Большой перевернутый курносый икосододекаэдр.

Большой перевернутый курносый икосододекаэдр.

Тип	Однородный звездчатый многогранник
Элементы	Ф = 92, Е = 150 V = 60 (χ = 2)
Лица по сторонам	(20+60){3}+12{5/2}
Диаграмма Кокстера
Символ Витхоффа	\| 5/3 2 3
Группа симметрии	Я, [5,3] ⁺, 532
Ссылки на индексы	Ю ₆₉ , Ц ₇₃ , Ж ₁₁₆
Двойной многогранник	Большой перевернутый пятиугольный шестиконтаэдр.
Вершинная фигура	3 ⁴.5/3
Аббревиатура Бауэрса	Гис

В геометрии большой перевернутый курносый икосододекаэдр (или большой вершинно-плюснутый икосододекаэдр ) представляет собой однородный звездчатый многогранник , обозначаемый как U ₆₉ . Дан символ Шлефли $sr{ .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}5 ⁄ 3,3 }$ и диаграмма Кокстера-Дынкина . В книге Модели многогранников « Магнуса Веннингера » многогранник ошибочно назван « большой курносый икосододекаэдр» , и наоборот.

Декартовы координаты

Позволять $\xi \approx -0.5055605785332548$ быть наибольшим (наименее отрицательным) отрицательным нулем многочлена $x^{3}+2x^{2}-\phi ^{-2}$ , где $\phi$ это золотое сечение . Пусть точка $p$ быть предоставлено

p={\begin{pmatrix}\xi \\\phi ^{-2}-\phi ^{-2}\xi \\-\phi ^{-3}+\phi ^{-1}\xi +2\phi ^{-1}\xi ^{2}\end{pmatrix}}

.

Пусть матрица $M$ быть предоставлено

M={\begin{pmatrix}1/2&-\phi /2&1/(2\phi )\\\phi /2&1/(2\phi )&-1/2\\1/(2\phi )&1/2&\phi /2\end{pmatrix}}

.

$M$ это вращение вокруг оси $(1,0,\phi )$ под углом $2\pi /5$ , против часовой стрелки. Пусть линейные преобразования $T_{0},\ldots ,T_{11}$ быть преобразованиями, которые посылают точку $(x,y,z)$ к четным перестановкам $(\pm x,\pm y,\pm z)$ с четным количеством знаков минус. Преобразования $T_{i}$ составляют группу вращательных симметрий правильного тетраэдра .Преобразования $T_{i}M^{j}$ $(i=0,\ldots ,11$ , $j=0,\ldots ,4)$ составляют группу вращательных симметрий правильного икосаэдра .Тогда 60 баллов $T_{i}M^{j}p$ являются вершинами большого курносого икосаэдра. Длина ребра равна $-2\xi {\sqrt {1-\xi }}$ , радиус описанной окружности равен $-\xi {\sqrt {2-\xi }}$ , а средний радиус равен $-\xi$ .

Для большого курносого икосододекаэдра, длина ребра которого равна 1,радиус описанной окружности

R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 0.6450202372957795

Его средний радиус

r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 0.4074936889340787

Четыре положительных вещественных корня секстика в $R 2$ , $4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0$ - это радиусы описанной окружности курносого додекаэдра (U ₂₉ ), большого курносого икосододекаэдра (U ₅₇ ), большого перевернутого курносого икосододекаэдра (U ₆₉ ) и большого ретро-взносого икосододекаэдра (U ₇₄ ).

Связанные многогранники

Большой перевернутый пятиугольный шестиконтаэдр.

Большой перевернутый пятиугольный шестиконтаэдр.

Тип	Звездный многогранник
Лицо
Элементы	Ф = 60, Е = 150 V = 92 (х = 2)
Группа симметрии	Я, [5,3] ⁺, 532
Ссылки на индексы	ТЕБЕ ₆₉
двойной многогранник	Большой перевернутый курносый икосододекаэдр.

Большой перевернутый пятиугольный шестигранник (или лепестоидный трисикосаэдр ) представляет собой невыпуклый изоэдрический многогранник . Он состоит из 60 вогнутых пятиугольных граней, 150 ребер и 92 вершин.

Это двойник однородного большого перевернутого курносого икосододекаэдра.

Пропорции

Обозначим золотое сечение через $\phi$ . Позволять $\xi \approx 0.252\,780\,289\,27$ быть наименьшим положительным нулем многочлена $P=8x^{3}-8x^{2}+\phi ^{-2}$ . Тогда каждая пятиугольная грань имеет четыре равных угла $\arccos(\xi )\approx 75.357\,903\,417\,42^{\circ }$ и один угол $360^{\circ }-\arccos(-\phi ^{-1}+\phi ^{-2}\xi )\approx 238.568\,386\,330\,33^{\circ }$ . Каждая грань имеет три длинных и два коротких края. Соотношение $l$ между длинами длинного и короткого ребер определяется выражением

l={\frac {2-4\xi ^{2}}{1-2\xi }}\approx 3.528\,053\,034\,81

.

Двугранный угол равен $\arccos(\xi /(\xi +1))\approx 78.359\,199\,060\,62^{\circ }$ . Часть каждой грани лежит внутри твердого тела и поэтому невидима в твердотельных моделях. Два других нуля многочлена $P$ играют аналогичную роль в описании большого пятиугольного гексеконтаэдра и большого пентаграммного гексеконтаэдра .

См. также

Ссылки

Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-54325-5 , МР 0730208 с. 126

Внешние ссылки

Эта многогранникам, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .