Курносый (геометрия)

Два пренебрежительных архимедовых тела
Курносый куб или Курносый кубооктаэдр	Курносый додекаэдр или Курносый икосододекаэдр

Курносый куб можно построить из ромбокубооктаэдра , вращая 6 синих квадратных граней до тех пор, пока 12 белых квадратных граней не превратятся в пары граней равностороннего треугольника.

В геометрии курносость к — это операция, применяемая многограннику . Этот термин происходит от названий Кеплером двух архимедовых тел : курносого куба ( cubus simus ) и курносого додекаэдра ( dodecaedron simum ). ^[1]

В общем, курносые имеют киральную симметрию двух форм: с ориентацией по часовой стрелке или против часовой стрелки. По именам Кеплера, курносый можно рассматривать как расширение правильного многогранника : раздвигание граней, скручивание их вокруг центров, добавление новых многоугольников с центрами в исходных вершинах и добавление пар треугольников, подходящих между исходными гранями.

Терминология была обобщена Коксетером , с немного другим определением, для более широкого набора однородных многогранников .

Конвей пренебрегает

Джон Конвей исследовал обобщенные операторы многогранников, определив то, что сейчас называется обозначением многогранников Конвея , которое можно применять к многогранникам и мозаикам. Конвей называет операцию Коксетера полупренебрежительной . ^[2]

В этих обозначениях snub определяется двойным оператором и оператором гироскопа как s = dg и эквивалентен чередованию усечения оператора ambo . Сама нотация Конвея позволяет избежать операции чередования (половины) Коксетера, поскольку она применима только к многогранникам только с четными гранями.

Пренебрежительные обычные цифры
Формы для пренебрежения	Многогранники			Евклидовы мозаики		Гиперболические мозаики
Имена	Тетраэдр	Куб или октаэдр	Икосаэдр или додекаэдр	Квадратная плитка	Шестиугольная плитка или Треугольная плитка	Семиугольная плитка или Треугольная плитка порядка 7
Изображения
Пренебрежение формой Конвея обозначение	СТ	СК = СО	сИ = СД	кв.	sH = sΔ	sΔ ₇
Изображение

В 4-мерных измерениях Конвей предлагает курносый 24-ячеечный называть полукурносый 24-ячеечный, потому что, в отличие от трехмерных курносых многогранников, представляющих собой чередующиеся всеусеченные формы, он не является чередующимся всеусеченным 24-ячеистым . Вместо этого на самом деле это чередующийся усеченный 24-ячеечный . ^[3]

Пренебрежения Кокстера, регулярные и квазирегулярные

Курносый куб, производный от куба или кубооктаэдра.
Имя	Куб	Кубооктаэдр Ректифицированный куб	Усеченный кубооктаэдр Количественный усеченный куб	Курносый кубооктаэдр Курносый выпрямленный куб
	Семя	Исправленный р	Усечено т	Чередование час
Обозначение Конвея	С	СО рК	ТСО ТРК или ТРО	htCO = sCO htrC = srC
Символ Шлефли	{4,3}	${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ или г{4,3}	$t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ или тр{4,3}	$ht{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ чтр{4,3} = ср{4,3}
Диаграмма Кокстера		или	или	или
Изображение

Терминология курносого Коксетера немного отличается, означая попеременное усечение , в результате чего курносый куб представляет собой курносый кубооктаэдр , а курносый додекаэдр — как курносый икосододекаэдр . Это определение используется для обозначения двух тел Джонсона : курносого дисфеноида и курносой квадратной антипризмы , а также многогранников более высоких размерностей, таких как 4-мерный курносый 24-ячеечный , с расширенным символом Шлефли s{3,4,3} и диаграмма Кокстера .

Правильный многогранник (или мозаика) с символом Шлефли. ${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$ и диаграмма Кокстера , имеет усечение, определенное как $t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$ , и , и имеет пренебрежение, определенное как поочередное усечение $ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$ , и . Эта альтернативная конструкция требует, чтобы q было четным.

Квазиправильный многогранник с символом Шлефли. ${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ или r { p , q } и диаграмма Кокстера или , имеет квазирегулярное усечение, определяемое как $t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ или tr { p , q }, и или , и имеет квазирегулярный уклон, определяемый как попеременное усеченное выпрямление $ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ или htr { p , q } = sr { p , q }, и или .

Например, курносый куб Кеплера получен из квазиправильного кубооктаэдра с вертикальным символом Шлефли . ${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ и диаграмма Кокстера , и поэтому его более точно называют курносым кубооктаэдром , что выражается вертикальным символом Шлефли. $s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ и диаграмма Кокстера . Курносый кубооктаэдр является чередованием усеченного кубооктаэдра . $t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ , и .

Правильные многогранники с вершинами четного порядка также можно обойти как чередующиеся усечения, например, плосконосый октаэдр , как $s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}$ , , представляет собой чередование усечённого октаэдра , $t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}$ , и . Курносый октаэдр представляет собой псевдоикосаэдр , правильный икосаэдр с пиритоэдрической симметрией .

Курносый тетратетраэдр , как $s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ , и , – чередование формы симметрии усеченного тетраэдра, $t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ , и .

Имя	Октаэдр	Усеченный октаэдр	Курносый октаэдр
	Семя	Усечено т	Чередование час
Обозначение Конвея	ТО	к	хтО или около того
Символ Шлефли	{3,4}	т{3,4}	чт{3,4} = с{3,4}
Диаграмма Кокстера
Изображение

Операция подавления Кокстера также позволяет n- антипризмы как определить $s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}$ или $s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}$ , на основе n-призм $t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}$ или $t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}$ , пока ${\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}$ — правильный n- осоэдр , вырожденный многогранник, но допустимая мозаика на сфере с двуугольными или лунообразными гранями.

осоэдры Курносые , {2,2p}
Изображение
Коксетер диаграммы							... ...
Шлефли символы	с{2,4}	с{2,6}	с{2,8}	с{2,10}	с{2,12}	с{2,14}	с{2,16} ...	с{2,∞}
Шлефли символы	ср{2,2} $s{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}$	ср{2,3} $s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}$	ср{2,4} $s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	ср{2,5} $s{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}$	ср{2,6} $s{\begin{Bmatrix}2\\6\end{Bmatrix}}$	ср{2,7} $s{\begin{Bmatrix}2\\7\end{Bmatrix}}$	ср{2,8}... $s{\begin{Bmatrix}2\\8\end{Bmatrix}}$ ...	ср{2,∞} $s{\begin{Bmatrix}2\\\infty \end{Bmatrix}}$
Конвей обозначение	А2 = Т	А3=О	A4	А5	А6	A7	А8...	A∞

Тот же процесс применим и к курносым мозаикам:

Треугольная плитка Д	Усеченная треугольная плитка tΔ	Курносая треугольная плитка htΔ = sΔ
{3,6}	т{3,6}	чт{3,6} = с{3,6}

Примеры

Пренебрежение на основе {p,4}
Космос	сферический		евклидов	гиперболический
Изображение
Коксетер диаграмма								...
Шлефли символ	с{2,4}	с{3,4}	с{4,4}	с{5,4}	с{6,4}	с{7,4}	с{8,4}	... с{∞,4}

Квазирегулярные снобы на основе r{p,3}
Конвей обозначение	сферический				евклидов	гиперболический
Изображение
Коксетер диаграмма								...
Шлефли символ	ср{2,3}	ср{3,3}	ср{4,3}	ср{5,3}	ср{6,3}	ср{7,3}	ср{8,3}	... ср{∞,3}
Шлефли символ	$s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}8\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}\infty \\3\end{Bmatrix}}$
Конвей обозначение	А3	СТ	СК или около того	СД или СИ	sΗ или sΔ

Квазирегулярные снобы на основе r{p,4}
Космос	сферический		евклидов	гиперболический
Изображение
Коксетер диаграмма								...
Шлефли символ	ср{2,4}	ср{3,4}	ср{4,4}	ср{5,4}	ср{6,4}	ср{7,4}	ср{8,4}	... ср{∞,4}
Шлефли символ	$s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}7\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}\infty \\4\end{Bmatrix}}$
Конвей обозначение	A4	СК или около того	кв.

Неоднородные курносые многогранники

Неоднородные многогранники со всеми вершинами с четной валентностью могут быть отвергнуты, включая некоторые бесконечные множества; например:

Курносые бипирамиды sdt{2,p}
Курносая квадратная бипирамида


Курносая шестиугольная бипирамида

Вздернутые выпрямленные бипирамиды srdt{2,p}

Курносые антипризмы s{2,2p}
Изображение				...
Шлефли символы	сс{2,4}	сс{2,6}	сс{2,8}	сс{2,10}...
Шлефли символы	сср{2,2} $ss{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}$	сср{2,3} $ss{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}$	сср{2,4} $ss{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	сср{2,5}... $ss{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}$

Равномерные курносые звездчатые многогранники Кокстера

Курносые звездчатые многогранники построены на основе треугольника Шварца (pqr) с рациональными упорядоченными углами зеркал, а все зеркала активны и чередуются.

Вздернутые однородные звездчатые многогранники
с{3/2,3/2}	с {(3,3,5/2)}	ср{5,5/2}	с {(3,5,5/3)}	ср{5/2,3}
ср{5/3,5}	с{(5/2,5/3,3)}	ср{5/3,3}	с {(3/2,3/2,5/2)}	с{3/2,5/3}

Многомерные курносые многогранники и соты Кокстера

В общем случае правильный полихорон с символом Шлефли. ${\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$ и диаграмма Кокстера , имеет курносую часть с расширенным символом Шлефли. $s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$ , и .

Выпрямленный полихорон ${\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}$ = r{p,q,r} и имеет курносый символ $s{\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}$ = sr{p,q,r} и .

Примеры

Существует только один однородный выпуклый курносый элемент в четырех измерениях: курносый 24-клеточный . Обычная 24-ячеечная клетка имеет символ Шлефли , ${\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}$ и диаграмма Кокстера , а курносая 24-ячеечная представлена $s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}$ , диаграмма Кокстера . Он также имеет конструкции более низкой симметрии с индексом 6, как $s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}$ или s{3 ^1,1,1} и и субсимметрия индекса 3 как $s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmatrix}}$ или sr{3,3,4}, и или .

Родственные курносые соты из 24 ячеек можно рассматривать как $s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}$ или s{3,4,3,3}, и и нижняя симметрия $s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmatrix}}$ или ср{3,3,4,3} и или и форма наименьшей симметрии как $s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}$ или s{3 ^1,1,1,1} и .

Евклидовы соты — это соты из чередующихся шестиугольных плит , s{2,6,3} и или sr{2,3,6}, и или ср{2,3 ^[3]}, и .

Еще одна евклидова (чешуйчатая) сота — это соты с чередующимися квадратными плитами , s{2,4,4} и или ср{2,4 ^1,1} и :

Единственные однородные курносые гиперболические однородные соты — это курносые шестиугольные мозаичные соты , как s{3,6,3} и , который также можно построить как чередующиеся шестиугольные соты , h{6,3,3}, . Он также строится как s{3 ^[3,3]} и .

Другая гиперболическая (чешуйчатая) сота — это курносая октаэдрическая сота четвертого порядка , s{3,4,4} и .

См. также

Курносый многогранник

Операторы многогранника
v
т
и
Семя	Усечение	Исправление	Биусечение	Двойной	Расширение	Всеобрезание	Чередования


$т 0 {п, q} {п, q}$	$т 01 {п, q} т {п, q}$	$т 1 {п, q} р {п, q}$	$т 12 {п, q} 2t{п, q}$	$т 2 {п, q} 2r{п, q}$	$т 02 {п, q} рр {п, q}$	$т 012 {п, q} тр {п, q}$	$чт 0 {п, q} ч {q, п}$	$чт 12 {п, q} с {q, п}$	$чт 012 {п, q} ср {п, q}$

Ссылки

^ Кеплер , Harmonices Mundi , 1619 г.
^ Конвей, (2008) стр.287 Полукурносая операция Коксетера
^ Конвей, 2008, стр.401 Полувзносый полиоктаэдр Госсета

Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 246 (916). Королевское общество: 401–450. Бибкод : 1954RSPTA.246..401C . дои : 10.1098/rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532 . МР 0062446 . S2CID 202575183 .
Коксетер, Правильные многогранники HSM (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (стр. 154–156 8.6 Частичное усечение или чередование)
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] , Googlebooks [2]
- (Документ 17) Коксетер , Эволюция диаграмм Кокстера-Динкина , [Новые архивы математики 9 (1991) 233–248]
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
- (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559–591]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3–45]
Коксетер , Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
Вайсштейн, Эрик В. «Кнобификация» . Математический мир .
Ричард Клитцинг, Снабс, чередующиеся грани и диаграммы Стотта-Коксетера-Динкина , Симметрия: Культура и Наука, Vol. 21, № 4, 329–344, (2010) [3]

[1] Кеплер , Harmonices Mundi , 1619 г.

[2] Конвей, (2008) стр.287 Полукурносая операция Коксетера

[3] Конвей, 2008, стр.401 Полувзносый полиоктаэдр Госсета

[1]

[2]

[3]