5-демикуб

Демипентеракт (5-демикуб)
многоугольника Петри Проекция
Тип	Равномерный 5-многогранник
Семья (Д _н )	5- демикуб
Семьи (Англ _. )	к ₂₁ многогранник 1 _k2многогранник
Коксетер символ	1 ₂₁
Шлефли символы	{3,3 ^2,1} = ч{4,3 ³} с{2,4,3,3} или ч{2}ч{4,3,3} ср{2,2,4,3} или ч{2}ч{2}ч{4,3} ч{2}ч{2}ч{2}ч{4} с{2 ^1,1,1,1} или ч{2}ч{2}ч{2}с{2}
Коксетер диаграммы	=
4-ликий	26	10 {3 ^1,1,1} 16 {3,3,3}
Клетки	120	40 {3 ^1,0,1} 80 {3,3}
Лица	160	{3}
Края	80
Вершины	16
Вертекс фигура	выпрямленный 5-клеточный
Петри многоугольник	Октагон
Симметрия	Д ₅ , [3 ^2,1,1] = [1 ⁺,4,3 ³] [2 ⁴] ⁺
Характеристики	выпуклый

В пятимерной геометрии демипентеракт — или 5-демикуб это полуправильный 5-многогранник , построенный из 5-гиперкуба ( пентеракта ) с удаленными чередующимися вершинами.

Его обнаружил Торольд Госсет . Поскольку это был единственный полуправильный 5-многогранник (состоящий из более чем одного типа правильных граней ), он назвал его 5-ным полуправильным . Э. Л. Эльте идентифицировал его в 1912 году как полуправильный многогранник, назвав его HM ₅ для 5-мерного многогранника половинной меры .

Коксетер назвал этот многогранник 1 ₂₁ из своей диаграммы Кокстера , которая имеет ветви длиной 2, 1 и 1 с кольцевым узлом на одной из коротких ветвей, и символ Шлефли $\left\{3{\begin{array}{l}3,3\\3\end{array}}\right\}$ или {3,3 ^2,1}.

Он существует в k ₂₁ семействе многогранников как 1 ₂₁ с многогранниками Госсета: 2 ₂₁ , 3 ₂₁ и 4 ₂₁ .

Граф, образованный вершинами и ребрами демипентеракта, иногда называют графом Клебша , хотя иногда это название относится к графу свернутого куба пятого порядка.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин демипентеракта с центром в начале координат и длиной ребра 2 √ 2 представляют собой чередующиеся половины пентеракта :

(±1,±1,±1,±1,±1)

с нечетным количеством знаков плюс.

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет собой 5-демикуб. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам и 4-граням. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всем 5-демикубе. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. ^[1]^[2]

Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгрупповый порядок путем удаления одного зеркала за раз. ^[3]

Д ₅	k-лицо	ж _к	ж ₀	ж ₁	f_f2	f ₃		ж ₄		к -фигура	примечания(*)
A ₄	( )	ж ₀	16	10	30	10	20	5	5	выпрямленный 5-клеточный	Д ₅ /А ₄ = 16*5!/5! = 16
А ₂ А ₁ А ₁	{ }	ж ₁	2	80	6	3	6	3	2	треугольная призма	Д ₅ /А ₂ А ₁ А ₁ = 16*5!/3!/2/2 = 80
А ₂ А ₁	{3}	f_f2	3	3	160	1	2	2	1	Равнобедренный треугольник	Д ₅ /А ₂ А ₁ = 16*5!/3!/2 = 160
А ₃ А ₁	ч{4,3}	f ₃	4	6	4	40	*	2	0	Сегмент { }	Д ₅ /А ₃ А ₁ = 16*5!/4!/2 = 40
A_А3	{3,3}	f ₃	4	6	4	*	80	1	1	Сегмент { }	Д ₅ /А ₃ = 16*5!/4! = 80
Д ₄	ч{4,3,3}	ж ₄	8	24	32	8	8	10	*	Точка ( )	Д ₅ /Д ₄ = 16*5!/8/4! = 10
A ₄	{3,3,3}	ж ₄	5	10	10	0	5	*	16	Точка ( )	Д ₅ /А ₄ = 16*5!/5! = 16

* = Количество элементов (значений диагонали) можно вычислить по порядку симметрии D _5, разделенному на порядок симметрии подгруппы с удаленными выбранными зеркалами.

Проецируемые изображения

Перспективная проекция .

Изображения

орфографические проекции
Самолет Коксетера	Б ₅
График
Двугранная симметрия	[10/2]
Самолет Коксетера	Д ₅	Д ₄
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]
Самолет Коксетера	Д ₃	A_А3
График
Двугранная симметрия	[4]	[4]

Связанные многогранники

Это часть размерного семейства однородных многогранников, называемых демигиперкубами, поскольку они являются альтернативой семейства гиперкубов .

Существует 23 однородных 5-многогранника (однородные 5-многогранники), которые могут быть построены на основе симметрии D ₅ демипентеракта, 8 из которых уникальны для этого семейства, а 15 являются общими для пентерактического семейства.

Многогранники D5
h{4,3,3,3}	h₂{4,3,3,3}	h₃{4,3,3,3}	h₄{4,3,3,3}	h_2,3{4,3,3,3}	h_2,4{4,3,3,3}	h_3,4{4,3,3,3}	h_2,3,4{4,3,3,3}

5-демикуб является третьим в размерной серии полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный однородный многогранник является вершинной фигурой предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все правильные многогранные грани, содержащие все симплексы и ортоплексы ( 5-симплексы и 5-ортоплексы в случае 5-демикуба). В обозначениях Коксетера 5-демикуб обозначен символом 1 ₂₁ .

k ₂₁ фигура в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
E_n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${\tilde {E}}_{8}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${\bar {T}}_{8}$ = E₈⁺⁺
Coxeter diagram
Symmetry	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[3^1,2,1]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Order	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	−1₂₁	0₂₁	1₂₁	2₂₁	3₂₁	4₂₁	5₂₁	6₂₁

1 _k2 фигур в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${\tilde {E}}_{8}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${\bar {T}}_{8}$ = E₈⁺⁺
Coxeter diagram
Symmetry (order)	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[3^1,2,1]	[[3^2,2,1]]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Order	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	1_−1,2	1₀₂	1₁₂	1₂₂	1₃₂	1₄₂	1₅₂	1₆₂

Ссылки

^ Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8. Конфигурации.
^ Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117
^ Клитцинг, Ричард. "x3o3o *b3o3o - хин" .

Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900 г.
ХСМ Коксетер :
- Коксетер, Правильные многогранники (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 , с. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973, стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  - (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 _n1 )
Клитцинг, Ричард. «5D однородные многогранники (политеры) x3o3o *b3o3o - hin» .

Внешние ссылки

Ольшевский, Георгий. «Демипентеракт» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
Многомерный глоссарий

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8. Конфигурации.

[2] Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117

[3] Клитцинг, Ричард. "x3o3o *b3o3o - хин" .

[1]

[2]

[3]