n- й корень

Эта статья о корнях n-й степени из действительных и комплексных чисел. Чтобы узнать о других значениях, см. Корень (значения) § Математика .

В математике й n- корень степени из числа x — это число r (корень), которое, будучи возведено в степень положительного целого числа n , дает x :

$$r^{n}=\underbrace {r\times r\times \cdots \times r} _{n{\text{ times}}}=x.$$

Целое число n называется индексом или степенью , а число x , из которого взят корень, является подкоренным выражением. Корень степени 2 называется квадратным корнем , а корень степени 3 — кубическим корнем . Корни более высокой степени обозначаются с помощью порядковых номеров , например, корень четвертой степени , корень двадцатой степени и т. д. Вычисление корня n- й степени представляет собой извлечение корня .

Например, 3 — это квадратный корень из 9 , поскольку 3 ² = 9 и −3 также является квадратным корнем из 9 , поскольку (−3) ² = 9 .

Корень n- й степени из x записывается как ${\sqrt[{n}]{x}}$ используя радикальный символ или систему счисления ${\sqrt {\phantom {x}}}$. Квадратный корень обычно записывается без n , как просто ${\sqrt {x}}$. Извлечение корня n- й степени из числа является обратной возведению операцией, в степень . и может быть записан в виде дробного показателя:

$${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.$$

Для положительного действительного числа x , ${\sqrt {x}}$ обозначает положительный квадратный корень из x и ${\sqrt[{n}]{x}}$обозначает положительный действительный корень n -й степени. Отрицательное действительное число — x не имеет действительных квадратных корней, но когда x рассматривается как комплексное число, оно имеет два мнимых квадратных корня: $+i{\sqrt {x}}$ и $-i{\sqrt {x}}$, где i — мнимая единица .

В общем, любое ненулевое комплексное число имеет n различных комплексных корней n- й степени, равномерно распределенных по комплексному кругу постоянного абсолютного значения . ( Корень n- й степени из 0 равен нулю с кратностью n , и этот круг вырождается в точку.) Таким образом, извлечение корней n- й степени из комплексного числа x можно считать многозначной функцией . По соглашению главное значение этой функции называется главным корнем и обозначается ${\sqrt[{n}]{x}}$, принимается как корень n-й степени с наибольшей действительной частью, а в особом случае, когда x — отрицательное действительное число, корень с положительной мнимой частью . Таким образом, главный корень положительного действительного числа также является положительным действительным числом. Как функция главный корень непрерывен во всей комплексной плоскости , за исключением отрицательной вещественной оси.

Неразрешенный корень, особенно тот, в котором используется радикальный символ, иногда называют сурдом . или радикал . Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или более высокий корень, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, оно называется алгебраическим выражением .

Корни используются для определения радиуса сходимости степенного ряда с помощью корневого теста . Корни n -й степени из 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, таких как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .

История

Основные статьи: Квадратный корень § История и Кубический корень § История.

Архаичный термин для обозначения операции извлечения n- корней го типа — радикация .

Определение и обозначения

Четыре корня четвертой степени из −1,
ничего из этого не реально

Три корня третьей степени из −1,
один из которых является отрицательным действительным

Корень n-й степени из числа x , где n — целое положительное число, представляет собой любое из n действительных или комплексных чисел r которого , n-я степень равна x :

$$r^{n}=x.$$

Каждое положительное действительное число x имеет единственный положительный корень n- й степени, называемый главным n- корнем й степени , который записывается ${\sqrt[{n}]{x}}$. Для n, равного 2, это называется главным квадратным корнем, и n опускается. Корень n- й степени также можно представить с помощью возведения в степень как x ^1/н .

Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, а отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n -й степени. Например, −2 имеет действительный корень пятой степени, ${\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots$ но −2 не имеет настоящих корней шестой степени.

Каждое ненулевое число x , вещественное или комплексное , имеет n различных корней из комплексных чисел n- й степени. (В случае, если x вещественный, в это число входят любые действительные корни n- й степени.) Единственный комплексный корень из 0 — это 0.

Корни n- й степени почти всех чисел (все целые числа, кроме n -й степени, и все рациональные числа, кроме частных двух n- й степени) иррациональны . Например,

$${\sqrt {2}}=1.414213562\ldots$$

Все корни n- й степени рациональных чисел являются алгебраическими числами , а все корни n-й степени целых чисел являются целыми алгебраическими числами .

Термин «сурд» восходит к Аль-Хорезми ( ок. 825 ), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышимыми соответственно. Позже это привело к тому, что арабское слово أصم ( asamm , что означает «глухой» или «немой»), обозначающее иррациональное число, было переведено на латынь как surdus (что означает «глухой» или «немой»). Жерар Кремонский ( ок. 1150 ), Фибоначчи (1202), а затем Роберт Рекорд (1551) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений формы ${\sqrt[{n}]{r}}$, в котором $n$ и $r$ являются целыми числами, и все выражение обозначает иррациональное число. Иррациональные числа вида $\pm {\sqrt {a}},$ где $a$рациональна, называются чистыми квадратичными иррационалами ; иррациональные числа вида $a\pm {\sqrt {b}}$, где $a$ и $b$ рациональны, называются смешанными квадратичными иррационалами .

Квадратные корни

Основная статья: Квадратный корень

График $y=\pm {\sqrt {x}}$.

Квадратный корень из числа x — это число r , которое при возведении в квадрат становится x :

$$r^{2}=x.$$

Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: один положительный и один отрицательный. Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком корня:

$${\sqrt {25}}=5.$$

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицательен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни из −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет число, квадрат которого равен −1 .

Кубические корни

Основная статья: Корень куба

График $y={\sqrt[{3}]{x}}$.

Кубический корень числа x — это число r которого , куб равен x :

$$r^{3}=x.$$

Каждое действительное число x имеет ровно один действительный кубический корень, записанный ${\sqrt[{3}]{x}}$. Например,

$${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{8}}&=2\\{\sqrt[{3}]{-8}}&=-2.\end{aligned}}$$

Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.

Личности и свойства

Выражая степень корня n- й степени в его показательной форме, как в $x^{1/n}$, облегчает манипулирование силами и корнями. Если $a$ является неотрицательным действительным числом ,

$${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.$$

Каждое неотрицательное число имеет ровно один неотрицательный действительный корень n-й степени, поэтому правила операций с иррациональными числами, включающими неотрицательные подкоренные числа, $a$ и $b$ являются прямыми в пределах действительных чисел:

$${\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}$$

Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n-й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:

$${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad$$

скорее,

$$\quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.$$

Поскольку правило ${\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$ строго справедливо только для неотрицательных вещественных подкоренных чисел, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше.

Упрощенная форма радикального выражения

Говорят, что невложенное радикальное выражение имеет упрощенную форму, если ни один фактор подкоренного выражения не может быть записан в виде степени, большей или равной индексу; внутри знака корня нет дробей; и в знаменателе радикалов нет.

Например, чтобы написать радикальное выражение $\textstyle {\sqrt {32/5}}$в упрощенном виде можно поступить следующим образом. Сначала найдите идеальный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его:

$${\sqrt {\frac {32}{5}}}={\sqrt {\frac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}=4{\sqrt {\frac {2}{5}}}$$

Далее идет дробь под знаком радикала, которую меняем следующим образом:

$$4{\sqrt {\frac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}$$

Наконец, удалим радикал из знаменателя следующим образом:

$${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}$$

Когда есть знаменатель, включающий в себя иррациональные числа, всегда можно найти множитель, на который можно умножить и числитель, и знаменатель, чтобы упростить выражение. Например, используя факторизацию суммы двух кубов :

$${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.$$

Упрощение радикальных выражений, включающих вложенные радикалы, может быть довольно трудным. В частности, денестинг не всегда возможен, а когда это возможно, для этого может потребоваться передовая теория Галуа . Более того, когда полное разделение невозможно, не существует общей канонической формы , позволяющей проверить равенство двух чисел, просто взглянув на их канонические выражения.

Например, не очевидно, что

$${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}.$$

Вышеупомянутое можно получить посредством:

$${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}$$

Позволять $r=p/q$, где p и q взаимно простые и положительные целые числа. Затем ${\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}$ рационально тогда и только тогда, когда оба ${\sqrt[{n}]{p}}$ и ${\sqrt[{n}]{q}}$ являются целыми числами, что означает, что и p , и q являются n -ми степенями некоторого целого числа.

Бесконечная серия

Радикал или корень может быть представлен бесконечным рядом :

$$(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}$$

с $|x|<1$. Это выражение можно вывести из биномиального ряда .

главных

Использование метода Ньютона

Корень n- й степени из числа A можно вычислить с помощью метода Ньютона , который начинается с начального предположения x ₀ , а затем повторяется с использованием рекуррентного соотношения

$$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}$$

пока не будет достигнута желаемая точность. Для повышения эффективности вычислений рекуррентное соотношение обычно переписывают

$$x_{k+1}={\frac {n-1}{n}}\,x_{k}+{\frac {A}{n}}\,{\frac {1}{x_{k}^{n-1}}}.$$

Это позволяет иметь только одно возведение в степень и вычислить один раз для всех первый фактор каждого члена.

Например, чтобы найти корень пятой степени из 34, мы подставляем n = 5, A = 34 и x ₀ = 2 (первоначальное предположение). Первые 5 итераций примерно таковы:

х ₀ = 2 1

х ₁ = 2,025

х ₂ = 2,02439 7...

х ₃ = 2,02439 7458...

х ₄ = 2,02439 74584 99885 04251 08172...

х ₅ = 2,02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8...

(Показаны все правильные цифры.)

Приближение x ₄ соответствует 25 десятичным знакам, а x ₅ — 51.

Метод Ньютона можно модифицировать для получения различных обобщенных цепных дробей для корня n -й степени. Например,

$${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.$$

Поразрядное вычисление главных корней десятичных (по основанию

Треугольник Паскаля, показывающий $P(4,1)=4$.

Основываясь на поразрядном вычислении квадратного корня , можно увидеть, что используемая там формула: $x(20p+x)\leq c$, или $x^{2}+20xp\leq c$, следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Для корня n-й степени из числа $P(n,i)$ определяется как значение элемента $i$ в ряд $n$ треугольника Паскаля такой, что $P(4,1)=4$, мы можем переписать выражение как $\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}$. Для удобства назовем результат этого выражения $y$. Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень можно вычислить по цифрам следующим образом.

Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму длинного деления , и, как и при длинном делении, в строке выше будет записан корень. Теперь разделите цифры на группы цифр, соответствующие взятому корню, начиная с десятичной точки и идя влево и вправо. Десятичная точка корня будет находиться над десятичной точкой подкоренного выражения. Над каждой группой цифр исходного числа появится одна цифра корня.

Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:

1. Начиная слева, снесите самую значащую (крайнюю левую) группу еще не использованных цифр (если все цифры были использованы, напишите «0» количество раз, необходимое для образования группы) и запишите их справа от остаток от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на $10^{n}$и добавьте цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c .
2. Найдите p и x следующим образом:
   • Позволять $p$быть частью найденного корня , игнорируя любую десятичную точку. (Для первого шага $p=0$ и $0^{0}=1$).
   • Определить самую большую цифру $x$ такой, что $y\leq c$.
   • Поместите цифру $x$в качестве следующей цифры корня, т. е. над группой цифр, которую вы только что нанесли. Таким образом, следующим p будет старое p, умноженное на 10 плюс x .
3. Вычесть $y$ от $c$ чтобы образовался новый остаток.
4. Если остаток равен нулю и больше нет цифр, которые нужно сбить, то алгоритм завершается. В противном случае вернитесь к шагу 1 для следующей итерации.

Примеры

Найдите квадратный корень из 152,2756.

        1 2. 3 4 
      / 
       \/01 52.27 56 (Результаты) (Пояснения) 
    
           01 х = 1 10 0 ·1·0 0 · 1 2  + 10 1 ·2·0 1 · 1 1  ≤ 1 < 10 0 ·1·0 0 ·2 2    + 10 1 ·2·0 1 ·2 1 
         01  г = 1 г = 10 0 ·1·0 0 ·1 2    + 10 1 ·2·0 1 ·1 1 = 1 + 0 =  1 
           00 52 х = 2 10 0 ·1·1 0 · 2 2  + 10 1 ·2·1 1 · 2 1  ≤ 52 < 10 0 ·1·1 0 ·3 2    + 10 1 ·2·1 1 ·3 1 
         00 44  г = 44 г = 10 0 ·1·1 0 ·2 2    + 10 1 ·2·1 1 ·2 1 = 4 + 40 =  44 
              08 27 х = 3 10 0 ·1·12 0 · 3 2  + 10 1 ·2·12 1 · 3 1  ≤ 827 < 10 0 ·1·12 0 ·4 2   + 10 1 ·2·12 1 ·4 1 
            07 29  г = 729 г = 10 0 ·1·12 0 ·3 2   + 10 1 ·2·12 1 ·3 1 = 9 + 720 =  729 
                 98 56 х = 4 10 0 ·1·123 0 · 4 2  + 10 1 ·2·123 1 · 4 1  ≤ 9856 < 10 0 ·1·123 0 ·5 2  + 10 1 ·2·123 1 ·5 1 
               98 56  г = 9856 г = 10 0 ·1·123 0 ·4 2  + 10 1 ·2·123 1 ·4 1  = 16 + 9840   =   9856 
               00 00
 

Алгоритм завершает работу: Ответ: 12,34.

Найдите кубический корень из числа 4192, округленный до тысячных.

     1 6. 1 2 4 
  3  / 
    \/ 004 192.000 000 000 (Результаты) (Пояснения) 
    
        004 х = 1 10 0 ·1·0 0 · 1 3     +  10 1 ·3·0 1 · 1 2    + 10 2 ·3·0 2 · 1 1  ≤ 4 < 10 0 ·1·0 0 ·2 3      + 10 1 ·3·0 1 ·2 2     + 10 2 ·3·0 2 ·2 1 
      001  г = 1 г = 10 0 ·1·0 0 ·1 3    + 10 1 ·3·0 1 ·1 2    + 10 2 ·3·0 2 ·1 1 = 1 + 0 + 0 =  1 
        003 192 х = 6 10 0 ·1·1 0 · 6 3     +  10 1 ·3·1 1 · 6 2    + 10 2 ·3·1 2 · 6 1  ≤ 3192 < 10 0 ·1·1 0 ·7 3      + 10 1 ·3·1 1 ·7 2     + 10 2 ·3·1 2 ·7 1 
      003 096  г = 3096 г = 10 0 ·1·1 0 ·6 3    + 10 1 ·3·1 1 ·6 2    + 10 2 ·3·1 2 ·6 1 = 216 + 1080 + 1800 =  3096 
            096 000 х = 1 10 0 ·1·16 0 · 1 3    + 10 1 ·3·16 1 · 1 2    + 10 2 ·3·16 2 · 1 1  ≤ 96000 < 10 0 ·1·16 0 ·2 3    + 10 1 ·3·16 1 ·2 2    + 10 2 ·3·16 2 ·2 1 
          077 281  г = 77281 г = 10 0 ·1·16 0 ·1 3   + 10 1 ·3·16 1 ·1 2   + 10 2 ·3·16 2 ·1 1 = 1 + 480 + 76 800 =  77 281 
            018 719 000 х = 2 10 0 ·1·161 0 · 2 3   + 10 1 ·3·161 1 · 2 2   + 10 2 ·3·161 2 · 2 1  ≤ 18719000 < 10 0 ·1·161 0 ·3 3   + 10 1 ·3·161 1 ·3 2   + 10 2 ·3·161 2 ·3 1 
              015 571 928  г = 15571928 г = 10 0 ·1·161 0 ·2 3  + 10 1 ·3·161 1 ·2 2  + 10 2 ·3·161 2 ·2 1 = 8 + 19 320 + 15 552 600 =  15 571 928 
                003 147 072 000 х = 4 10 0 ·1·1612 0 · 4 3  + 10 1 ·3·1612 1 · 4 2  + 10 2 ·3·1612 2 · 4 1  ≤ 3147072000 < 10 0 ·1·1612 0 ·5 3  + 10 1 ·3·1612 1 ·5 2  + 10 2 ·3·1612 2 ·5 1 

Желаемая точность достигнута. Кубический корень из 4192 равен 16,124...

Логарифмический расчет

Главный корень n-й степени из положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n-й степени из x , а именно $r^{n}=x,$ если x положителен и, следовательно, его главный корень r также положителен, нужно логарифмировать обе части ( любое основание логарифма подойдет ), чтобы получить

$$n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.$$

Корень r восстанавливается путем взятия антилогарифма :

$$r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.$$

(Примечание: эта формула показывает b , возведенное в степень результата деления, а не b , умноженное на результат деления.)

В случае, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один действительный корень r , который также отрицателен. Это можно найти, сначала умножив обе части определяющего уравнения на -1, чтобы получить $|r|^{n}=|x|,$затем продолжаем, как и прежде, чтобы найти | r |, и используя r = −| р | .

Геометрическая конструктивность

Древнегреческие математики умели с помощью циркуля и линейки построить длину, равную квадратному корню из заданной длины, когда дана вспомогательная линия единичной длины. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени заданной длины невозможно построить, если n не является степенью 2.

Сложные корни

Каждое комплексное число, кроме 0, имеет n различных корней n- й степени.

Квадратные корни

Квадратные корни из i

Два квадратных корня комплексного числа всегда являются отрицательными по отношению друг к другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны

$${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).$$

Если выразить комплексное число в полярной форме , то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и уменьшив угол пополам:

$${\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.$$

Главный корень комплексного числа можно выбрать различными способами, например

$${\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}$$

который вводит разрез в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 ≤ θ < 2 π или вдоль отрицательной вещественной оси с − π < θ ≤ π .

Используя первую (последнюю) ветвь, вырежьте главный квадратный корень. $\scriptstyle {\sqrt {z}}$ карты $\scriptstyle z$полуплоскости с неотрицательной мнимой (действительной) частью. Последнее сокращение ветки предполагается в математических программах, таких как Matlab или Scilab .

Корни единства

Основная статья: Корень единства

Три третьего корня из 1

Число 1 имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости, а именно

$$1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},$$

где

$$\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).$$

Эти корни равномерно расположены вокруг единичной окружности в комплексной плоскости под углами, кратными $2\pi /n$. Например, квадратные корни из единицы равны 1 и -1, а корни четвертой степени из единицы равны 1, $i$, −1 и $-i$.

n -ные корни

Геометрическое представление корней со 2-й по 6-ю комплексного числа z в полярной форме re ^iφ  где р = | г | и φ = arg z . Если z действительно, φ = 0 или π . Главные корни показаны черным цветом.

Каждое комплексное число имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости. Это

$$\eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},$$

где η — один корень n-й степени, а 1, ω , ω ² , ... ой ^{п -1} являются корнями n-й степени из единицы. Например, четыре различных корня четвертой степени из 2 равны

$${\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.$$

В полярной форме один корень n- й степени можно найти по формуле

$${\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.$$

Здесь r — величина (модуль, называемый также абсолютным значением ) числа, корень которого необходимо извлечь; если число можно записать как a+bi , то $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Также, $\theta$- угол, образующийся при повороте начала координат против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он обладает свойствами, которые $\cos \theta =a/r,$ $\sin \theta =b/r,$ и $\tan \theta =b/a.$

Таким образом, поиск корней n-й степени в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во-первых, величина всех n- корней й степени равна корню n- й степени из величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом, идущим от начала координат до одного из корней n- й степени, равен $\theta /n$, где $\theta$— угол, определяемый таким же образом для числа, из которого извлекается корень. При этом все n й степени корней n- расположены под одинаковыми углами друг от друга.

Если n четное, то корни n- й степени комплексного числа, число которых четное, образуют аддитивные обратные пары, так что если число r ₁ является одним из корней n- й степени, то r ₂ = – r ₁ является другим. Это связано с тем, что возведение последнего коэффициента –1 в n- ю степень для четного n дает 1: то есть (– r ₁ ) ^н = (–1) ^н × р ₁ ^н = р ₁ ^н .

Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет ветвь в точках, где θ / n разрывна.

Решение полиномов

См. также: Алгоритмы поиска корня.

Когда-то была высказана гипотеза , что все полиномиальные уравнения можно решить алгебраически (то есть, что все корни многочлена могут быть выражены через конечное число радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для полиномов третьей степени ( кубик ) и полиномов четвертой степени ( квартик ), теорема Абеля-Руффини (1824 г.) показывает, что в целом это неверно, когда степень равна 5 или выше. Например, решения уравнения

$$x^{5}=x+1$$

не может быть выражено через радикалы. ( ср. уравнение пятой степени )

Доказательство иррациональности несовершенной n -й степени x

Предположим, что ${\sqrt[{n}]{x}}$является рациональным. То есть его можно уменьшить до дроби ${\frac {a}{b}}$, где a и b — целые числа без общего делителя.

Это значит, что $x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$.

Поскольку х — целое число, $a^{n}$и $b^{n}$должен иметь общий делитель, если $b\neq 1$. Это означает, что если $b\neq 1$, ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}$не в самой простой форме. Таким образом, b должно равняться 1.

С $1^{n}=1$ и ${\frac {n}{1}}=n$, ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}$.

Это значит, что $x=a^{n}$ и поэтому, ${\sqrt[{n}]{x}}=a$. Это означает, что ${\sqrt[{n}]{x}}$является целым числом. Поскольку x не является идеальной n- й степенью, это невозможно. Таким образом ${\sqrt[{n}]{x}}$ иррационально.

См. также

• Среднее геометрическое
• Алгоритм сдвига n-го корня
• Двенадцатый корень из двух