Триаконтаэдр Дисдякиса

Триаконтаэдр Дисдякиса
( вращающаяся и 3D- модель)
Тип	каталанский
Обозначение Конвея	мД или дбД
Диаграмма Кокстера
Лицевой многоугольник	разносторонний треугольник
Лица	120
Края	180
Вершины	62 = 12 + 20 + 30
Конфигурация лица	Версия 4.6.10
Группа симметрии	I h , H 3 , [5,3], (*532)
Группа ротации	Я, [5,3] + , (532)
Двугранный угол	$\arccos \left(-{\frac {7\phi +10}{5\phi +14}}\right)\approx 164.888^{\circ }$
Двойной многогранник	усеченный икосододекаэдр
Характеристики	выпуклый, гране-переходный
сеть

В геометрии это триаконтаэдр дисдиакиса , гексакисикосаэдр , додекаэдр декакиса или кисромбический триаконтаэдр. представляет собой каталонское тело со 120 гранями и двойственное архимедову усеченному икосододекаэдру . Как таковой, он имеет однородную грань, но с неправильными граней многоугольниками . Он немного напоминает раздутый ромбический триаконтаэдр : если заменить каждую грань ромбического триаконтаэдра на одну вершину и четыре треугольника обычным образом, получится триаконтаэдр Дисдиакиса. То есть триаконтаэдр дисдиакиса является клитопой ромбического триаконтаэдра. Это также барицентрическое подразделение правильного додекаэдра и икосаэдра . У него больше всего граней среди архимедовых и каталонских тел, на втором месте — курносый додекаэдр с 92 гранями.

Если бипирамиды , гировытянутые бипирамиды и трапецоэдры исключить , то триаконтаэдр Дисдиакиса имеет больше всего граней, чем любой другой строго выпуклый многогранник , где каждая грань многогранника имеет одинаковую форму.

Проецированные в сферу края триаконтаэдра Дисдякиса образуют 15 больших кругов . Бакминстер Фуллер использовал эти 15 больших кругов, а также 10 и 6 других в двух других многогранниках, чтобы определить свой 31 большой круг сферического икосаэдра .

Геометрия

Будучи каталонским телом с треугольными гранями, триаконтаэдр Дисдякиса имеет три угла грани. $\alpha _{4},\alpha _{6},\alpha _{10}$ и общий двугранный угол $\theta$ должны подчиняться следующим ограничениям, аналогичным другим каталонским телам:

$\sin(\theta /2)=\cos(\pi /4)/\cos(\alpha _{4}/2)$

$\sin(\theta /2)=\cos(\pi /6)/\cos(\alpha _{6}/2)$

$\sin(\theta /2)=\cos(\pi /10)/\cos(\alpha _{10}/2)$

$\alpha _{4}+\alpha _{6}+\alpha _{10}=\pi$

Четыре приведенных выше уравнения решаются одновременно, чтобы получить следующие углы грани и двугранный угол:

$\alpha _{4}=\arccos \left({\frac {7-4\phi }{30}}\right)\approx 88.992^{\circ }$

$\alpha _{6}=\arccos \left({\frac {17-4\phi }{20}}\right)\approx 58.238^{\circ }$

$\alpha _{10}=\arccos \left({\frac {2+5\phi }{12}}\right)\approx 32.770^{\circ }$

$\theta =\arccos \left(-{\frac {155+48\phi }{241}}\right)\approx 164.888^{\circ }$

где $\phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618$ это золотое сечение .

Как и во всех каталонских телах, двугранные углы на всех ребрах одинаковы, хотя ребра могут быть разной длины.

Декартовы координаты

Фундаментальные области икосаэдрической симметрии образуют сферическую версию триаконтаэдра дисдиакиса. Каждый треугольник можно сопоставить с другим треугольником того же цвета только посредством трехмерного вращения. Треугольники разных цветов можно сопоставлять друг с другом с помощью отражения или инверсии, а также вращения.

Оболочки триаконтаэдра Дисдякиса.

62 вершины триаконтаэдра Дисдиакиса определяются следующим образом:

• Двенадцать вершин $\left(0,{\frac {\pm 1}{\sqrt {\phi +2}}},{\frac {\pm \phi }{\sqrt {\phi +2}}}\right)$ и их циклические перестановки,

• Восемь вершин $\left(\pm R,\pm R,\pm R\right)$,

• Двенадцать вершин $\left(0,\pm R\phi ,\pm {\frac {R}{\phi }}\right)$ и их циклические перестановки,

• Шесть вершин $\left(\pm S,0,0\right)$ и их циклические перестановки.

• Двадцать четыре вершины $\left(\pm {\frac {S\phi }{2}},\pm {\frac {S}{2}},\pm {\frac {S}{2\phi }}\right)$ и их циклические перестановки,

где

$R={\frac {5}{3\phi {\sqrt {\phi +2}}}}={\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{3}}\approx 0.5415328270548438$,

$S={\frac {(7\phi -6){\sqrt {\phi +2}}}{11}}={\frac {(2{\sqrt {5}}-3){\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{11}}\approx 0.9210096876986302$, и

$\phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618$ это золотое сечение .

В приведенных выше координатах первые 12 вершин образуют правильный икосаэдр , следующие 20 вершин (с R ) образуют правильный додекаэдр , а последние 30 вершин (с S ) образуют икосододекаэдр .

Нормализация всех вершин к единичной сфере дает сферический триаконтаэдр Дисдиакиса, показанный на соседнем рисунке. На этом рисунке также изображены 120 преобразований, связанных с полной икосаэдрической группой Ih .

Симметрия

Ребра многогранника, проецируемые на сферу, образуют 15 больших кругов и представляют собой все 15 зеркальных плоскостей отражательной 1- _{икосаэдрической} симметрии . Объединение пар светлых и темных треугольников определяет фундаментальные области неотражающей ( I ) икосаэдрической симметрии. Ребра соединения пяти октаэдров также представляют собой 10 зеркальных плоскостей икосаэдрической симметрии.

Дисдякис триаконтаэдр

Дельтовидный шестиконтаэдр

ромбический триаконтаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

Пиритоэдр

showСферический многогранник
(see rotating model)	Orthographic projections from 2-, 3- and 5-fold axes

showСтереографические проекции
	2-fold	3-fold	5-fold
Colored as compound of five octahedra, with 3 great circles for each octahedron. The area in the black circles below corresponds to the frontal hemisphere of the spherical polyhedron.

Ортогональные проекции

Триаконтаэдр Дисдиакиса имеет три типа вершин, которые могут быть центрированы в ортогональной проекции:

Ортогональные проекции

Проективный симметрия	[2]	[6]	[10]
Изображение
Двойной изображение

Использует

«Большой Чоп» Головоломка

Триаконтаэдр Дисдякиса , представляющий собой правильный додекаэдр с пятиугольниками, разделенными на 10 треугольников каждый, считается «Святым Граалем» для комбинированных головоломок, таких как кубик Рубика . Эта нерешенная проблема, часто называемая проблемой «большого удара», в настоящее время не имеет удовлетворительного механизма. Это самая значительная нерешенная проблема в механических головоломках.

Эта форма была использована для изготовления кубиков d120 с помощью 3D-печати. С 2016 года Dice Lab использует триаконтаэдр дисдиакиса для массового продажи 120-гранной матрицы, полученной литьем под давлением . Утверждается, что d120 — это наибольшее количество возможных граней на игральной кости, за исключением бесконечных семейств (таких как правильные правильные призмы , бипирамиды и трапецоэдры ), которые в действительности были бы непрактичны из-за тенденции катиться в течение длительного времени. .

Триконтаэдр дисдякиса, спроецированный на сферу, используется в качестве логотипа веб-сайта Brilliant , содержащего серию уроков по темам, связанным с STEM .

Связанные многогранники и мозаики

Многогранники, подобные триаконтаэдру Дисдиакиса, двойственны икосаэдру Боути и додекаэдру и содержат дополнительные пары треугольных граней.

showСемейство однородных икосаэдрических многогранников.
Symmetry: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Топологически он связан с последовательностью многогранников, определяемой конфигурацией граней V4.6.2n . Эта группа особенна тем, что имеет все четное количество ребер на вершину и образует биссектрисы, проходящие через многогранники и бесконечные прямые на плоскости, и продолжается в гиперболическую плоскость для любого n ≥ 7.

При четном количестве граней в каждой вершине эти многогранники и мозаики можно показать, чередуя два цвета, чтобы все соседние грани имели разные цвета.

Каждая грань в этих областях также соответствует фундаментальной области группы симметрии с порядками 2,3, n зеркалами в каждой вершине грани треугольника. Это * n32 в орбифолдной нотации и [ n ,3] в нотации Коксетера .

show* n 32 мутация симметрии всеусеченных мозаик: 4.6.2n
Sym. *n32 [n,3]	Spherical				Euclid.	Compact hyperb.		Paraco.	Noncompact hyperbolic
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Figures
Config.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duals
Config.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

Ссылки

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-Х . (Раздел 3-9)
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511569371 , ISBN  978-0-521-54325-5 , MR   0730208 (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и двойственные им многогранники, стр. 25, Дисдиакистриаконтаэдр)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN   978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Названия архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, страница 285, кисРомбический триаконтаэдр)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , « Триаконтаэдр Дисдякиса » (« каталонское твердое тело ») в MathWorld .
• Триаконтаэдр Дисдякиса (Гексакис Икосаэдр) – Интерактивная Модель Многогранника