными вершинами A, A'. ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,0),&\quad V&=(0,2,0),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,0),&\quad V'&=(0,-2,0),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,0),&\quad V&=(0,2,0),&\quad A&=(0,0,1),\\ U'&=(-1,0,0),&\quad V'&=(0,-2,0),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat} }$ имеет равнобедренные лица. Действительно:
- Длина верхнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}$
- Длина базовой кромки: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\,;$
- Длина нижнего апикального края (равна длине верхнего края): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {5}}\,.\end{aligned}}$

Бипирамида с теми же вершинами в основании, но с правосимметричными вершинами. ${\begin{aligned}A&=(0,0,2),\\A'&=(0,0,-2),\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}A&=(0,0,2),\\A'&=(0,0,-2),\end{aligned}}$ также имеет равнобедренные лица. Действительно:
- Длина верхнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=2{\sqrt {2}}\,;\end{aligned}}$
- Длина базовой кромки (равна предыдущему примеру): ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\,;$
- Длина нижнего апикального края (равна длине верхнего края): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}$

В кристаллографии изотоксальная правая (симметричная) дидигональная. ^[б] Существуют (8-гранные), дитригональные (12-гранные), дитетрагональные (16-гранные) и дигексагональные (24-гранные) бипирамиды. ^[13]^[16]

Скаленоэдры

Пример: дитригональный скаленоэдр ( $2 n = 2\times3$ )

Скаленоэдр ; подобен бипирамиде разница в том, что скаленоэдры имеют зигзагообразный рисунок на средних гранях. ^[17]

Он имеет две вершины и $2 n$ базальных вершин, $4 n$ граней и $6 n$ ребер; топологически она идентична $2 n$ -угольной бипирамиде, но ее $2 n$ базальных вершин чередуются в двух кольцах выше и ниже центра. ^[16]

Все его грани представляют собой равные разносторонние треугольники , и он равногранен . Ее можно рассматривать как еще один тип правосимметричной двуугольной $бипирамиды$ с основанием правильного зигзагообразного перекошенного многоугольника.

Правильный правосимметричный двуугольный $скаленоэдр$ имеет $n$ осей вращения двукратного порядка через противоположные базальные средние ребра, $n$ плоскостей отражения через противоположные вершинные ребра, $ось n$ -кратного вращения через вершины и $2 n$ -кратное вращение-отражение. ось через вершины (вокруг которых $1 n$ вращений-отражений глобально сохраняют тело), ^[13] представляющая группу симметрии $D n v = D n d, [2 +,2 n], (2* n),$ порядка $4 n$ . (Если $n$ нечетно, то существует инверсионная симметрия относительно центра, соответствующая $вращению-отражению на 180 °$ .)

Пример с $2 n = 2\times3$ :

Правильный правосимметричный дитригональный скаленоэдр имеет три одинаковые вертикальные плоскости симметрии, наклоненные друг к другу под углом

60°

и пересекающиеся по (вертикальной)

оси вращения 3

-го порядка, три аналогичные горизонтальные

оси вращения 2

-го порядка, каждая из которых перпендикулярна плоскости симметрии, центр инверсионной симметрии, ^[18] и вертикальная

6

-кратная ось вращения-отражения.

Пример с $2 n = 2\times2$ :

Правильный правосимметричный дидигональный скаленоэдр имеет только одну вертикальную и две горизонтальные

оси вращения 2

-го порядка, две вертикальные плоскости симметрии, делящие пополам углы между горизонтальной парой осей, и вертикальную

ось 4

-го вращения-отражения; ^[19] у него нет центра инверсионной симметрии.

Не более чем для двух частных значений $z_{A}=|z_{A'}|,$ грани такого лестничного эдра могут быть равнобедренными .

Двойной пример:

Скаленоэдр с правильным зигзагообразным скосом 2×2 -угольника в основании вершинами U, U', V, V' и правосимметричными вершинами A, A'. ${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=(0,3,-2),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=(0,-3,-2),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=(0,3,-2),&\quad A&=(0,0,3),\ \U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=(0,-3,-2),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{ выровнено}}$ имеет равнобедренные лица. Действительно:
- Длина верхнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {34}}\,;\end{aligned}}$
- Длина базовой кромки: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\,;$
- Длина нижнего апикального края (равна замененной длине верхнего края): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}$

Скаленоэдр с теми же вершинами в основании, но с правосимметричными вершинами. ${\begin{aligned}A&=(0,0,7),\\A'&=(0,0,-7),\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}A&=(0,0,7),\\A'&=(0,0,-7),\end{aligned}}$ также имеет равнобедренные лица. Действительно:
- Длина верхнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=3{\sqrt {10}}\,;\end{aligned}}$
- Длина базовой кромки (равна предыдущему примеру): ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\,;$
- Длина нижнего апикального края (равна замененной длине верхнего края): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {34}}\,.\end{aligned}}$

В кристаллографии существуют правильные правосимметричные дидигональные ( $8$ -гранные) и дитригональные ( $12$ -гранные) скаленоэдры. ^[13]^[16]

Наименьшие геометрические скаленоэдры имеют восемь граней и топологически идентичны правильному октаэдру . В этом случае ( $2 n = 2\times2$ ) в кристаллографии правильный правосимметричный дидигональный ( $8$ -гранный) скаленоэдр называется тетрагональным скаленоэдром . ^[13]^[16]

Остановимся временно на правильных правосимметричных $8-$ гранных скаленоэдрах с $h = r,$ т.е. $z_{A}=|z_{A'}|=x_{U}=|x_{U'}|=y_{V}=|y_{V'}|.$ Две их вершины можно представить как $A, A'$ , а четыре базальные вершины - как $U, U', V, V'$ : ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,z),&\quad V&=(0,1,-z),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,z),&\quad V'&=(0,-1,-z),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}$ где $z$ — параметр от $0$ до $1$ .

При $z = 0$ это правильный октаэдр; при $z = 1$ он имеет четыре пары копланарных граней, и объединение их в четыре конгруэнтных равнобедренных треугольника делает его дисфеноидом ; для $z > 1$ он вогнутый.

Пример: геометрические варианты с правильными правосимметричными восьмигранными скаленоэдрами:
$г = 0,1$	$г = 0,25$	$г = 0,5$	$г = 0,95$	$г = 1,5$

Если $основание 2 n$ -угольника является одновременно изотоксическим входом-выходом и зигзагообразным скосом , то не все грани изотоксального правосимметричного скаленоэдра конгруэнтны.

Пример с пятью различными длинами кромок:

Скаленоэдр с изотоксальным зигзагообразным скосом внутрь-наружу, 2 × 2 -угольными базовыми вершинами U, U ', V, V' и правосимметричными вершинами A, A'. ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,1),&\quad V&=(0,2,-1),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-1,0,1),&\quad V'&=(0,-2,-1),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,1),&\quad V&=(0,2,-1),&\quad A&=(0,0,3),\ \U'&=(-1,0,1),&\quad V'&=(0,-2,-1),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{ выровнено}}$ имеет равные разносторонние верхние грани и равные разносторонние нижние грани, но не все его грани конгруэнтны. Действительно:
- Длина верхнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=2{\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}$
- Длина базовой кромки: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3;$
- Длина нижнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {17}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}$

Для некоторых конкретных значений $z A = | z А' |$ Половины граней такого лестничного эдра могут быть равнобедренными или равносторонними .

Пример с тремя разными длинами кромок:

Скаленоэдр с изотоксальным зигзагообразным скосом внутрь-наружу, 2 × 2 -угольными базовыми вершинами U, U ', V, V' и правосимметричными вершинами A, A'. ${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=\left(0,{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A&=(0,0,7),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=\left(0,-{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A'&=(0,0,-7),\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=\left(0,{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A& =(0,0,7),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=\left(0,-{\sqrt {65}},-2\right) ,&\quad A'&=(0,0,-7),\end{alignedat}}$ имеет конгруэнтные неравносторонние верхние грани и конгруэнтные равносторонние нижние грани; таким образом, не все его грани конгруэнтны. Действительно:
- Длина верхнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {146}}\,;\end{aligned}}$
- Длина базовой кромки: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3{\sqrt {10}}\,;$
- Длина нижнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=3{\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}$

Звездные бипирамиды

Звездчатая в основании бипирамида имеет звездчатый многоугольник и является самопересекающейся. ^[20]

Правильная правосимметричная звездчатая бипирамида имеет равные грани равнобедренного треугольника и является изоэдральной .

P $. / q$ -бипирамида имеет диаграмму Кокстера .

Пример звездных бипирамид:
База	5/2- угольник	7/2-угольник	7/3-угольник	8/3-угольник
Изображение

4-многогранники с бипирамидальными ячейками

Двойственным правильного 4 - выпрямлением выпуклого каждого многогранника является клеточно-транзитивный 4-многогранник с бипирамидальными ячейками. В следующем:

$A$ — вершина бипирамиды;
$E$ – вершина экватора;
$EE$ – расстояние между соседними вершинами на экваторе (равное 1);
$AE$ – длина ребра от вершины до экватора;
$АА$ — расстояние между вершинами.

4-многогранник бипирамиды будет иметь $вершины V A$ вершин $бипирамид N A.$ в местах пересечения Он будет иметь $вершины V E$ типа $E$ вершины $бипирамид N E.$ там, где встречаются

⁠ $N_{\overline {AE}}$ ⁠ бипирамиды сходятся вдоль каждого ребра типа $AE$ .
⁠ $N_{\overline {EE}}$ ⁠ бипирамиды встречаются вдоль каждого ребра типа $EE$ .
⁠ $C_{\overline {AE}}$ ⁠ — косинус двугранного угла вдоль $ребра AE$ .
⁠ $C_{\overline {EE}}$ ⁠ — косинус двугранного угла вдоль $края EE$ .

Поскольку ячейки должны соответствовать краю, ${\begin{aligned}N_{\overline {EE}}\arccos C_{\overline {EE}}&\leq 2\pi ,\\[4pt]N_{\overline {AE}}\arccos C_{\overline {AE}}&\leq 2\pi .\end{aligned}}$

4-многогранники с бипирамидальными ячейками
Свойства 4-многогранника									Свойства бипирамиды
Двойной из исправленный многогранник	Коксетер диаграмма	Клетки	$И А$	$В Э$	$Н. А.$	$N E$	⁠ $N_{\overline {\!AE}}$ ⁠	⁠ $N_{\overline {\!EE}}$ ⁠	Бипирамида клетка	Коксетер диаграмма	$АА$	$НО$ ^[с]	⁠ $C_{\overline {AE}}$ ⁠	⁠ $C_{\overline {EE}}$ ⁠
Р. 5-клеточный		10	5	5	4	6	3	3	Треугольный		${\textstyle {\frac {2}{3}}}$	0.667	${\textstyle -{\frac {1}{7}}}$	${\textstyle -{\frac {1}{7}}}$
Р. Тессеракт		32	16	8	4	12	3	4	Треугольный		${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{3}}}$	0.624	${\textstyle -{\frac {2}{5}}}$	${\textstyle -{\frac {1}{5}}}$
Р. 24-клеточный		96	24	24	8	12	4	3	Треугольный		${\textstyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}}$	0.745	${\textstyle {\frac {1}{11}}}$	${\textstyle -{\frac {5}{11}}}$
Р. 120-кл.		1200	600	120	4	30	3	5	Треугольный		${\textstyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{3}}}$	0.613	${\textstyle -{\frac {10+9{\sqrt {5}}}{61}}}$	${\textstyle -{\frac {7-12{\sqrt {5}}}{61}}}$
Р. 16-кл.		24 ^[д]	8	16	6	6	3	3	Квадрат		${\textstyle {\sqrt {2}}}$	1	${\textstyle -{\frac {1}{3}}}$	${\textstyle -{\frac {1}{3}}}$
Р. кубический соты		∞	∞	∞	6	12	3	4	Квадрат		${\textstyle 1}$	0.866	${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$	${\textstyle 0}$
Р. 600-ячеечный		720	120	600	12	6	3	3	пятиугольный		${\textstyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{5}}}$	1.447	${\textstyle -{\frac {11+4{\sqrt {5}}}{41}}}$	${\textstyle -{\frac {11+4{\sqrt {5}}}{41}}}$

Другие размеры

Обобщенная $n$ -мерная «бипирамида» — это любой $n$ - многогранник, построенный из $(n - 1)$ -основания многогранника , лежащего в гиперплоскости , где каждая вершина основания соединена ребром с двумя вершинами . Если $(n - 1)$ -многогранник является правильным многогранником и вершины равноудалены от его центра вдоль линии, перпендикулярной базовой гиперплоскости, он будет иметь одинаковые пирамидальные грани .

Двумерный аналог правосимметричной бипирамиды образуется путем соединения двух конгруэнтных равнобедренных треугольников по основаниям с образованием ромба . В более общем смысле, воздушный змей — это двумерный аналог (возможно, асимметричной) правой бипирамиды, а любой четырехугольник — это двумерный аналог общей бипирамиды.

См. также

Трапецоэдр

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Центр правильного многоугольника однозначен, но источники неправильных многоугольников расходятся во мнениях. В некоторых источниках допускается, чтобы правильная пирамида имела в качестве основания только правильный многоугольник. Другие определяют правильную пирамиду как имеющую вершины на линии, перпендикулярной основанию и проходящей через ее центроид . Пойа (1954) ограничивает правосторонние пирамиды пирамидами с тангенциальным многоугольником в основании, вершины которого лежат на линии, перпендикулярной основанию и проходящей через центральную часть .
^ Наименьшие геометрические двуугольные $бипирамиды$ имеют восемь граней и топологически идентичны правильному октаэдру . В этом случае ( $2 n = 2\times2$ ):
Изотоксальная правая (симметричная) дидигональная бипирамида называется ромбической бипирамидой , ^[13]^[16] хотя все его грани представляют собой разносторонние треугольники, потому что его плоское многоугольное основание представляет собой ромб.
^ Дано численно из-за более сложной формы.
^ Выпрямленные 16 ячеек — это обычные 24 ячейки, и все вершины эквивалентны — октаэдры представляют собой правильные бипирамиды.

Цитаты

^ Jump up to: ^а ^б Аартс, Дж. М. (2008). Плоская и объемная геометрия . Спрингер. п. 303. дои : 10.1007/978-0-387-78241-6 . ISBN 978-0-387-78241-6 .
^ Поля, Г. (1954). Математика и правдоподобные рассуждения: индукция и аналогия в математике . Издательство Принстонского университета. п. 138.
^ Монтролл, Джон (2009). Конструирование многогранников оригами . АК Петерс. п. 6 . ISBN 9781439871065 .
^ Тригг, Чарльз В. (1978). «Бесконечный класс дельтаэдров». Журнал «Математика» . 51 (1): 55–57. дои : 10.1080/0025570X.1978.11976675 . JSTOR 2689647 . МР 1572246 .
^ Уэхара, Рюхей (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии . Спрингер. п. 62. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5 . S2CID 220150682 .
^ Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55432-9 .
^ Флюссер, Ян; Сук, Томас; Зитофа, Барбара (2017). Анализ 2D и 3D изображений по моментам . Джон и сыновья Уайли. п. 126.
^ Чанг, Ч.; Патцер, ABC; Зульцле, Д.; Хауэр, Х. «Луковичные неорганические фуллерены с точки зрения многогранников» . В Саттлере, Клаус Д. (ред.). Нанонаука XXI века: Справочник . Тейлор и Фрэнсис. п. 15-4.
^ Маклин, К. Робин (1990). «Подземелья, драконы и кости». Математический вестник . 74 (469): 243–256. дои : 10.2307/3619822 . JSTOR 3619822 . S2CID 195047512 .
^ Сибли, Томас К. (2015). Мыслить геометрически: обзор геометрии . Математическая ассоциация Америки. п. 53.
^ Кинг, Роберт Б. (1994). «Многогранная динамика» . В Бончеве Данаил Д.; Мекенян О.Г. (ред.). Теоретико-графовые подходы к химической реакционной способности . Спрингер. дои : 10.1007/978-94-011-1202-4 . ISBN 978-94-011-1202-4 .
^ Армстронг, Массачусетс (1988). Группа и симметрия . Спрингер. п. 39. дои : 10.1007/978-1-4757-4034-9 . ISBN 978-1-4757-4034-9 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж «Кристаллическая форма, зоны, кристаллическая привычка» . Тулане.edu . Проверено 16 сентября 2017 г.
^ Спенсер 1911 , 6. Шестиугольная система, ромбоэдрическое деление , дитригонально-бипирамидальный класс, с. 581 (стр. 603 в Wikisource).
^ Спенсер 1911 , 2. Теграгональная система, голосимметричный класс, рис. 46, с. 577 (стр. 599 в Wikisource).
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и «48 особых кристаллических форм» . 18 сентября 2013 года. Архивировано из оригинала 18 сентября 2013 года . Проверено 18 ноября 2020 г. .
^ Кляйн, Корнелис; Филпоттс, Энтони Р. (2013). Земные материалы: Введение в минералогию и петрологию . Издательство Кембриджского университета. п. 108.
^ Спенсер 1911 , 6. Шестиугольная система, ромбоэдрическое деление , голосимметричный класс, рис. 68, с. 580 (стр. 602 в Wikisource).
^ Спенсер 1911 , с. 2. Тетрагональная система, скаленоэдрический класс, рис. 51, с. 577 (стр. 599 в Wikisource).
^ Рэнкин, Джон Р. (1988). «Классы многогранников, определяемые струйной графикой». Компьютеры и графика . 12 (2): 239–254. дои : 10.1016/0097-8493(88)90036-2 .

Цитируемые работы

Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7 . Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы
Спенсер, Леонард Джеймс (1911). «Кристаллография» . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 07 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 569–591.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Дипирамида» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . Математический мир .
Однородные многогранники
Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
- VRML Модели (Джордж Харт) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
  - Обозначение Конвея для многогранников. Попробуйте: «dP n », где n = 3, 4, 5, 6, ... Пример: «dP4» — октаэдр.

[right_pyramids-1] Jump up to: ^а ^б Центр правильного многоугольника однозначен, но источники неправильных многоугольников расходятся во мнениях. В некоторых источниках допускается, чтобы правильная пирамида имела в качестве основания только правильный многоугольник. Другие определяют правильную пирамиду как имеющую вершины на линии, перпендикулярной основанию и проходящей через ее центроид . Пойа (1954) ограничивает правосторонние пирамиды пирамидами с тангенциальным многоугольником в основании, вершины которого лежат на линии, перпендикулярной основанию и проходящей через центральную часть .

[18] Наименьшие геометрические двуугольные $бипирамиды$ имеют восемь граней и топологически идентичны правильному октаэдру . В этом случае ( $2 n = 2\times2$ ):
Изотоксальная правая (симметричная) дидигональная бипирамида называется ромбической бипирамидой , ^[13]^[16] хотя все его грани представляют собой разносторонние треугольники, потому что его плоское многоугольное основание представляет собой ромб.

[23] Дано численно из-за более сложной формы.

[24] Выпрямленные 16 ячеек — это обычные 24 ячейки, и все вершины эквивалентны — октаэдры представляют собой правильные бипирамиды.

[aarts-2] Jump up to: ^а ^б Аартс, Дж. М. (2008). Плоская и объемная геометрия . Спрингер. п. 303. дои : 10.1007/978-0-387-78241-6 . ISBN 978-0-387-78241-6 .

[polya-3] Поля, Г. (1954). Математика и правдоподобные рассуждения: индукция и аналогия в математике . Издательство Принстонского университета. п. 138.

[montroll-4] Монтролл, Джон (2009). Конструирование многогранников оригами . АК Петерс. п. 6 . ISBN 9781439871065 .

[trigg-5] Тригг, Чарльз В. (1978). «Бесконечный класс дельтаэдров». Журнал «Математика» . 51 (1): 55–57. дои : 10.1080/0025570X.1978.11976675 . JSTOR 2689647 . МР 1572246 .

[uehara-6] Уэхара, Рюхей (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии . Спрингер. п. 62. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5 . S2CID 220150682 .

[cromwell-7] Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55432-9 .

[fsz-8] Флюссер, Ян; Сук, Томас; Зитофа, Барбара (2017). Анализ 2D и 3D изображений по моментам . Джон и сыновья Уайли. п. 126.

[cpsb-9] Чанг, Ч.; Патцер, ABC; Зульцле, Д.; Хауэр, Х. «Луковичные неорганические фуллерены с точки зрения многогранников» . В Саттлере, Клаус Д. (ред.). Нанонаука XXI века: Справочник . Тейлор и Фрэнсис. п. 15-4.

[mclean-10] Маклин, К. Робин (1990). «Подземелья, драконы и кости». Математический вестник . 74 (469): 243–256. дои : 10.2307/3619822 . JSTOR 3619822 . S2CID 195047512 .

[sibley-11] Сибли, Томас К. (2015). Мыслить геометрически: обзор геометрии . Математическая ассоциация Америки. п. 53.

[king-12] Кинг, Роберт Б. (1994). «Многогранная динамика» . В Бончеве Данаил Д.; Мекенян О.Г. (ред.). Теоретико-графовые подходы к химической реакционной способности . Спрингер. дои : 10.1007/978-94-011-1202-4 . ISBN 978-94-011-1202-4 .

[armstrong-13] Армстронг, Массачусетс (1988). Группа и симметрия . Спрингер. п. 39. дои : 10.1007/978-1-4757-4034-9 . ISBN 978-1-4757-4034-9 .

[tulane-14] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж «Кристаллическая форма, зоны, кристаллическая привычка» . Тулане.edu . Проверено 16 сентября 2017 г.

[FOOTNOTESpencer19116._Hexagonal_system,_''rhombohedral_division'',_ditrigonal_bipyramidal_class,_p._581_(p._603_on_Wikisource)-15] Спенсер 1911 , 6. Шестиугольная система, ромбоэдрическое деление , дитригонально-бипирамидальный класс, с. 581 (стр. 603 в Wikisource).

[FOOTNOTESpencer19112._Tegragonal_system,_holosymmetric_class,_fig._46,_p._577_(p._599_on_Wikisource)-16] Спенсер 1911 , 2. Теграгональная система, голосимметричный класс, рис. 46, с. 577 (стр. 599 в Wikisource).

[uwgb-17] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и «48 особых кристаллических форм» . 18 сентября 2013 года. Архивировано из оригинала 18 сентября 2013 года . Проверено 18 ноября 2020 г. .

[kp-19] Кляйн, Корнелис; Филпоттс, Энтони Р. (2013). Земные материалы: Введение в минералогию и петрологию . Издательство Кембриджского университета. п. 108.

[FOOTNOTESpencer19116._Hexagonal_system,_''rhombohedral_division'',_holosymmetric_class,_fig._68,_p._580_(p._602_on_Wikisource)-20] Спенсер 1911 , 6. Шестиугольная система, ромбоэдрическое деление , голосимметричный класс, рис. 68, с. 580 (стр. 602 в Wikisource).

[FOOTNOTESpencer19112._Tetragonal_system,_scalenohedral_class,_fig._51,_p._577_(p._599_on_Wikisource)-21] Спенсер 1911 , с. 2. Тетрагональная система, скаленоэдрический класс, рис. 51, с. 577 (стр. 599 в Wikisource).

[22] Рэнкин, Джон Р. (1988). «Классы многогранников, определяемые струйной графикой». Компьютеры и графика . 12 (2): 239–254. дои : 10.1016/0097-8493(88)90036-2 .

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[б]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[с]

[д]