Ортоцентрический тетраэдр

В геометрии ортоцентрический тетраэдр — это тетраэдр , у которого все три пары противоположных ребер перпендикулярны . Он также известен как ортогональный тетраэдр, поскольку ортогональный означает перпендикулярный. Впервые он был изучен Симоном Люилье в 1782 году, а название ортоцентрический тетраэдр получил Г. де Лонгшан в 1890 году. ^[1]

В ортоцентрическом тетраэдре четыре высоты совпадают . Эта общая точка называется ортоцентром , и она обладает тем свойством, что является точкой, симметричной центру описанной сферы относительно центроида . ^[1] Следовательно, ортоцентр совпадает с точкой Монжа тетраэдра.

Характеристики

Все тетраэдры можно вписать в параллелепипед . Тетраэдр ортоцентричен тогда и только тогда, когда описанный им параллелепипед является ромбоэдром . Действительно, в любом тетраэдре пара противоположных ребер перпендикулярна тогда и только тогда, когда соответствующие грани описанного параллелепипеда являются ромбами. Если четыре грани параллелепипеда — ромбы, то все ребра имеют одинаковую длину и все шесть граней — ромбы; отсюда следует, что если две пары противоположных ребер в тетраэдре перпендикулярны, то и третья пара перпендикулярна, а тетраэдр ортоцентричен. ^[1]

Тетраэдр $ABCD$ ортоцентричен тогда и только тогда, когда сумма квадратов противоположных ребер одинакова для трех пар противоположных ребер: ^[2]^[3]

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}={\overline {AD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}.

На самом деле, чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, достаточно всего двух пар противоположных ребер, чтобы удовлетворить этому условию.

Еще одним необходимым и достаточным условием ортоцентричности тетраэдра является трех его бимедиан . равенство длин ^[3]

Объем

Характеристика ребер подразумевает, что если известны только четыре из шести ребер ортоцентрического тетраэдра, оставшиеся два можно вычислить, если они не противоположны друг другу. Следовательно, объем ортоцентрического тетраэдра можно выразить через четыре ребра a , b , c , d . Формула ^[4]

V={\frac {1}{6}}{\sqrt {4(c^{2}+d^{2})s(s-a)(s-b)(s-c)-a^{2}b^{2}c^{2}}}

где c и d — противоположные края, а $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Корт, Н. А. (октябрь 1934 г.), «Заметки об ортоцентрическом тетраэдре», American Mathematical Monthly , 41 (8): 499–502, doi : 10.2307/2300415 , JSTOR 2300415 .
^ Рейман, Иштван, «Международная математическая олимпиада: 1976–1990», Anthem Press, 2005, стр. 175–176.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хазевинкель, Михель , «Математическая энциклопедия: Приложение, Волым 3», Kluwer Academic Publishers, 1997, стр. 468.
^ Андрееску, Титу и Гелча, Разван, «Задачи математической олимпиады», Биркхойзер, второе издание, 2009 г., стр. 30-31, 159.

[Court-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Корт, Н. А. (октябрь 1934 г.), «Заметки об ортоцентрическом тетраэдре», American Mathematical Monthly , 41 (8): 499–502, doi : 10.2307/2300415 , JSTOR 2300415 .

[2] Рейман, Иштван, «Международная математическая олимпиада: 1976–1990», Anthem Press, 2005, стр. 175–176.

[Hazewinkel-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хазевинкель, Михель , «Математическая энциклопедия: Приложение, Волым 3», Kluwer Academic Publishers, 1997, стр. 468.

[Andreescu-4] Андрееску, Титу и Гелча, Разван, «Задачи математической олимпиады», Биркхойзер, второе издание, 2009 г., стр. 30-31, 159.

[1]

[2]

[3]

[4]