Теория уравнений
 |
В алгебре теория уравнений — это изучение алгебраических уравнений (также называемых «полиномиальными уравнениями»), которые представляют собой уравнения, определяемые полиномом . Основная проблема теории уравнений заключалась в том, чтобы узнать, когда алгебраическое уравнение имеет алгебраическое решение . Эта проблема была полностью решена в 1830 году Эваристом Галуа , введя то, что сейчас называется теорией Галуа .
До Галуа не было четкого различия между «теорией уравнений» и «алгеброй». С тех пор алгебра значительно расширилась и включила множество новых разделов, а теории алгебраических уравнений уделяется гораздо меньше внимания. Таким образом, термин «теория уравнений» в основном используется в контексте истории математики , чтобы избежать путаницы между старым и новым значениями слова «алгебра».
История [ править ]
До конца XIX века «теория уравнений» была почти синонимом «алгебры». Долгое время основной проблемой было нахождение решений одного нелинейного полиномиального уравнения с одним неизвестным . То, что комплексное решение всегда существует, — это основная теорема алгебры , доказанная лишь в начале XIX века и не имеющая чисто алгебраического доказательства. Тем не менее, главной заботой алгебраистов было решение в терминах радикалов, то есть выражение решений с помощью формулы, построенной с помощью четырех арифметических операций и корней n-й степени . Это было сделано до четвертой степени в 16 веке. Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья нашли решения кубических уравнений . Джероламо Кардано опубликовал их в своей книге Ars Magna 1545 года вместе с решением уравнений четвертой степени , открытым его учеником Лодовико Феррари . В 1572 году Рафаэль Бомбелли опубликовал свою «Алгебру» , в которой показал, как обращаться с мнимые величины , которые могли бы появиться в формуле Кардано для решения кубических уравнений.
Вопрос о более высоких степенях оставался открытым до 19 века, когда в 1799 году Паоло Руффини дал неполное доказательство того, что некоторые уравнения пятой степени не могут быть решены в радикалах, за которым последовало Нильса Хенрика Абеля полное доказательство в 1824 году (теперь известное как доказательство Абеля-Руффини). теорема ). Эварист Галуа позже представил теорию (ныне называемую теорией Галуа ), чтобы решить, какие уравнения разрешимы в радикалах.
Дальнейшие проблемы [ править ]
Другими классическими задачами теории уравнений являются следующие:
- Линейные уравнения : эта проблема была решена еще в древности.
- Одновременные линейные уравнения : Общее теоретическое решение было предложено Габриэлем Крамером в 1750 году. Однако разработка эффективных методов ( алгоритмов ) для решения этих систем остается активным предметом исследований, которые теперь называются линейной алгеброй .
- Нахождение целочисленных решений уравнения или системы уравнений. Эти задачи теперь называются Диофантовыми уравнениями и считаются частью теории чисел (см. также целочисленное программирование ).
- Системы полиномиальных уравнений . Из-за своей сложности эти системы, за немногими исключениями, изучаются только со второй половины XIX века. Они привели к развитию алгебраической геометрии .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
Дальнейшее чтение [ править ]
- Успенский, Джеймс Виктор, Теория уравнений (МакГроу-Хилл), 1963 г.
- Диксон, Леонард Э., Элементарная теория уравнений (Интернет-архив), первоначально 1914 г. [1]
| Базы данных органов управления : Национальные |
|---|
