Obtuse triangle formed by the side and diagonals of a regular heptagon
Более короткие диагонали
Каждый из четырнадцати конгруэнтных семиугольных треугольников имеет одну зеленую сторону, одну синюю сторону и одну красную сторону. В евклидовой геометрии семиугольный треугольник — тупоугольный , разносторонний треугольник которого , вершины совпадают с первой, второй и четвертой вершинами правильного семиугольника (от произвольной начальной вершины). Таким образом, его стороны совпадают с одной стороной и прилегающими к ней более короткой и длинной диагоналями правильного семиугольника. Все семиугольные треугольники подобны (имеют одинаковую форму), поэтому их все вместе называют семиугольным треугольником. Его углы имеют меры π / 7 , 2 π / 7 , {\displaystyle \pi /7,2\pi /7,} 4 π / 7 , {\displaystyle 4\pi /7,}
треугольника Девятиточечный центр семиугольного также является его первой точкой Брокара . [1] : О. 12
Вторая точка Брокара лежит на девятиточечной окружности. [2] : с. 19
Центр описанной окружности и точки Ферма семиугольного треугольника образуют равносторонний треугольник . [1] : Тэм. 22
Расстояние между центром описанной окружности O и ортоцентром H определяется выражением [2] : с. 19
O H = R 2 , {\displaystyle OH=R{\sqrt {2}},} где R — радиус описанной окружности . Квадрат расстояния от центра I до ортоцентра равен [2] : с. 19
I H 2 = R 2 + 4 r 2 2 , {\displaystyle IH^{2}={\frac {R^{2}+4r^{2}}{2}},} где r — внутренний радиус .
Две касательные, проведенные от ортоцентра к описанной окружности, взаимно перпендикулярны . [2] : с. 19
Стороны семиугольного треугольника a < b < c совпадают соответственно со стороной правильного семиугольника, меньшей диагональю и большей диагональю. Они удовлетворяют [3] : Лемма 1
a 2 = c ( c − b ) , b 2 = a ( c + a ) , c 2 = b ( a + b ) , 1 a = 1 b + 1 c {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=c(c-b),\\[5pt]b^{2}&=a(c+a),\\[5pt]c^{2}&=b(a+b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\end{aligned}}} (последний [2] : с. 13 оптическим уравнением ) и, следовательно,
a b + a c = b c , {\displaystyle ab+ac=bc,} и [3] : Хор. 2
b 3 + 2 b 2 c − b c 2 − c 3 = 0 , {\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,} c 3 − 2 c 2 a − c a 2 + a 3 = 0 , {\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,} a 3 − 2 a 2 b − a b 2 + b 3 = 0. {\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0.} Таким образом, b / c , c / a и a / b удовлетворяют кубическому уравнению.
t 3 − 2 t 2 − t + 1 = 0. {\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.} Однако для решений этого уравнения не существует алгебраических выражений с чисто вещественными членами, поскольку оно является примером неприводимых причин .
Примерное соотношение сторон равно
b ≈ 1.80193 ⋅ a , c ≈ 2.24698 ⋅ a . {\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.} У нас также есть [4] [5]
a 2 b c , − b 2 c a , − c 2 a b {\displaystyle {\frac {a^{2}}{bc}},\quad -{\frac {b^{2}}{ca}},\quad -{\frac {c^{2}}{ab}}} удовлетворять кубическому уравнению
t 3 + 4 t 2 + 3 t − 1 = 0. {\displaystyle t^{3}+4t^{2}+3t-1=0.} У нас также есть [4]
a 3 b c 2 , − b 3 c a 2 , c 3 a b 2 {\displaystyle {\frac {a^{3}}{bc^{2}}},\quad -{\frac {b^{3}}{ca^{2}}},\quad {\frac {c^{3}}{ab^{2}}}} удовлетворять кубическому уравнению
t 3 − t 2 − 9 t + 1 = 0. {\displaystyle t^{3}-t^{2}-9t+1=0.} У нас также есть [4]
a 3 b 2 c , b 3 c 2 a , − c 3 a 2 b {\displaystyle {\frac {a^{3}}{b^{2}c}},\quad {\frac {b^{3}}{c^{2}a}},\quad -{\frac {c^{3}}{a^{2}b}}} удовлетворять кубическому уравнению
t 3 + 5 t 2 − 8 t + 1 = 0. {\displaystyle t^{3}+5t^{2}-8t+1=0.} У нас также есть [2] : с. 14
b 2 − a 2 = a c , {\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,} c 2 − b 2 = a b , {\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,} a 2 − c 2 = − b c , {\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,} и [2] : с. 15
b 2 a 2 + c 2 b 2 + a 2 c 2 = 5. {\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.} У нас также есть [4]
a b − b c + c a = 0 , {\displaystyle ab-bc+ca=0,} a 3 b − b 3 c + c 3 a = 0 , {\displaystyle a^{3}b-b^{3}c+c^{3}a=0,} a 4 b + b 4 c − c 4 a = 0 , {\displaystyle a^{4}b+b^{4}c-c^{4}a=0,} a 11 b 3 − b 11 c 3 + c 11 a 3 = 0. {\displaystyle a^{11}b^{3}-b^{11}c^{3}+c^{11}a^{3}=0.} Высоты ha h b h c
h a = h b + h c {\displaystyle h_{a}=h_{b}+h_{c}} [2] : с. 13 и
h a 2 + h b 2 + h c 2 = a 2 + b 2 + c 2 2 . {\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}.} [2] : с. 14 Высота со стороны b (противоположного угла B ) равна половине биссектрисы внутреннего угла. w A {\displaystyle w_{A}} А : [2] : с. 19
2 h b = w A . {\displaystyle 2h_{b}=w_{A}.} Здесь угол А — наименьший угол, а В — второй по величине.
Мы обладаем такими свойствами биссектрис внутренних углов: w A , w B , {\displaystyle w_{A},w_{B},} w C {\displaystyle w_{C}} A, B и C соответственно: [2] : с. 16
w A = b + c , {\displaystyle w_{A}=b+c,} w B = c − a , {\displaystyle w_{B}=c-a,} w C = b − a . {\displaystyle w_{C}=b-a.} Площадь треугольника равна [6]
A = 7 4 R 2 , {\displaystyle A={\frac {\sqrt {7}}{4}}R^{2},} где R треугольника — радиус описанной окружности .
У нас есть [2] : с. 12
a 2 + b 2 + c 2 = 7 R 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=7R^{2}.} У нас также есть [7]
a 4 + b 4 + c 4 = 21 R 4 . {\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=21R^{4}.} a 6 + b 6 + c 6 = 70 R 6 . {\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}=70R^{6}.} Отношение r / R к внутреннего радиуса описанному радиусу является положительным решением кубического уравнения [6]
8 x 3 + 28 x 2 + 14 x − 7 = 0. {\displaystyle 8x^{3}+28x^{2}+14x-7=0.} Кроме того, [2] : с. 15
1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 = 2 R 2 . {\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {2}{R^{2}}}.} У нас также есть [7]
1 a 4 + 1 b 4 + 1 c 4 = 2 R 4 . {\displaystyle {\frac {1}{a^{4}}}+{\frac {1}{b^{4}}}+{\frac {1}{c^{4}}}={\frac {2}{R^{4}}}.} 1 a 6 + 1 b 6 + 1 c 6 = 17 7 R 6 . {\displaystyle {\frac {1}{a^{6}}}+{\frac {1}{b^{6}}}+{\frac {1}{c^{6}}}={\frac {17}{7R^{6}}}.} В общем случае для всех целых n ,
a 2 n + b 2 n + c 2 n = g ( n ) ( 2 R ) 2 n {\displaystyle a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}=g(n)(2R)^{2n}} где
g ( − 1 ) = 8 , g ( 0 ) = 3 , g ( 1 ) = 7 {\displaystyle g(-1)=8,\quad g(0)=3,\quad g(1)=7} и
g ( n ) = 7 g ( n − 1 ) − 14 g ( n − 2 ) + 7 g ( n − 3 ) . {\displaystyle g(n)=7g(n-1)-14g(n-2)+7g(n-3).} У нас также есть [7]
2 b 2 − a 2 = 7 b R , 2 c 2 − b 2 = 7 c R , 2 a 2 − c 2 = − 7 a R . {\displaystyle 2b^{2}-a^{2}={\sqrt {7}}bR,\quad 2c^{2}-b^{2}={\sqrt {7}}cR,\quad 2a^{2}-c^{2}=-{\sqrt {7}}aR.} У нас также есть [4]
a 3 c + b 3 a − c 3 b = − 7 R 4 , {\displaystyle a^{3}c+b^{3}a-c^{3}b=-7R^{4},} a 4 c − b 4 a + c 4 b = 7 7 R 5 , {\displaystyle a^{4}c-b^{4}a+c^{4}b=7{\sqrt {7}}R^{5},} a 11 c 3 + b 11 a 3 − c 11 b 3 = − 7 3 17 R 14 . {\displaystyle a^{11}c^{3}+b^{11}a^{3}-c^{11}b^{3}=-7^{3}17R^{14}.} Эксрадиус соответствующий r a, a, равен радиусу девятиточечного круга семиугольного треугольника. [2] : с. 15
семиугольного треугольника Ортический треугольник с вершинами у подножия высот подобен семиугольному . треугольнику с коэффициентом подобия 1:2 Семиугольный треугольник — единственный тупоугольный треугольник, подобный прямоугольному треугольнику ( равносторонний ). единственный острый — [2] : стр. 12–13.
Различные тригонометрические тождества , связанные с семиугольным треугольником, включают в себя: [2] : стр. 13–14. [6] [7]
A = π 7 cos A = b 2 a B = 2 π 7 cos B = c 2 b C = 4 π 7 cos C = − a 2 c {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\pi }{7}}\\[6pt]\cos A&={\frac {b}{2a}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}B&={\frac {2\pi }{7}}\\[6pt]\cos B&={\frac {c}{2b}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}C&={\frac {4\pi }{7}}\\[6pt]\cos C&=-{\frac {a}{2c}}\end{aligned}}} [4] : Предложение 10
sin A × sin B × sin C = 7 8 sin A − sin B − sin C = − 7 2 cos A × cos B × cos C = − 1 8 tan A × tan B × tan C = − 7 tan A + tan B + tan C = − 7 cot A + cot B + cot C = 7 sin 2 A × sin 2 B × sin 2 C = 7 64 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 7 4 cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 5 4 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C = 21 sec 2 A + sec 2 B + sec 2 C = 24 csc 2 A + csc 2 B + csc 2 C = 8 cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C = 5 sin 4 A + sin 4 B + sin 4 C = 21 16 cos 4 A + cos 4 B + cos 4 C = 13 16 sec 4 A + sec 4 B + sec 4 C = 416 csc 4 A + csc 4 B + csc 4 C = 32 {\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\sin A\!&\!\times \!&\!\sin B\!&\!\times \!&\!\sin C\!&\!=\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{8}}\\[2pt]\sin A\!&\!-\!&\!\sin B\!&\!-\!&\!\sin C\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt {7}}{2}}\\[2pt]\cos A\!&\!\times \!&\!\cos B\!&\!\times \!&\!\cos C\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{8}}\\[2pt]\tan A\!&\!\times \!&\!\tan B\!&\!\times \!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan A\!&\!+\!&\!\tan B\!&\!+\!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\cot A\!&\!+\!&\!\cot B\!&\!+\!&\!\cot C\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\\[8pt]\sin ^{2}\!A\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{64}}\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{4}}\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {5}{4}}\\[2pt]\tan ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!C\!&\!=\!&\!21\\[2pt]\sec ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!C\!&\!=\!&\!24\\[2pt]\csc ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!C\!&\!=\!&\!8\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cot ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\cot ^{2}\!C\!&\!=\!&\!5\\[8pt]\sin ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {21}{16}}\\[2pt]\cos ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {13}{16}}\\[2pt]\sec ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!C\!&\!=\!&\!416\\[2pt]\csc ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!C\!&\!=\!&\!32\\[8pt]\end{array}}}
tan A − 4 sin B = − 7 tan B − 4 sin C = − 7 tan C + 4 sin A = − 7 {\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\tan A\!&\!-\!&\!4\sin B\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan B\!&\!-\!&\!4\sin C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan C\!&\!+\!&\!4\sin A\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\end{array}}} [7] [8]
cot 2 A = 1 − 2 tan C 7 cot 2 B = 1 − 2 tan A 7 cot 2 C = 1 − 2 tan B 7 {\displaystyle {\begin{aligned}\cot ^{2}\!A&=1-{\frac {2\tan C}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!B&=1-{\frac {2\tan A}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!C&=1-{\frac {2\tan B}{\sqrt {7}}}\end{aligned}}} [4]
cos A = − 1 2 + 4 7 × sin 3 C sec A = 2 + 4 × cos C sec A = 6 − 8 × sin 2 B sec A = 4 − 16 7 × sin 3 B cot A = 7 + 8 7 × sin 2 B cot A = 3 7 + 4 7 × cos B sin 2 A = 1 2 + 1 2 × cos B cos 2 A = 3 4 + 2 7 × sin 3 A cot 2 A = 3 + 8 7 × sin A sin 3 A = − 7 8 + 7 4 × cos B csc 3 A = − 6 7 + 2 7 × tan 2 C {\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\cos A\!&\!=\!&\!{\frac {-1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!C\\[2pt]\sec A\!&\!=\!&\!2\!&\!+\!&\!4\!&\!\times \!&\!\cos C\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!6\!&\!-\!&\!8\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!4\!&\!-\!&\!{\frac {16}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{4}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!A\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!=\!&\!3\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin A\\[2pt]\sin ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-{\sqrt {7}}}{8}}\!&\!+\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{4}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\csc ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-6}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\tan ^{2}\!C\end{array}}} [4]
sin A sin B − sin B sin C + sin C sin A = 0 {\displaystyle \sin A\sin B-\sin B\sin C+\sin C\sin A=0} sin 3 B sin C − sin 3 C sin A − sin 3 A sin B = 0 sin B sin 3 C − sin C sin 3 A − sin A sin 3 B = 7 2 4 sin 4 B sin C − sin 4 C sin A + sin 4 A sin B = 0 sin B sin 4 C + sin C sin 4 A − sin A sin 4 B = 7 7 2 5 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{3}\!B\sin C-\sin ^{3}\!C\sin A-\sin ^{3}\!A\sin B&=0\\[3pt]\sin B\sin ^{3}\!C-\sin C\sin ^{3}\!A-\sin A\sin ^{3}\!B&={\frac {7}{2^{4}\!}}\\[2pt]\sin ^{4}\!B\sin C-\sin ^{4}\!C\sin A+\sin ^{4}\!A\sin B&=0\\[2pt]\sin B\sin ^{4}\!C+\sin C\sin ^{4}\!A-\sin A\sin ^{4}\!B&={\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{5}}}\end{aligned}}} sin 11 B sin 3 C − sin 11 C sin 3 A − sin 11 A sin 3 B = 0 sin 3 B sin 11 C − sin 3 C sin 11 A − sin 3 A sin 11 B = 7 3 ⋅ 17 2 14 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{11}\!B\sin ^{3}\!C-\sin ^{11}\!C\sin ^{3}\!A-\sin ^{11}\!A\sin ^{3}\!B&=0\\[2pt]\sin ^{3}\!B\sin ^{11}\!C-\sin ^{3}\!C\sin ^{11}\!A-\sin ^{3}\!A\sin ^{11}\!B&={\frac {7^{3}\cdot 17}{2^{14}}}\end{aligned}}} [9]
Кубическое уравнение 64 y 3 − 112 y 2 + 56 y − 7 = 0 {\displaystyle 64y^{3}-112y^{2}+56y-7=0} [2] : с. 14 sin 2 A , sin 2 B , sin 2 C . {\displaystyle \sin ^{2}\!A,\ \sin ^{2}\!B,\ \sin ^{2}\!C.}
Положительное решение кубического уравнения x 3 + x 2 − 2 x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1=0} 2 cos B . {\displaystyle 2\cos B.} [10] : с. 186–187
Корни уравнения кубического x 3 − 7 2 x 2 + 7 8 = 0 {\displaystyle x^{3}-{\tfrac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\tfrac {\sqrt {7}}{8}}=0} [4] sin 2 A , sin 2 B , sin 2 C . {\displaystyle \sin 2A,\ \sin 2B,\ \sin 2C.}
Корни кубического уравнения x 3 − 7 2 x 2 + 7 8 = 0 {\displaystyle x^{3}-{\tfrac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\tfrac {\sqrt {7}}{8}}=0} − sin A , sin B , sin C . {\displaystyle -\sin A,\ \sin B,\ \sin C.}
Корни кубического уравнения x 3 + 1 2 x 2 − 1 2 x − 1 8 = 0 {\displaystyle x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}=0} − cos A , cos B , cos C . {\displaystyle -\cos A,\ \cos B,\ \cos C.}
Корни кубического уравнения x 3 + 7 x 2 − 7 x + 7 = 0 {\displaystyle x^{3}+{\sqrt {7}}x^{2}-7x+{\sqrt {7}}=0} tan A , tan B , tan C . {\displaystyle \tan A,\ \tan B,\ \tan C.}
Корни кубического уравнения x 3 − 21 x 2 + 35 x − 7 = 0 {\displaystyle x^{3}-21x^{2}+35x-7=0} tan 2 A , tan 2 B , tan 2 C . {\displaystyle \tan ^{2}\!A,\ \tan ^{2}\!B,\ \tan ^{2}\!C.}
Для целого числа n пусть S ( n ) = ( − sin A ) n + sin n B + sin n C C ( n ) = ( − cos A ) n + cos n B + cos n C T ( n ) = tan n A + tan n B + tan n C {\displaystyle {\begin{aligned}S(n)&=(-\sin A)^{n}+\sin ^{n}\!B+\sin ^{n}\!C\\[4pt]C(n)&=(-\cos A)^{n}+\cos ^{n}\!B+\cos ^{n}\!C\\[4pt]T(n)&=\tan ^{n}\!A+\tan ^{n}\!B+\tan ^{n}\!C\end{aligned}}}
Значение n : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 S ( n ) {\displaystyle S(n)} 3 {\displaystyle \ 3\ } 7 2 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {7}}{2}}} 7 2 2 {\displaystyle {\tfrac {7}{2^{2}}}} 7 2 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {7}}{2}}} 7 ⋅ 3 2 4 {\displaystyle {\tfrac {7\cdot 3}{2^{4}}}} 7 7 2 4 {\displaystyle {\tfrac {7{\sqrt {7}}}{2^{4}}}} 7 ⋅ 5 2 5 {\displaystyle {\tfrac {7\cdot 5}{2^{5}}}} 7 2 7 2 7 {\displaystyle {\tfrac {7^{2}{\sqrt {7}}}{2^{7}}}} 7 2 ⋅ 5 2 8 {\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 5}{2^{8}}}} 7 ⋅ 25 7 2 9 {\displaystyle {\tfrac {7\cdot 25{\sqrt {7}}}{2^{9}}}} 7 2 ⋅ 9 2 9 {\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 9}{2^{9}}}} 7 2 ⋅ 13 7 2 11 {\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 13{\sqrt {7}}}{2^{11}}}} 7 2 ⋅ 33 2 11 {\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 33}{2^{11}}}} 7 2 ⋅ 3 7 2 9 {\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{9}}}} 7 4 ⋅ 5 2 14 {\displaystyle {\tfrac {7^{4}\cdot 5}{2^{14}}}} 7 2 ⋅ 179 7 2 15 {\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 179{\sqrt {7}}}{2^{15}}}} 7 3 ⋅ 131 2 16 {\displaystyle {\tfrac {7^{3}\cdot 131}{2^{16}}}} 7 3 ⋅ 3 7 2 12 {\displaystyle {\tfrac {7^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{12}}}} 7 3 ⋅ 493 2 18 {\displaystyle {\tfrac {7^{3}\cdot 493}{2^{18}}}} 7 3 ⋅ 181 7 2 18 {\displaystyle {\tfrac {7^{3}\cdot 181{\sqrt {7}}}{2^{18}}}} 7 5 ⋅ 19 2 19 {\displaystyle {\tfrac {7^{5}\cdot 19}{2^{19}}}} S ( − n ) {\displaystyle S(-n)} 3 {\displaystyle 3} 0 {\displaystyle 0} 2 3 {\displaystyle 2^{3}} − 2 3 ⋅ 3 7 7 {\displaystyle -{\tfrac {2^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{7}}} 2 5 {\displaystyle 2^{5}} − 2 5 ⋅ 5 7 7 {\displaystyle -{\tfrac {2^{5}\cdot 5{\sqrt {7}}}{7}}} 2 6 ⋅ 17 7 {\displaystyle {\tfrac {2^{6}\cdot 17}{7}}} − 2 7 7 {\displaystyle -2^{7}{\sqrt {7}}} 2 9 ⋅ 11 7 {\displaystyle {\tfrac {2^{9}\cdot 11}{7}}} − 2 10 ⋅ 33 7 7 2 {\displaystyle -{\tfrac {2^{10}\cdot 33{\sqrt {7}}}{7^{2}}}} 2 10 ⋅ 29 7 {\displaystyle {\tfrac {2^{10}\cdot 29}{7}}} − 2 14 ⋅ 11 7 7 2 {\displaystyle -{\tfrac {2^{14}\cdot 11{\sqrt {7}}}{7^{2}}}} 2 12 ⋅ 269 7 2 {\displaystyle {\tfrac {2^{12}\cdot 269}{7^{2}}}} − 2 13 ⋅ 117 7 7 2 {\displaystyle -{\tfrac {2^{13}\cdot 117{\sqrt {7}}}{7^{2}}}} 2 14 ⋅ 51 7 {\displaystyle {\tfrac {2^{14}\cdot 51}{7}}} − 2 21 ⋅ 17 7 7 3 {\displaystyle -{\tfrac {2^{21}\cdot 17{\sqrt {7}}}{7^{3}}}} 2 17 ⋅ 237 7 2 {\displaystyle {\tfrac {2^{17}\cdot 237}{7^{2}}}} − 2 17 ⋅ 1445 7 7 3 {\displaystyle -{\tfrac {2^{17}\cdot 1445{\sqrt {7}}}{7^{3}}}} 2 19 ⋅ 2203 7 3 {\displaystyle {\tfrac {2^{19}\cdot 2203}{7^{3}}}} − 2 19 ⋅ 1919 7 7 3 {\displaystyle -{\tfrac {2^{19}\cdot 1919{\sqrt {7}}}{7^{3}}}} 2 20 ⋅ 5851 7 3 {\displaystyle {\tfrac {2^{20}\cdot 5851}{7^{3}}}} C ( n ) {\displaystyle C(n)} 3 {\displaystyle 3} − 1 2 {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}} 5 4 {\displaystyle {\tfrac {5}{4}}} − 1 2 {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}} 13 16 {\displaystyle {\tfrac {13}{16}}} − 1 2 {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}} 19 32 {\displaystyle {\tfrac {19}{32}}} − 57 128 {\displaystyle -{\tfrac {57}{128}}} 117 256 {\displaystyle {\tfrac {117}{256}}} − 193 512 {\displaystyle -{\tfrac {193}{512}}} 185 512 {\displaystyle {\tfrac {185}{512}}} C ( − n ) {\displaystyle C(-n)} 3 {\displaystyle 3} − 4 {\displaystyle -4} 24 {\displaystyle 24} − 88 {\displaystyle -88} 416 {\displaystyle 416} − 1824 {\displaystyle -1824} 8256 {\displaystyle 8256} − 36992 {\displaystyle -36992} 166400 {\displaystyle 166400} − 747520 {\displaystyle -747520} 3359744 {\displaystyle 3359744} T ( n ) {\displaystyle T(n)} 3 {\displaystyle 3} − 7 {\displaystyle -{\sqrt {7}}} 7 ⋅ 3 {\displaystyle 7\cdot 3} − 31 7 {\displaystyle -31{\sqrt {7}}} 7 ⋅ 53 {\displaystyle 7\cdot 53} − 7 ⋅ 87 7 {\displaystyle -7\cdot 87{\sqrt {7}}} 7 ⋅ 1011 {\displaystyle 7\cdot 1011} − 7 2 ⋅ 239 7 {\displaystyle -7^{2}\cdot 239{\sqrt {7}}} 7 2 ⋅ 2771 {\displaystyle 7^{2}\cdot 2771} − 7 ⋅ 32119 7 {\displaystyle -7\cdot 32119{\sqrt {7}}} 7 2 ⋅ 53189 {\displaystyle 7^{2}\cdot 53189} T ( − n ) {\displaystyle T(-n)} 3 {\displaystyle 3} 7 {\displaystyle {\sqrt {7}}} 5 {\displaystyle 5} 25 7 7 {\displaystyle {\tfrac {25{\sqrt {7}}}{7}}} 19 {\displaystyle 19} 103 7 7 {\displaystyle {\tfrac {103{\sqrt {7}}}{7}}} 563 7 {\displaystyle {\tfrac {563}{7}}} 7 ⋅ 9 7 {\displaystyle 7\cdot 9{\sqrt {7}}} 2421 7 {\displaystyle {\tfrac {2421}{7}}} 13297 7 7 2 {\displaystyle {\tfrac {13297{\sqrt {7}}}{7^{2}}}} 10435 7 {\displaystyle {\tfrac {10435}{7}}}
У нас также есть личности типа Рамануджана, [7] [11]
2 sin 2 A 3 + 2 sin 2 B 3 + 2 sin 2 C 3 = − 7 18 × − 7 3 + 6 + 3 ( 5 − 3 7 3 3 + 4 − 3 7 3 3 ) 3 2 sin 2 A 3 + 2 sin 2 B 3 + 2 sin 2 C 3 = − 7 18 × − 7 3 + 6 + 3 ( 5 − 3 7 3 3 + 4 − 3 7 3 3 ) 3 4 sin 2 2 A 3 + 4 sin 2 2 B 3 + 4 sin 2 2 C 3 = 49 18 × 49 3 + 6 + 3 ( 12 + 3 ( 49 3 + 2 7 3 ) 3 + 11 + 3 ( 49 3 + 2 7 3 ) 3 ) 3 2 cos 2 A 3 + 2 cos 2 B 3 + 2 cos 2 C 3 = 5 − 3 7 3 3 4 cos 2 2 A 3 + 4 cos 2 2 B 3 + 4 cos 2 2 C 3 = 11 + 3 ( 2 7 3 + 49 3 ) 3 tan 2 A 3 + tan 2 B 3 + tan 2 C 3 = − 7 18 × 7 3 + 6 + 3 ( 5 + 3 ( 7 3 − 49 3 ) 3 + − 3 + 3 ( 7 3 − 49 3 ) 3 ) 3 tan 2 2 A 3 + tan 2 2 B 3 + tan 2 2 C 3 = 49 18 × 3 49 3 + 6 + 3 ( 89 + 3 ( 3 49 3 + 5 7 3 ) 3 + 25 + 3 ( 3 49 3 + 5 7 3 ) 3 ) 3 {\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[8pt]{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{11+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}
1 2 sin 2 A 3 + 1 2 sin 2 B 3 + 1 2 sin 2 C 3 = − 1 7 18 × 6 + 3 ( 5 − 3 7 3 3 + 4 − 3 7 3 3 ) 3 1 4 sin 2 2 A 3 + 1 4 sin 2 2 B 3 + 1 4 sin 2 2 C 3 = 1 49 18 × 2 7 3 + 6 + 3 ( 12 + 3 ( 49 3 + 2 7 3 ) 3 + 11 + 3 ( 49 3 + 2 7 3 ) 3 ) 3 1 2 cos 2 A 3 + 1 2 cos 2 B 3 + 1 2 cos 2 C 3 = 4 − 3 7 3 3 1 4 cos 2 2 A 3 + 1 4 cos 2 2 B 3 + 1 4 cos 2 2 C 3 = 12 + 3 ( 2 7 3 + 49 3 ) 3 1 tan 2 A 3 + 1 tan 2 B 3 + 1 tan 2 C 3 = − 1 7 18 × − 49 3 + 6 + 3 ( 5 + 3 ( 7 3 − 49 3 ) 3 + − 3 + 3 ( 7 3 − 49 3 ) 3 ) 3 1 tan 2 2 A 3 + 1 tan 2 2 B 3 + 1 tan 2 2 C 3 = 1 49 18 × 5 7 3 + 6 + 3 ( 89 + 3 ( 3 49 3 + 5 7 3 ) 3 + 25 + 3 ( 3 49 3 + 5 7 3 ) 3 ) 3 {\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}
cos 2 A cos 2 B 3 + cos 2 B cos 2 C 3 + cos 2 C cos 2 A 3 = − 7 3 cos 2 B cos 2 A 3 + cos 2 C cos 2 B 3 + cos 2 A cos 2 C 3 = 0 cos 4 2 B cos 2 A 3 + cos 4 2 C cos 2 B 3 + cos 4 2 A cos 2 C 3 = − 49 3 2 cos 5 2 A cos 2 2 B 3 + cos 5 2 B cos 2 2 C 3 + cos 5 2 C cos 2 2 A 3 = 0 cos 5 2 B cos 2 2 A 3 + cos 5 2 C cos 2 2 B 3 + cos 5 2 A cos 2 2 C 3 = − 3 × 7 3 2 cos 14 2 A cos 5 2 B 3 + cos 14 2 B cos 5 2 C 3 + cos 14 2 C cos 5 2 A 3 = 0 cos 14 2 B cos 5 2 A 3 + cos 14 2 C cos 5 2 B 3 + cos 14 2 A cos 5 2 C 3 = − 61 × 7 3 8 . {\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2A}}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{3}]{7}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt[{3}]{49}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!-3\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!=\!&\!-61\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{8}}.\end{array}}} [9]
{\displaystyle }
^ Jump up to: Перейти обратно: а б Пол Ю, «Семиугольные треугольники и их спутники», Forum Geometricorum http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200912.pdf ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж к л м н тот п д Леон Банкофф и Джек Гарфанкел, «Семиугольный треугольник», Mathematics Magazine ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Абдилкадир Алтинтас, «Некоторые коллинеарности в семиугольном треугольнике», Forum Geometricorum http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г час я Ван, Кай. «Семиугольный треугольник и тригонометрические тождества», Forum Geometricorum 19, 2019, 29–38. ^ Ван, Кай. https://www.researchgate.net/publication/335392159_On_cubic_equations_with_zero_sums_of_cubic_roots_of_roots ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Вайсштейн, Эрик В. «Семиугольный треугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HeptagonalTriangle.html ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж Ван, Кай https://www.researchgate.net/publication/327825153_Trigonometric_Properties_For_Heptagonal_Triangle . ^ Виктор Гюго Молл , Элементарное тригонометрическое уравнение, https://arxiv.org/abs/0709.3755 , 2007 г. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Ван, Кай. https://www.researchgate.net/publication/336813631_Topics_of_Ramanujan_type_identities_for_PI7 ^ Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. дои : 10.2307/2323624 . Архивировано из оригинала (PDF) 19 декабря 2015 г. ^ Роман Витула и Дамиан Слота, Новые формулы типа Рамануджана и числа квазифибоначчи порядка 7, Журнал целочисленных последовательностей, Vol. 10 (2007). 
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=c(cb),\\[5pt]b^{2}&=a(c+a),\\[5pt]c^{2} &=b(a+b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\end{ выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63107bd555aab31d4dbd45b3bea63fcb044aeb43)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\pi }{7}}\\[6pt]\cos A&={\frac {b}{2a}}\end{aligned}}\quad { \begin{aligned}B&={\frac {2\pi }{7}}\\[6pt]\cos B&={\frac {c}{2b}}\end{aligned}}\quad {\begin{ выравнивается}C&={\frac {4\pi }{7}}\\[6pt]\cos C&=-{\frac {a}{2c}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95dd39d97a0beffeae6cda91521c6eca64ade86a)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\sin A\!&\!\times \!&\!\sin B\!&\!\times \!&\!\sin C\!&\! =\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{8}}\\[2pt]\sin A\!&\!-\!&\!\sin B\!&\!-\! &\!\sin C\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt {7}}{2}}\\[2pt]\cos A\!&\!\times \!& \!\cos B\!&\!\times \!&\!\cos C\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{8}}\\[2pt]\tan A \!&\!\times \!&\!\tan B\!&\!\times \!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\ \[2pt]\from A\!&\!+\!&\!\from B\!&\!+\!&\!\from C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\кроватка A\!&\!+\!&\!\кроватка B\!&\!+\!&\!\кроватка C\!&\!=\!&\ !{\sqrt {7}}\\[8pt]\sin ^{2}\!A\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{64}}\\[2pt]\sin ^{2}\!A\ !&\!+\!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\! {\frac {7}{4}}\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!B\!&\!+ \!&\!\cos ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {5}{4}}\\[2pt]\tan ^{2}\!A\ !&\!+\!&\!\tan ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!C\!&\!=\!&\! 21\\[2pt]\sec ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{ 2}\!C\!&\!=\!&\!24\\[2pt]\csc ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\! B\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!C\!&\!=\!&\!8\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!& \!+\!&\!\кроватка ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\кроватка ^{2}\!C\!&\!=\!&\!5\ \[8pt]\sin ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{4} \!C\!&\!=\!&\!{\frac {21}{16}}\\[2pt]\cos ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\ cos ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {13}{16}}\ \[2pt]\sec ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{4} \!C\!&\!=\!&\!416\\[2pt]\csc ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!B\ !&\!+\!&\!\csc ^{4}\!C\!&\!=\!&\!32\\[8pt]\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11372d01f064a3ac9ffba8d9f82ccf67392e62ed)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\from A\!&\!-\!&\!4\sin B\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\ \[2pt]\tan B\!&\!-\!&\!4\sin C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan C\ !&\!+\!&\!4\sin A\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81c6d96fd69af254e9ce675fad313b333fd7904)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cot ^{2}\!A&=1-{\frac {2\tan C}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\ !B&=1-{\frac {2\tan A}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!C&=1-{\frac {2\tan B}{\ sqrt {7}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50839aa6272436a1b2888172a7c95235431e7688)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\cos A\!&\!=\!&\!{\frac {-1}{2}}\!&\!+\!&\!{\ frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!C\\[2pt]\sec A\!&\!=\!& \!2\!&\!+\!&\!4\!&\!\times \!&\!\cos C\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!6 \!&\!-\!&\!8\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[4pt]\sec A\!&\!=\!& \!4\!&\!-\!&\!{\frac {16}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!B\ \[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}} \!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{\sqrt { 7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\ sin ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{2}} \!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{4}} \!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!A\\[2pt ]\cot ^{2}\!A\!&\!=\!&\!3\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!& \!\times \!&\!\sin A\\[2pt]\sin ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-{\sqrt {7}}} {8}}\!&\!+\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{4}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\ csc ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-6}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {2 }{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\tan ^{2}\!C\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36fe1e7d4ad29454a0aa79868851380c420711c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{3}\!B\sin C-\sin ^{3}\!C\sin A-\sin ^{3}\!A\sin B&=0\ \[3pt]\sin B\sin ^{3}\!C-\sin C\sin ^{3}\!A-\sin A\sin ^{3}\!B&={\frac {7}{ 2^{4}\!}}\\[2pt]\sin ^{4}\!B\sin C-\sin ^{4}\!C\sin A+\sin ^{4}\!A\sin B&=0\\[2pt]\sin B\sin ^{4}\!C+\sin C\sin ^{4}\!A-\sin A\sin ^{4}\!B&={\frac { 7{\sqrt {7}}}{2^{5}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313eecf9c55707e7d80590c5350d7c1c461b8b1d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{11}\!B\sin ^{3}\!C-\sin ^{11}\!C\sin ^{3}\!A-\sin ^ {11}\!A\sin ^{3}\!B&=0\\[2pt]\sin ^{3}\!B\sin ^{11}\!C-\sin ^{3}\!C \sin ^{11}\!A-\sin ^{3}\!A\sin ^{11}\!B&={\frac {7^{3}\cdot 17}{2^{14}}} \end{выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ff05b82052d8332beefe762209d7d4e1f67d72)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S(n)&=(-\sin A)^{n}+\sin ^{n}\!B+\sin ^{n}\!C\\[4pt]C (n)&=(-\cos A)^{n}+\cos ^{n}\!B+\cos ^{n}\!C\\[4pt]T(n)&=\tan ^{n }\!A+\tan ^{n}\!B+\tan ^{n}\!C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30746680912c548893246cbf950126c4bed81f68)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}} \!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{ 7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[ {3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt [{3}]{2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{ \sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{- {\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[ {3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A} }\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}] {4\sin ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{ 3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{ 7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\ right)}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}} \!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{5-3{ \sqrt[{3}]{7}}}}\\[8pt]{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\ sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}\!& \!=\!&\!{\sqrt[{3}]{11+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}} \\[6pt]{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}\!&\!+ \!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{ 3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{ \sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}] {49}})}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[ {3}]{\tan ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}\!&\!=\ !&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt [{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{ 25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810c85d0d2d0261c86d4ad110e55c03d4310c4f0)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1 }{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}} \!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{6+3\left({\ sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}} }\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\ frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{ 4\sin ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3} ]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{ \sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}] {7}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}}\!&\!+\!&\! {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\ потому что 2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4 \cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}}\!& \!=\!&\!{\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}} \\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3} ]{\tan 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}}\!&\!=\!&\ !-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\ left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3 }]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac { 1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^ {2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}}\!&\!=\ !&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}}+6+ 3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\ sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092ce3486cbd674aa014182b557e6dbbd0a058b9)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[ {3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2A }}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{3}]{7}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\ cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\! {\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\ frac {\cos ^{4}2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2C}{\ cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\ !&\!-{\frac {\sqrt[{3}]{49}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{ \cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2C} }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!= \!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\! &\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{ 3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!-3\times {\frac {\sqrt[{3 }]{7}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2B}}}\!&\ !+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!+\!&\!{ \sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt [{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A }{\cos ^{5}2C}}}\!&\!=\!&\!-61\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{8}}.\end{ множество}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9537ae68fa934954aeb5597d1f2df4209374a8a8)
