Неприводимый случай

В алгебре корней casus reducibilis (от латинского «неприводимый случай») — один из случаев, который может возникнуть при решении многочленов степени 3 и выше с целыми коэффициентами алгебраическим (в отличие от численного) способом, т. е. путем получения , выражаемых через радикалы . Он показывает, что многие алгебраические числа имеют действительные значения, но не могут быть выражены в радикалах без введения комплексных чисел . Наиболее примечательным случаем casus reducibilis является случай кубических многочленов, имеющих три действительных корня, что было доказано Пьером Ванцелем в 1843 году. ^[1]Можно увидеть, находится ли данный кубический многочлен в так называемом casus reducibilis, взглянув на дискриминант с помощью формулы Кардано . ^[2]

Три случая дискриминанта

Позволять

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

быть кубическим уравнением с $a\neq 0$ . Тогда дискриминант определяется выражением

D:={\bigl (}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3}){\bigr )}^{2}=18abcd-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-4b^{3}d~.

Он появляется в алгебраическом решении и представляет собой квадрат произведения

\Delta :=\prod _{j<k}(x_{j}-x_{k})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})\qquad \qquad {\bigl (}\!=\pm {\sqrt {D}}{\bigr )}

принадлежащий ${\tbinom {3}{2}}=3$ различия трех корней $x_{1},x_{2},x_{3}$ . ^[3]

Если $D < 0$ , то полином имеет один вещественный корень и два комплексных невещественных корня. $\Delta \in i\mathbb {R} ^{\times }$ является чисто воображаемым.
Хотя существуют кубические многочлены с отрицательным дискриминантом, которые являются неприводимыми в современном смысле, casus неприводимый не применяется. ^[4]
Если $D = 0$ , то $\Delta =0$ и действительных корней три; два из них равны. Можно ли $D = 0$ узнать по алгоритму Евклида , и если да, то корни по квадратичной формуле . Более того, все корни реальны и выражаются реальными радикалами.
Все кубические многочлены с нулевым дискриминантом приводимы.
Если $Д > 0$ , то $\Delta \in \mathbb {R} ^{\times }$ ненулевое и действительное, и существует три различных действительных корня, которые являются суммами двух комплексно-сопряженных чисел .
Поскольку для выражения их в радикалах требуются комплексные числа (в понимании того времени: кубические корни из недействительных чисел, т. е. из квадратных корней из отрицательных чисел), этот случай в XVI веке получил название casus reducibilis . ^[5]

Официальное заявление и доказательство

В более общем смысле, предположим, что $F$ — формально вещественное поле , и что $p (x) \in F [x]$ кубический многочлен, неприводимый над $F$ , но имеющий три вещественных корня (корни в вещественном замыкании F $—$ ). Тогда casus нередуцируемый что невозможно выразить решение задачи $p (x) = 0$ через радикалы с подкоренными числами $\in F.$ утверждает ,

Чтобы доказать это, ^[6] заметим, что дискриминант $D$ положителен. Сформируйте расширение поля $F (\sqrt D) = F (∆)$ . Поскольку это $F$ или квадратичное расширение F $(в зависимости$ от того, является ли $D$ квадратом в $F$ ), $p (x)$ остается в нем неприводимым. , группа Галуа p $(x) над$ F $(\sqrtD) является Следовательно$ циклической $C3 группой$ . Предположим, что $p (x) = 0$ можно решить вещественными радикалами. Тогда $p (x)$ можно разбить башней циклических расширений

F\subset F({\sqrt {D}})\subset F({\sqrt {D}},{\sqrt[{p_{1}}]{\alpha _{1}}})\subset \cdots \subset K\subset K({\sqrt[{3}]{\alpha }})

На последнем шаге башни $p (x)$ неприводимо в предпоследнем поле $K$ , но расщепляется в $K (3 \sqrt α)$ для некоторого $α$ . Но это циклическое расширение поля, поэтому оно должно сопряженное содержать $3 \sqrt α$ и, следовательно, примитивный корень третьей степени из единицы .

Однако в реальном замкнутом поле нет примитивных корней 3-й степени из единицы. Предположим, что ω — примитивный корень третьей степени из единицы. Тогда по аксиомам, определяющим упорядоченное поле , ω и ω ² оба положительны, потому что в противном случае их куб (=1) был бы отрицательным. Но если ω ²>ω, то возведение обеих частей в куб дает 1>1, противоречие; аналогично, если ω>ω ².

Решение в нереальных радикалах

Решение Кардано

Уравнение $ax 3 + бх 2 + cx + d = 0$ можно преобразовать в монический трехчлен путем деления на $a$ и подставив $x = t − .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ b / 3 a ⁠$ ( преобразование Чирнхауза ), дающее уравнение $t 3 + pt + q = 0$ где

p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}

q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Тогда, независимо от количества действительных корней, согласно решению Кардано три корня имеют вид

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}

где $\omega _{k}$ ( k =1, 2, 3) является кубическим корнем из 1 ( $\omega _{1}=1$ , $\omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ , и $\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ , где $i$ — мнимая единица ). Здесь, если подкоренные под кубическими корнями недействительны, кубические корни, выраженные радикалами, определяются как любая пара комплексно-сопряженных кубических корней, а если они вещественные, эти кубические корни определяются как действительные кубические корни.

Casus нередуцируемый возникает, когда ни один из корней не является рациональным и когда все три корня различны и реальны; случай трех различных действительных корней имеет место тогда и только тогда, когда $⁠ q 2 / 4 ⁠ + ⁠ p 3 / 27 ⁠ < 0$ , и в этом случае формула Кардано предполагает сначала извлечение квадратного корня из отрицательного числа, которое является мнимым , а затем извлечение кубического корня из комплексного числа (сам кубический корень не может быть помещен в форму $α + βi$ с конкретно заданными выражениями в действительных радикалах для $α$ и $β$ , поскольку для этого потребовалось бы независимое решение исходной кубики). Даже в приводимом случае, когда один из трех действительных корней рационален и, следовательно, может быть вынесен на множитель полиномиальным делением в длину , формула Кардано (в данном случае излишне) выражает этот корень (и другие) через невещественные радикалы.

Пример

Кубическое уравнение

2x^{3}-9x^{2}-6x+3=0

неприводимо, потому что, если бы его можно было факторизовать, существовал бы линейный фактор, дающий рациональное решение, в то время как ни один из возможных корней, полученных в результате проверки рационального корня, на самом деле не является корнями. Поскольку его дискриминант положителен, он имеет три действительных корня, поэтому это пример casus unducibilis. Эти корни можно выразить как

t_{k}={\frac {3-\omega _{k}{\sqrt[{3}]{39-26i}}-\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{39+26i}}}{2}}

для $k\in \left\{1,2,3\right\}$ . Решения находятся в радикалах и включают кубические корни комплексно-сопряженных чисел.

Тригонометрическое решение в действительных величинах

Хотя casus reducibilis не может быть решен в радикалах в терминах действительных величин, его можно решить тригонометрически в терминах действительных величин. ^[7] В частности, депрессивное моническое кубическое уравнение $t^{3}+pt+q=0$ решается

t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right]\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.

Эти решения выражены в действительных величинах тогда и только тогда, когда ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0$ — т. е. тогда и только тогда, когда имеется три вещественных корня. Формула предполагает начало с угла, косинус которого известен, разделение угла на три части путем умножения его на 1/3, взятие косинуса полученного угла и корректировку масштаба.

Хотя косинус и его обратная функция (аркосинус) являются трансцендентными функциями , это решение является алгебраическим в том смысле, что $\cos \left[\arccos \left(x\right)/3\right]$ — алгебраическая функция , эквивалентная трисекции угла .

Связь с трисекцией угла

Различие между приводимыми и неприводимыми кубическими случаями с тремя действительными корнями связано с вопросом о том, является ли угол трисекционным с помощью классических средств циркуля и немаркированной линейки . Для любого угла $θ$ одна треть этого угла имеет косинус, который является одним из трех решений уравнения

4x^{3}-3x-\cos(\theta )=0.

Так же, $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}θ ⁄ 3$ имеет синус, который является одним из трех действительных решений уравнения.

4y^{3}-3y+\sin(\theta )=0.

В любом случае, если тест на рациональный корень выявляет рациональное решение, $x$ или $y$ минус этот корень можно вынести из многочлена в левой части, оставив квадратное уравнение, которое можно решить для оставшихся двух корней в терминах квадратного корня. ; тогда все эти корни классически конструктивны, поскольку они выражаются не выше, чем через квадратные корни, поэтому, в частности, $cos(θ ⁄ 3)$ или $грех(θ ⁄ 3)$ является конструктивным, как и соответствующий угол. $θ ⁄ 3$ . С другой стороны, если критерий рационального корня показывает, что рационального корня нет, то casus нередуцируемый применяется $, cos(θ ⁄ 3)$ или $грех(θ ⁄ 3)$ неконструируема, угол $θ ⁄ 3$ не является конструктивным, а угол $θ$ не является классически трисекционным.

Например, угол 180° можно разделить на три угла по 60°, а угол 60° нельзя разделить на три части только с помощью циркуля и линейки. Используя формулы тройного угла, можно увидеть, что $cos π ⁠ / 3 = 4 х 3 - 3 x$ , где $x = cos(20°)$ . Перестановка дает $8 х 3 - 6 x - 1 = 0$ , что не соответствует критерию рационального корня, поскольку ни одно из рациональных чисел, предложенных теоремой, на самом деле не является корнем. Следовательно, минимальный многочлен $cos(20°)$ имеет степень 3, тогда как степень минимального многочлена любого конструктивного числа должна быть степенью двойки.

Выражение $cos(20°)$ в радикалах приводит к

\cos \left({\frac {\pi }{9}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{1-i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1+i{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}

который предполагает извлечение кубического корня из комплексных чисел. Обратите внимание на сходство с $e яπ /3 = ⁠ 1+ я \sqrt 3/2 ⁠ $ и $е -iπ /3 = ⁠ 1- i \sqrt 3 / 2 ⁠$ .

Связь между рациональными корнями и трисекциональностью можно распространить и на некоторые случаи, когда синус и косинус данного угла иррациональны. Рассмотрим в качестве примера случай, когда данный угол $θ$ является углом при вершине правильного пятиугольника, многоугольника, который можно построить классическим способом. Для этого угла $5θ/3$ равно 180°, и тогда стандартные тригонометрические тождества дают

\cos(\theta )+\cos(\theta /3)=2\cos(\theta /3)\cos(2\theta /3)=-2\cos(\theta /3)\cos(\theta )

таким образом

\cos(\theta /3)=-\cos(\theta )/(1+2\cos(\theta )).

Косинус трисекции угла представляется как рациональное выражение через косинус данного угла, поэтому угол при вершине правильного пятиугольника можно разделить на три части (механически, просто нарисовав диагональ).

Обобщение

Casus reducibilis можно обобщить до полиномов более высокой степени следующим образом. Пусть $p \in F [x]$ — неприводимый многочлен, который распадается в формально вещественном расширении $R$ F $p$ (т. е. $.$ имеет только вещественные корни) Предположим, что $p$ имеет корень в $K\subseteq R$ которое является расширением $F$ радикалами. Тогда степень $p$ является степенью 2, а его поле расщепления является итерированным квадратичным расширением $F$ . ^[8]^[9]^{: 571–572}

Таким образом, для любого неприводимого многочлена, степень которого не является степенью 2 и у которого все корни действительны, ни один корень не может быть выражен чисто через вещественные радикалы, т.е. это casus неприводимый в смысле (16-го века) этой статьи. Более того, если степень многочлена представляет собой степень двойки и все корни действительны, то, если существует корень, который можно выразить в вещественных радикалах, его можно выразить через квадратные корни, а не через корни более высокой степени, как это может сделать другие корни, и поэтому корни классически конструируемы .

Casus reducibilis для многочленов пятой степени обсуждается Даммитом. ^[10]^: 17

Отношение к углу пентасекции (квинтиссекции) и выше

Различие между приводимыми и неприводимыми случаями пятой степени с пятью действительными корнями связано с вопросом о том, является ли угол с рациональным косинусом или рациональным синусом пятисекционным (может быть разделен на пять равных частей) классическими средствами циркуля и немаркированных линейка. Для любого угла $θ$ одна пятая этого угла имеет косинус, который является одним из пяти действительных корней уравнения

16x^{5}-20x^{3}+5x-\cos(\theta )=0.

Так же, $⁠ θ / 5 ⁠$ имеет синус, который является одним из пяти действительных корней уравнения

16y^{5}-20y^{3}+5y-\sin(\theta )=0.

В любом случае, если тест на рациональный корень дает рациональный корень , _x1 то квинтика приводима, поскольку ее можно записать как множитель ( x—x1 ₎ , умноженный на полином четвертой степени . Но если тест показывает, что рационального корня нет, то многочлен может быть неприводимым, и в этом случае casus неприводимый применяется $, cos(θ ⁄ 5)$ и $грех(θ ⁄ 5)$ неконструктивны, угол $θ ⁄ 5$ не является конструктивным, а угол $θ$ не является классически пятисекционным. Примером этого является попытка построить 25-угольник (икосипентагон) с помощью циркуля и линейки. Хотя пятиугольник построить относительно легко, для 25-угольника требуется пятиугольник угла, поскольку минимальный многочлен для $cos(14,4°)$ имеет степень 10:

{\begin{aligned}\cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right)&={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\\16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}&=0\qquad \qquad x=\cos \left({\frac {2\pi }{25}}\right)\\4\left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)&=0\\4\left(16x^{5}-20x^{3}+5x\right)^{2}+2\left(16x^{5}-20x^{3}+5x\right)-1&=0\\1024x^{10}-2560x^{8}+2240x^{6}+32x^{5}-800x^{4}-40x^{3}+100x^{2}+10x-1&=0.\end{aligned}}

Таким образом,

{\begin{aligned}e^{2\pi i/5}&={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}+{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i\\e^{-2\pi i/5}&={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}-{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i\\\cos \left({\frac {2\pi }{25}}\right)&={\frac {{\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {5}}-i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}{2{\sqrt[{5}]{4}}}}.\end{aligned}}

Примечания

^ Ванцель, Пьер (1843), «Классификация несоизмеримых чисел алгебраического происхождения» (PDF) , Nouvelles Annales de Mathématiques (на французском языке), 2 : 117–127
^ Кокс (2012) , Теорема 1.3.1, с. 15.
^ $\Delta$ тесно связан с полиномом Вандермонда .
^ Полином $x^{3}+x+1$ с дискриминантом $D = -31 < 0$ легко увидеть, что он неприводим, поскольку согласно теореме о рациональном корне он должен был бы иметь корни $\in \{-1,1\}$ которого у него нет.

^ Джеймс Пирпонт в «Анналах математики 1900-1901», стр. 42: «Для Кардана и его современников, которые понятия не имели, как можно найти такие кубические корни, этот случай был в высшей степени парадоксальным. С тех пор математики пытались представить эти действительные корни как суммы реальных радикалов. Поскольку их усилия не увенчались успехом, случай, когда D > 0, был известен как casus нередуцируемый».
Артур Экерт Сложный и непредсказуемый Кардано берет пример с Кардано

x^{3}-15x-4=0

имея

{\textstyle q^{2}/4+p^{3}/27=(-4)^{2}/4+(-15)^{3}/27=-121<0}

и пишет на стр. 9: «Кардано знал, что

x=4

было одним из решений, и тем не менее, это был casus нередуцируемый ». Это показывает, что в XVI веке слово «irreducibilis» должно было означать что-то вроде «не сводимое к настоящим радикалам».
С другой стороны, пример Кардано можно использовать, чтобы показать, как вещественные корни могут возникать из кубических корней недействительных чисел:

У нас есть	$p=-15,\;q=-4$ ,
что дает	$d:={q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}=-121$ ,
откуда	$-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {d}}=2\pm 11\,i$ .
В 16 веке было трудно («verè sophistica») найти такое
	${\sqrt[{3}]{2+11^{\color {white};}i}}=2+i=:u$
и	${\sqrt[{3}]{2-11^{\color {white};}i}}=2-i=:v$ ,
так что	$t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$
	$=\omega _{k}u+\omega _{k}^{2}v$ .
Это означает в деталях:
1-й корень	$t_{1}=\omega _{1}u+\omega _{1}^{2}v$
	$=1\cdot (2+i)+1\cdot (2-i)$
	$=4$ ,
2-й корень	$t_{2}=\omega _{2}u+\omega _{2}^{2}v$
	$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)+{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$
	$=-2-{\sqrt {3}}$ ,
3-й корень	$t_{3}=\omega _{3}u+\omega _{3}^{2}v$
	$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)+{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$
	$=-2+{\sqrt {3}}$ .

Можно заметить, что ${\textstyle d:=q^{2}/4+p^{3}/27=-121}$ это не дискриминант $D$ ; это $D=-108\,d=13068=2^{2}3^{3}11^{2}$ с перевернутым знаком. Интересно ${\textstyle {\sqrt {d}}=i{\sqrt {D/108}}}$ встречается в формуле Кардано (как и примитивные корни 3-й степени из единицы $\omega _{2,3}$ со своими $i{\sqrt {3}}$ ), хотя ${\sqrt {D}}~,$ и не ${\sqrt {d}}~,$ обязательно является элементом поля расщепления.

^ Б.Л. ван дер Варден, Современная алгебра (перевод с немецкого Фреда Блюма), Frederick Ungar Publ. Ко., 1949, с. 180.
^ Кокс (2012) , Раздел 1.3B Тригонометрическое решение кубического числа, стр. 18–19.
^ Кокс (2012) , Теорема 8.6.5, с. 222.
^ И. М. Айзекс, «Решение полиномов действительными радикалами», American Mathematical Monthly 92 (8), октябрь 1985 г., 571–575,
^ Дэвид С. Даммит Решение решаемых квинтиков. Архивировано 7 марта 2012 г. в Wayback Machine.

Ссылки

Кокс, Дэвид А. (2012), Теория Галуа , Чистая и прикладная математика (2-е изд.), John Wiley & Sons, doi : 10.1002/9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9 . См., в частности, раздел 1.3 Кубические уравнения над действительными числами (стр. 15–22) и раздел 8.6 Casus Irreducibilis (стр. 220–227).
ван дер Варден, Бартель Леендерт (2003), Современная алгебра I , Ф. Блюм, Дж. Р. Шуленберг, Спрингер, ISBN 978-0-387-40624-4

Внешние ссылки

неприводимый случай в PlanetMath .

[Wantzel-1] Ванцель, Пьер (1843), «Классификация несоизмеримых чисел алгебраического происхождения» (PDF) , Nouvelles Annales de Mathématiques (на французском языке), 2 : 117–127

[2] Кокс (2012) , Теорема 1.3.1, с. 15.

[3] $\Delta$ тесно связан с полиномом Вандермонда .

[4] Полином $x^{3}+x+1$ с дискриминантом $D = -31 < 0$ легко увидеть, что он неприводим, поскольку согласно теореме о рациональном корне он должен был бы иметь корни $\in \{-1,1\}$ которого у него нет.

[5] Джеймс Пирпонт в «Анналах математики 1900-1901», стр. 42: «Для Кардана и его современников, которые понятия не имели, как можно найти такие кубические корни, этот случай был в высшей степени парадоксальным. С тех пор математики пытались представить эти действительные корни как суммы реальных радикалов. Поскольку их усилия не увенчались успехом, случай, когда D > 0, был известен как casus нередуцируемый».
Артур Экерт Сложный и непредсказуемый Кардано берет пример с Кардано $x^{3}-15x-4=0$ имея ${\textstyle q^{2}/4+p^{3}/27=(-4)^{2}/4+(-15)^{3}/27=-121<0}$ и пишет на стр. 9: «Кардано знал, что $x=4$ было одним из решений, и тем не менее, это был casus нередуцируемый ». Это показывает, что в XVI веке слово «irreducibilis» должно было означать что-то вроде «не сводимое к настоящим радикалам».
С другой стороны, пример Кардано можно использовать, чтобы показать, как вещественные корни могут возникать из кубических корней недействительных чисел:
У нас есть $p=-15,\;q=-4$ ,
что дает $d:={q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}=-121$ ,
откуда $-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {d}}=2\pm 11\,i$ .
В 16 веке было трудно («verè sophistica») найти такое
${\sqrt[{3}]{2+11^{\color {white};}i}}=2+i=:u$
и ${\sqrt[{3}]{2-11^{\color {white};}i}}=2-i=:v$ ,
так что $t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$
$=\omega _{k}u+\omega _{k}^{2}v$ .
Это означает в деталях:
1-й корень $t_{1}=\omega _{1}u+\omega _{1}^{2}v$
$=1\cdot (2+i)+1\cdot (2-i)$
$=4$ ,
2-й корень $t_{2}=\omega _{2}u+\omega _{2}^{2}v$
$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)+{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$
$=-2-{\sqrt {3}}$ ,
3-й корень $t_{3}=\omega _{3}u+\omega _{3}^{2}v$
$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)+{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$
$=-2+{\sqrt {3}}$ .
Можно заметить, что ${\textstyle d:=q^{2}/4+p^{3}/27=-121}$ это не дискриминант $D$ ; это $D=-108\,d=13068=2^{2}3^{3}11^{2}$ с перевернутым знаком. Интересно ${\textstyle {\sqrt {d}}=i{\sqrt {D/108}}}$ встречается в формуле Кардано (как и примитивные корни 3-й степени из единицы $\omega _{2,3}$ со своими $i{\sqrt {3}}$ ), хотя ${\sqrt {D}}~,$ и не ${\sqrt {d}}~,$ обязательно является элементом поля расщепления.

[6] Б.Л. ван дер Варден, Современная алгебра (перевод с немецкого Фреда Блюма), Frederick Ungar Publ. Ко., 1949, с. 180.

[7] Кокс (2012) , Раздел 1.3B Тригонометрическое решение кубического числа, стр. 18–19.

[8] Кокс (2012) , Теорема 8.6.5, с. 222.

[Isaacs-9] И. М. Айзекс, «Решение полиномов действительными радикалами», American Mathematical Monthly 92 (8), октябрь 1985 г., 571–575,

[10] Дэвид С. Даммит Решение решаемых квинтиков. Архивировано 7 марта 2012 г. в Wayback Machine.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]