Рафаэль Бомбелли

«Алгебра» Рафаэля Бомбелли: фронтиспис болонского издания 1579 года.

Рафаэль Бомбелли ( крещен 20 января 1526 г.; умер в 1572 г.) был итальянский математик . Он родился в Болонье , является автором трактата по алгебре и центральной фигурой в понимании мнимых чисел .

Ему наконец удалось решить проблему с мнимыми числами. В своей книге 1572 года «Алгебра » Бомбелли решал уравнения, используя метод дель Ферро / Тартальи . Он представил риторику, которая предшествовала репрезентативным символам + i и - i , и описал, как они оба работали.

Жизнь

Рафаэль Бомбелли крестился 20 января 1526 года. в Болонье, Папская область . Он родился в семье Антонио Маццоли, торговца шерстью, и Диаманте Скудиери, дочери портного. Семья Маццоли когда-то была довольно влиятельной в Болонье. Когда в 1506 году к власти пришел папа Юлий II , он изгнал правящую семью Бентивольо . Семья Бентивольо попыталась вернуть Болонью в 1508 году, но потерпела неудачу. Дед Рафаэля участвовал в попытке государственного переворота, был схвачен и казнен. Позже Антонио смог вернуться в Болонью, сменив фамилию на Бомбелли, чтобы избежать репутации семьи Маццоли. Рафаэль был старшим из шести детей. Рафаэль не получил высшего образования, но вместо этого его преподавал инженер-архитектор по имени Пьер Франческо Клементи .

Бомбелли считал, что ни одна из работ по алгебре ведущих математиков того времени не дает тщательного и подробного изложения предмета. Вместо очередного запутанного трактата, понятного только математикам, Рафаэль решил написать книгу по алгебре, понятную каждому. Его текст будет самодостаточным и легко прочитанным людьми без высшего образования.

Бомбелли умер в 1572 году в Риме.

Бомбелли Алгебра

Алгебра , 1572 г.

В вышедшей в 1572 году книге под названием «Алгебра» Бомбелли дал исчерпывающее описание известной в то время алгебры. Он был первым европейцем, записавшим способ выполнения вычислений с отрицательными числами. Ниже приводится отрывок из текста:

«Плюс раз плюс дает плюс
Минус раз минус дает плюс
Плюс, умноженный на минус, дает минус
Минус раз плюс дает минус
Плюс 8 раз плюс 8 дает плюс 64.
Минус 5 раз минус 6 дает плюс 30.
Минус 4 раза плюс 5 будет минус 20.
Плюс 5 раз минус 4 будет минус 20".

Как и было задумано, Бомбелли использовал простой язык, как видно выше, чтобы его мог понять каждый. Но в то же время он был основательным.

Обозначения

Бомбелли впервые в печатном тексте (во второй книге своей «Алгебры») ввел форму индексной записи, в которой уравнение
$x^{3}=6x+40$
появился как
1У3 а. 6У1 п. 40.
в котором он написал U3 в виде приподнятой чаши (как изогнутая часть заглавной буквы U) с цифрой 3 над ней. Полная символическая запись была разработана вскоре после этого французским математиком Франсуа Виетом .

Комплексные числа

Однако, возможно, что более важно, чем его работы по алгебре, книга также включает монументальный вклад Бомбелли в теорию комплексных чисел . Прежде чем писать о комплексных числах, он указывает, что они встречаются в решениях уравнений вида $x^{3}=ax+b,$ при условии $(a/3)^{3}>(b/2)^{2},$это еще один способ заявить, что дискриминант кубического числа отрицательен. Решение такого рода уравнений требует извлечения кубического корня из суммы одного числа и квадратного корня некоторого отрицательного числа.

Прежде чем Бомбелли углубится в практическое использование мнимых чисел, он подробно объясняет свойства комплексных чисел. Он сразу дает понять, что правила арифметики для мнимых чисел не такие же, как для действительных чисел. Это было большим достижением, поскольку даже многие последующие математики были крайне сбиты с толку этой темой.

Бомбелли избежал путаницы, дав особое название квадратным корням из отрицательных чисел, вместо того, чтобы просто пытаться обращаться с ними как с обычными радикалами, как это делали другие математики. Это дало понять, что эти цифры не были ни положительными, ни отрицательными. Такая система позволяет избежать путаницы, с которой столкнулся Эйлер. Бомбелли назвал мнимое число i «плюс минус» и использовал «минус минус» для -i .

Бомбелли предусмотрительно увидел, что мнимые числа имеют решающее значение и необходимы для решения уравнений четвертой и кубической степени . В то время люди интересовались комплексными числами только как инструментами для решения практических уравнений. Таким образом, Бомбелли смог получить решения, используя правило Сципиона дель Ферро , даже в casus reducibilis , от которого другие математики, такие как Кардано, отказались.

В своей книге Бомбелли объясняет сложную арифметику следующим образом:

«Плюс за плюсом из минуса образует плюс из минуса.
Минус за плюсом из минуса получается минус из минуса.
Плюс минус минус делает минус минус.
Минус за минусом образует плюс из минуса.
Плюс минус плюс плюс минус дает минус.
Плюс минус минус минус дает плюс.
Минус минус плюс минус дает плюс.
Минус минус минус минус дает минус».

Разобравшись с умножением действительных и мнимых чисел, Бомбелли продолжает говорить о правилах сложения и вычитания. Он осторожно указывает, что действительные части добавляются к реальным частям, а мнимые части добавляются к воображаемым частям.

Репутация

Бомбелли обычно считают изобретателем комплексных чисел, поскольку до него никто не установил правил работы с такими числами, и никто не верил, что работа с мнимыми числами даст полезные результаты. Прочитав «Алгебру » Бомбелли , Лейбниц похвалил Бомбелли как «... выдающегося мастера аналитического искусства». Кроссли пишет в своей книге: «Итак, у нас есть инженер Бомбелли, который практически использует комплексные числа, возможно, потому, что они дали ему полезные результаты, в то время как Кардан нашел квадратные корни из отрицательных чисел бесполезными. . Удивительно, насколько тщательно он излагает законы вычисления комплексных чисел.

В честь его достижений лунный кратер был назван Бомбелли .

Бомбелли для вычисления

Бомбелли использовал метод, связанный с цепными дробями, для вычисления квадратных корней . У него еще не было понятия цепной дроби, и ниже приводится алгоритм более поздней версии, предложенный Пьетро Катальди (1613 г.).

Метод нахождения ${\sqrt {n}}$ начинается с $n=(a\pm r)^{2}=a^{2}\pm 2ar+r^{2}\$ с $0<r<1\$, откуда можно показать, что $r={\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm r}}$. Повторная замена выражения в правой части на $r$ в себя дает непрерывную дробь

$a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm \cdots }}}}}}$

для корня, но Бомбелли больше интересует лучшие приближения для $r$. Значение, выбранное для $a$ любое из целых чисел, квадраты которых $n$лежит между. Метод дает следующие сходимые значения для ${\sqrt {13}}\$ в то время как фактическое значение составляет 3,605551275... :

$3{\frac {2}{3}},\ 3{\frac {3}{5}},\ 3{\frac {20}{33}},\ 3{\frac {66}{109}},\ 3{\frac {109}{180}},\ 3{\frac {720}{1189}},\ \cdots$

Последняя дробь равна 3,605550883... . Метод Бомбелли следует сравнить с формулами и результатами, использованными Геросом и Архимедом . Результат ${\frac {265}{153}}<{\sqrt {3}}<{\frac {1351}{780}}$ использовал Архимед при определении стоимости $\pi$ можно найти, используя 1 и 0 для начальных значений $r$.

Ссылки

Источники

• Моррис Клайн , Математическая мысль от древних до наших дней , 1972, Oxford University Press, Нью-Йорк, ISBN   0-19-501496-0
• Дэвид Юджин Смит , Справочник по математике , 1959, Dover Publications, Нью-Йорк, ISBN   0-486-64690-4
• Кроссли, Джон Н. (1987). Появление числа . Сингапур: World Scientific. дои : 10.1142/0462 . ISBN  978-9971-5-0413-7 .
• Дэниел Дж. Кертин и др., «Алгебра» Рафаэля Бомбелли , 1996,

https://www.people.iup.edu/gsstoudt/history/bombelli/bombelli.pdf

Внешние ссылки

• L'Algebra, Libri I, II, III , IV и V , оригинальные итальянские тексты.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Рафаэль Бомбелли» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Фон