Оптическое уравнение

В теории чисел оптическое уравнение — это уравнение, которое требует, чтобы сумма обратных величин двух положительных целых чисел $a$ и $b$ равнялась обратной величине третьего положительного целого числа $c$ : ^[1]

{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{c}}.

Умножение обеих частей на abc показывает, что оптическое уравнение эквивалентно диофантовому уравнению ( полиномиальному уравнению с несколькими целыми переменными).

Решение

Все решения в целых числах $a, b, c$ даются через целочисленные положительные параметры $m, n, k$ следующим образом: ^[1]

$a=km(m+n),\quad b=kn(m+n),\quad c=kmn$

где $m, n$ взаимно простые .

Появления в геометрии

Оптическое уравнение, допускающее, но не требующее целочисленных решений, встречается в геометрии в нескольких контекстах .

В бицентрическом четырехугольнике вписанный радиус , радиус $r$ описанной окружности $R$ и расстояние $x$ между центром и центром описанной окружности связаны теоремой Фусса согласно формуле

{\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},

а расстояния центра I $от$ вершин $A, B, C, D$ связаны с внутренним радиусом согласно закону

{\frac {1}{IA^{2}}}+{\frac {1}{IC^{2}}}={\frac {1}{IB^{2}}}+{\frac {1}{ID^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}.

Перекрещенные лестницы. ${\tfrac {1}{h}}={\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}.$

В задаче о скрещенных лестницах , ^[2] две лестницы, закрепленные внизу вертикальных стен, пересекаются на высоте $и$ прислоняются к противоположным стенам на высотах $A$ и $B.$ h У нас есть ${\tfrac {1}{h}}={\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}.$ Более того, формула продолжает действовать, если стены наклонены и все три измерения производятся параллельно стенам.

Пусть $P —$ точка на описанной окружности △ равностороннего треугольника $ABC на$ малой дуге $AB$ . Пусть $a$ — расстояние от $P$ до $A,$ b $—$ расстояние от $P$ до $B.$ а На прямой, проходящей через $P$ и дальнюю вершину $C$ , пусть $c$ — расстояние от $P$ до стороны треугольника $AB$ . Затем ^[3]^{: с. 172} ${\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{b}}={\tfrac {1}{c}}.$

В трапеции нарисуйте отрезок, параллельный двум параллельным сторонам, проходящий через пересечение диагоналей и имеющий концы на непараллельных сторонах. Тогда, если мы обозначим длины параллельных сторон как $a$ и $b$ , а половину длины отрезка, проходящего через диагональное пересечение, как $c$ , сумма обратных величин $a$ и $b$ будет равна обратной величине $c$ . ^[4]

Особый случай, когда целые числа, обратные значения которых берутся, должны быть квадратными, возникает двояко в контексте прямоугольных треугольников . Во-первых, сумма обратных квадратов высот от катетов (что эквивалентно квадратам самих катетов) равна обратной величине квадрата высоты от гипотенузы. Это справедливо независимо от того, являются ли числа целыми числами; существует формула (см. здесь ), которая генерирует все целочисленные случаи. ^[5]^[6] Во-вторых, и в прямоугольном треугольнике сумма квадрата, обратного стороне одного из двух вписанных квадратов, и квадрата, обратного гипотенузе, равна квадрату, обратному стороне другого вписанного квадрата.

Стороны семиугольного треугольника , вершины которого совпадают с правильным семиугольником , удовлетворяют оптическому уравнению.

Другие выступления

Уравнение тонкой линзы

Для линзы пренебрежимо малой толщины и фокусного расстояния $f$ расстояния от линзы до объекта $S 1$ и от линзы до его изображения $S 2$ связаны формулой тонкой линзы :

{\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}.

Электротехника

Компоненты электрической цепи или электронной схемы могут быть соединены в так называемой последовательной или параллельной конфигурации. Например, общее сопротивления значение $R t$ двух резисторов с сопротивлениями $R 1$ и $R 2,$ соединенных параллельно, подчиняется оптическому уравнению:

{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}={\frac {1}{R_{t}}}.

Аналогично, общая индуктивность $L t$ двух катушек индуктивности с индуктивностями $L 1, L 2 ,$ соединенными параллельно, определяется выражением:

{\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}={\frac {1}{L_{t}}},

а суммарная емкость $C t$ двух конденсаторов с емкостями $C 1, C 2 ,$ соединенных последовательно, равна:

{\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}={\frac {1}{C_{t}}}.

Бумага складная

Оптическое уравнение задачи о скрещенных лестницах можно применить к складыванию прямоугольной бумаги на три равные части. Одна сторона (левая, как показано здесь) частично сложена пополам и зажата, чтобы оставить след. Пересечение линии от этой отметки до противоположного угла с диагональю составляет ровно одну треть от нижнего края. Затем верхний край можно согнуть вниз до места пересечения. ^[7]

Гармоническое среднее

гармоническое Среднее a $$ и $b$ равно ${\tfrac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}$ или $2 в$ . Другими словами, $c$ — это половина среднего гармонического значения $a$ и $b$ .

Связь с Великой теоремой Ферма

Великая теорема Ферма утверждает, что сумма двух целых чисел, каждое из которых возведено в одну и ту же целую степень $n,$ не может равняться другому целому числу, возведенному в степень $n,$ если $n > 2$ . Это означает, что никакие решения оптического уравнения не имеют всех трех целых чисел, равных совершенным степеням с одинаковой степенью $n > 2$ . Ибо если ${\tfrac {1}{x^{n}}}+{\tfrac {1}{y^{n}}}={\tfrac {1}{z^{n}}},$ затем умножив на $(xyz)^{n}$ дал бы $(yz)^{n}+(xz)^{n}=(xy)^{n},$ что невозможно по Великой теореме Ферма.

См. также

Гипотеза Эрдеша – Штрауса , другое диофантово уравнение , включающее суммы обратных целых чисел.
Суммы обратных величин
Параллельно

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Диксон, Л.Е., История теории чисел, Том II: Диофантовый анализ , Chelsea Publ. Co., 1952, стр. 688–691.
^ Гарднер, М. Математический цирк: больше головоломок, игр, парадоксов и других математических развлечений от Scientific American . Нью-Йорк: Кнопф, 1979, стр. 62–64.
^ Посаментье, Альфред С., и Салкинд, Чарльз Т., Сложные проблемы геометрии , Dover Publ., 1996.
^ GoGeometry , [1] , по состоянию на 8 июля 2012 г.
^ Воулс, Роджер (июль 1999 г.), «83.27 Целочисленные решения $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ", The Mathematical Gazette , 83 (497): 269–271, doi : 10.2307/3619056 , JSTOR 3619056.
^ Ричиник, Дженнифер (июль 2008 г.), «92.48 Перевернутая теорема Пифагора», The Mathematical Gazette , 92 (524): 313–316, doi : 10.1017/s0025557200183275 , JSTOR 27821792
^ Мейер, Дэниел; Мейер, Джанин; Мейер, Авива (март 2000 г.), «Обучение математическому мышлению с помощью оригами», Academic.Writing: Междисциплинарные перспективы коммуникации в рамках учебной программы , 1 (9), doi : 10.37514/awr-j.2000.1.9.41 ; см. в частности раздел « Деление на трети »

[Dickson-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Диксон, Л.Е., История теории чисел, Том II: Диофантовый анализ , Chelsea Publ. Co., 1952, стр. 688–691.

[2] Гарднер, М. Математический цирк: больше головоломок, игр, парадоксов и других математических развлечений от Scientific American . Нью-Йорк: Кнопф, 1979, стр. 62–64.

[Posamentier-3] Посаментье, Альфред С., и Салкинд, Чарльз Т., Сложные проблемы геометрии , Dover Publ., 1996.

[4] GoGeometry , [1] , по состоянию на 8 июля 2012 г.

[5] Воулс, Роджер (июль 1999 г.), «83.27 Целочисленные решения $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ", The Mathematical Gazette , 83 (497): 269–271, doi : 10.2307/3619056 , JSTOR 3619056.

[Richinik-6] Ричиник, Дженнифер (июль 2008 г.), «92.48 Перевернутая теорема Пифагора», The Mathematical Gazette , 92 (524): 313–316, doi : 10.1017/s0025557200183275 , JSTOR 27821792

[7] Мейер, Дэниел; Мейер, Джанин; Мейер, Авива (март 2000 г.), «Обучение математическому мышлению с помощью оригами», Academic.Writing: Междисциплинарные перспективы коммуникации в рамках учебной программы , 1 (9), doi : 10.37514/awr-j.2000.1.9.41 ; см. в частности раздел « Деление на трети »

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]