Курносый куб

Курносый кубический граф
Курносый кубический граф
	4-кратная симметрия
Вершины	24
Края	60
Автоморфизмы	24
Характеристики	Гамильтониан , регулярный
	Таблица графиков и параметров

Курносый куб
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Архимедово тело Однородный многогранник
Элементы	F = 38, E = 60, V = 24 (χ = 2)
Лица по сторонам	(8+24){3}+6{4}
Обозначение Конвея	СЦ
Символы Шлефли	ср{4,3} или $s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$
Символы Шлефли	чт _0,1,2 {4,3}
Символ Витхоффа	\| 2 3 4
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Ой , 1/2 [ 3 Б _, 4,3] ⁺, (432), порядок 24
Группа ротации	О , [4,3] ⁺, (432), порядок 24
Двугранный угол	3-3: 153°14′04″ (153.23°) 3-4: 142°59′00″ (142.98°)
Ссылки	Ю ₁₂ , Ц ₂₄ , Ж ₁₇
Характеристики	Полуправильный выпуклый хиральный
Цветные лица	3.3.3.3.4 ( фигура вершины )
Пятиугольный икоситетраэдр ( двойной многогранник )	Сеть

Геометрическое построение постоянной Трибоначчи (AC) с циркулем и отмеченной линейкой в соответствии с методом, описанным Ксерардо Нейрой.

В геометрии курносый куб , или курносый кубооктаэдр , представляет собой архимедово тело с 38 гранями: 6 квадратами и 32 равносторонними треугольниками . Он имеет 60 ребер и 24 вершины .

Это киральный многогранник ; то есть он имеет две отдельные формы, которые являются зеркальными отражениями (или « энантиоморфами ») друг друга. Объединение обеих форм представляет собой соединение двух курносых кубов , а выпуклая оболочка обоих наборов вершин — усеченный кубооктаэдр .

Кеплер впервые назвал его на cubus латыни simus в 1619 году в своей книге «Harmonices Mundi» . HSM Коксетер , отметив, что его можно в равной степени получить из октаэдра, как и из куба, назвал его курносым кубооктаэдром с вертикальным расширенным символом Шлефли . $s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ , и представляющий собой чередование усечённого кубооктаэдра , имеющего символ Шлефли $t\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ .

Размеры [ править ]

Для курносого куба с длиной ребра $a$ , его площадь поверхности и объем равны: ^[1]

{\begin{aligned}A&=a^{2}\cdot \left(6+8{\sqrt {3}}\right)&&\approx 19.856\,406\,460\,6a\\V&=a^{3}\cdot {\frac {8t+6}{3{\sqrt {2(t^{2}-3)}}}}&&\approx 7.889\,477\,399\,98a\end{aligned}}

где t - постоянная Трибоначчи

t={\frac {1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}}{3}}\approx 1.839\,286\,755\,21.

Если исходный курносый куб имеет длину ребра 1, его двойной пятиугольный икоситетраэдр имеет длины сторон

{\frac {1}{\sqrt {t+1}}}{\approx 0.593\,465}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\sqrt {t+1}}{2}}\approx 0.842\,509.

.

Декартовы координаты [ править ]

Декартовы координаты вершин все курносого куба — это перестановки четные

(±1, ± 1 т , ± т )

с четным числом плюсов, а также все нечетные перестановки с нечетным числом плюсов, где t ≈ 1,83929 — константа Трибоначчи . Если взять четные перестановки с нечетным количеством знаков плюс и нечетные перестановки с четным количеством знаков плюс, получится другой курносый куб — зеркальное изображение. Если сложить их все вместе, получится соединение двух курносых кубов .

Этот курносый куб имеет ребра длины $\alpha ={\sqrt {2+4t-2t^{2}}}$ , число, которое удовлетворяет уравнению

\alpha ^{6}-4\alpha ^{4}+16\alpha ^{2}-32=0,\,

и может быть записано как

{\begin{aligned}\alpha &={\sqrt {{\frac {4}{3}}-{\frac {16}{3\beta }}+{\frac {2\beta }{3}}}}\approx 1.609\,72\\\beta &={\sqrt[{3}]{26+6{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}

Чтобы получить курносый куб с единичной длиной ребра, разделите все приведенные выше координаты на указанное выше значение α .

Ортогональные проекции [ править ]

Курносый куб имеет две специальные ортогональные проекции , центрированные на двух типах граней: треугольники и квадраты соответствуют плоскостям _A2 и _B2 Кокстера .

Ортогональные проекции
В центре	Лицо Треугольник	Лицо Квадрат	Край
Твердый
Каркас
Проективный симметрия	[3]	[4] ⁺	[2]
Двойной

Сферическая черепица [ править ]

Курносый куб также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняющей углы, но не площади или длины. Дуги больших окружностей (геодезические) на сфере проецируются как дуги окружностей на плоскость.

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция
	квадратно -центрированный

Геометрические отношения [ править ]

Куб, ромбокубооктаэдр и курносый куб (анимированное расширение и скручивание )

Курносый куб можно создать, взяв шесть граней куба, вытянув их наружу , чтобы они больше не соприкасались, а затем слегка повернув каждую из них в их центрах (все по часовой стрелке или все против часовой стрелки), пока пространство между ними не будет заполнено. с равносторонними треугольниками .

Равномерное чередование усеченного кубооктаэдра.

Курносый куб также может быть получен из усеченного кубооктаэдра методом чередования . 24 вершины усеченного кубооктаэдра образуют многогранник, топологически эквивалентный курносому кубу; остальные 24 образуют его зеркальное отражение. Полученный многогранник является вершинно-транзитивным , но не однородным.

«Улучшенный» курносый куб с квадратной гранью немного меньшего размера и треугольными гранями немного большего размера по сравнению с однородным курносым кубом Архимеда полезен в качестве сферической конструкции . ^[2]

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Курносый куб — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу и правильному октаэдру.

Однородные октаэдрические многогранники
Symmetry: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= or	= or	=

Duals to uniform polyhedra
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Этот полуправильный многогранник является членом последовательности вздернутых многогранников и мозаик с фигурой вершины (3.3.3.3.n ) и диаграммой Коксетера – Дынкина. . Эти фигуры и их двойственные фигуры имеют ( n 32) вращательную симметрию , находясь в евклидовой плоскости для n = 6 и в гиперболической плоскости для любого большего n . Можно считать, что серия начинается с n=2, причем один набор граней вырождается в двуугольники .

n 32 мутации симметрии курносых мозаик: 3.3.3.3.n v т и
Symmetry n32	Spherical				Euclidean	Compact hyperbolic		Paracomp.
Symmetry n32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Snub figures
Config.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Gyro figures
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Плосконосый куб — второй в ряду курносых многогранников и мозаик с фигурой вершины 3.3.4.3. н .

4 n 2 мутации симметрии курносых мозаик: 3.3.4.3.n v т и
Symmetry 4n2	Spherical		Euclidean	Compact hyperbolic				Paracomp.
Symmetry 4n2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Snub figures
Config.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Gyro figures
Config.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Курносый кубический граф [ править ]

В теории графов курносый кубический граф — это граф вершин и ребер курносого куба , одного из архимедовых тел . Он имеет 24 вершины и 60 ребер и является архимедовым графом . ^[3]

Ортогональная проекция

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ «Плосконосый куб — Калькулятор геометрии» . rechneronline.de . Проверено 26 мая 2020 г.
^ «Сферические конструкции» Р.Х. Хардина и NJA Слоана
^ Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269

Джаятилаке, Удая (март 2005 г.). «Расчеты на гранях и вершинах правильных многогранников». Математический вестник . 89 (514): 76–81. дои : 10.1017/S0025557200176818 . S2CID 125675814 .
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . (Раздел 3-9)
Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , « Плосконосый куб » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Плосконосый кубический граф» . Математический мир .
Клитцинг, Ричард. "3D выпуклые однородные многогранники s3s4s - snic" .
Однородные многогранники
Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
Редактируемая для печати сетка Snub Cube с интерактивным 3D-изображением

[1] «Плосконосый куб — Калькулятор геометрии» . rechneronline.de . Проверено 26 мая 2020 г.

[2] «Сферические конструкции» Р.Х. Хардина и NJA Слоана

[3] Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269

[1]

[2]

[3]