Уравнение

Чтобы узнать о других значениях, см. Уравнение (значения) .

Первое использование знака равенства, эквивалентного 14 x + 15 = 71 в современной системе обозначений. Из «Точильного камня Витте» Уэльского Роберта Рекорда (1557 г.).

В математике уравнение — это математическая формула , которая выражает равенство двух выражений , соединяя их знаком равенства = . Слово «уравнение» и его родственные слова в других языках могут иметь несколько разные значения; например, во французском языке уравнение , определяется как содержащее одну или несколько переменных а в английском языке любая правильно составленная формула, состоящая из двух выражений, связанных знаком равенства, является уравнением.

Решение уравнения, содержащего переменные, состоит в определении того, какие значения переменных делают равенство верным. Переменные, для которых необходимо решить уравнение, также называются неизвестными , а значения неизвестных, удовлетворяющие равенству, называются решениями уравнения. Существует два вида уравнений: тождества и условные уравнения. Тождество верно для всех значений переменных. Условное уравнение верно только для определенных значений переменных.

Символ « = ", который появляется в каждом уравнении, был изобретен в 1557 году Робертом Рекордом , который считал, что нет ничего более равного, чем параллельные прямые линии одинаковой длины.

Описание

Уравнение записывается в виде двух выражений , соединенных знаком равенства ("="). Выражения, стоящие по обе стороны знака равенства, называются «левой частью» и «правой частью» уравнения. Очень часто правая часть уравнения считается равной нулю. Это не уменьшает общности, поскольку это можно реализовать, вычитая правую часть из обеих частей.

Наиболее распространенным типом уравнений является полиномиальное уравнение (обычно называемое также алгебраическим уравнением ), в котором две стороны являются полиномами .Стороны полиномиального уравнения содержат одно или несколько членов . Например, уравнение

$Ax^{2}+Bx+C-y=0$

имеет левую сторону $Ax^{2}+Bx+C-y$, который имеет четыре члена, и правая часть $0$, состоящее всего из одного члена. Имена переменных предполагают, что x и y являются неизвестными, а A , B и C являются параметрами , но это обычно фиксируется контекстом (в некоторых контекстах y может быть параметром или A , B и C). могут быть обычными переменными).

Уравнение аналогично весам, на которые помещены гири. Когда равные веса чего-либо (например, зерна) помещаются в две кастрюли, эти две гири приводят весы в равновесие и говорят, что они равны. Если определенное количество зерна удалено из одной чаши весов, такое же количество зерна должно быть удалено из другой чаши, чтобы сохранить баланс весов. В более общем смысле уравнение остается в равновесии, если одна и та же операция выполняется с обеих его сторон.

Свойства

Два уравнения или две системы уравнений эквивалентны , если они имеют один и тот же набор решений. Следующие операции преобразуют уравнение или систему уравнений в эквивалентное — при условии, что эти операции имеют смысл для выражений, к которым они применяются:

• Добавление или вычитание одной и той же величины к обеим частям уравнения. Это показывает, что каждое уравнение эквивалентно уравнению, в котором правая часть равна нулю.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на ненулевую величину.
• Применение тождества для преобразования одной стороны уравнения. Например, расширение продукта или факторизация суммы.
• Для системы: добавление к обеим частям уравнения соответствующей части другого уравнения, умноженной на ту же величину.

Если некоторая функция применяется к обеим частям уравнения, полученное уравнение имеет среди своих решений решения исходного уравнения, но может иметь и дополнительные решения, называемые посторонними решениями . Например, уравнение $x=1$ есть решение $x=1.$ Возведение обеих частей в показатель степени 2 (что означает применение функции $f(s)=s^{2}$ к обеим частям уравнения) меняет уравнение на $x^{2}=1$, который не только имеет предыдущее решение, но и вводит постороннее решение, $x=-1.$ Более того, если функция не определена для некоторых значений (например, 1/ x , которая не определена для x = 0), решения, существующие при этих значениях, могут быть потеряны. Таким образом, необходимо соблюдать осторожность при применении такого преобразования к уравнению.

Вышеупомянутые преобразования лежат в основе большинства элементарных методов решения уравнений , а также некоторых менее элементарных, таких как исключение Гаусса .

Примеры

Аналогичная иллюстрация

Иллюстрация простого уравнения; x , y , z — действительные числа, аналогичные весам.

Уравнение аналогично весам , балансу или качелям .

Каждая сторона уравнения соответствует одной стороне баланса. На каждой стороне могут располагаться разные количества: если гири на двух сторонах равны, весы уравновешиваются, и по аналогии уравновешивается и равенство, представляющее баланс (если нет, то отсутствие баланса соответствует неравенству , представленному по неравенству ).

На иллюстрации x , y и z — это разные величины (в данном случае действительные числа ), представленные в виде круговых весов, и каждая из x , y и z имеет свой вес. Сложение соответствует добавлению веса, а вычитание соответствует удалению веса из того, что уже есть. При равенстве общий вес каждой стороны одинаков.

Параметры и неизвестные

См. также: Выражение (математика)

Уравнения часто содержат члены, отличные от неизвестных. Эти другие термины, которые считаются известными , обычно называются константами , коэффициентами или параметрами .

Пример уравнения, в котором x и y являются неизвестными, а параметр R :

$x^{2}+y^{2}=R^{2}.$

Когда выбрано значение R , равное 2 ( R = 2), это уравнение будет распознаваться в декартовых координатах как уравнение для круга радиуса 2 вокруг начала координат. Следовательно, уравнение с неуказанным R является общим уравнением окружности.

Обычно неизвестные обозначаются буквами в конце алфавита x , y , z , w , ..., а коэффициенты (параметры) обозначаются буквами в начале a , b , c , d , .. . Например, общее квадратное уравнение обычно записывают ax ² + Ьх + с = 0.

Процесс нахождения решений или, в случае параметров, выражения неизвестных через параметры, называется решением уравнения . Такие выражения решений через параметры называют также решениями .

Система уравнений — это совокупность одновременных уравнений , обычно с несколькими неизвестными, для которых ищутся общие решения. Таким образом, решение системы — это набор значений каждой из неизвестных, которые вместе образуют решение каждого уравнения системы. Например, система

${\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}$

имеет единственное решение x = −1, y = 1.

Личности

Основные статьи: Тождество (математика) и Список тригонометрических тождеств.

Идентичность — это уравнение, истинное для всех возможных значений переменных, содержащихся в нем. Многие тождества известны в алгебре и исчислении. В процессе решения уравнения тождество часто используется для упрощения уравнения и облегчения его решения.

В алгебре примером тождества является разность двух квадратов :

$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$

что верно для всех x и y .

Тригонометрия — это область, в которой существует множество идентичностей; они полезны при манипулировании или решении тригонометрических уравнений . Двумя из многих, в которых используются функции синуса и косинуса, являются:

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

и

$\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )$

которые оба верны для всех значений θ .

Например, чтобы найти значение θ , которое удовлетворяет уравнению:

$3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,$

где θ ограничен диапазоном от 0 до 45 градусов, можно использовать приведенную выше идентичность для продукта, чтобы получить:

${\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,$

что дает следующее решение для θ:

$\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.$

Поскольку синусоидальная функция является периодической функцией , существует бесконечно много решений, если нет ограничений на θ . В этом примере ограничение угла θ от 0 до 45 градусов ограничит решение только одним числом.

Алгебра

Алгебра изучает два основных семейства уравнений: полиномиальные уравнения и, среди них, частный случай линейных уравнений . При наличии только одной переменной полиномиальные уравнения имеют вид P ( x ) = 0, где P — многочлен , а линейные уравнения имеют вид ax + b = 0, где a и b — параметры . Для решения уравнений любого семейства используются алгоритмические или геометрические методы, основанные на линейной алгебре или математическом анализе . Алгебра также изучает диофантовы уравнения , в которых коэффициенты и решения являются целыми числами . Используемые методы различны и взяты из теории чисел . Эти уравнения вообще сложны; часто ищут просто для того, чтобы обнаружить существование или отсутствие решения, а если они существуют, то подсчитать количество решений.

Полиномиальные уравнения

Основная статья: Полиномиальное уравнение

Решения –1 и 2 полиномиального уравнения x ² – x + 2 = 0 – точки, в которых находится график квадратичной функции y = x ² – x + 2 разрезает ось x.

В общем, алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение представляет собой уравнение вида

$P=0$, или

$P=Q$

где P и Q — многочлены с коэффициентами в некотором поле (например, рациональные числа , действительные числа , комплексные числа ). Алгебраическое уравнение является одномерным , если оно включает только одну переменную . С другой стороны, полиномиальное уравнение может включать несколько переменных, и в этом случае оно называется многомерным (несколько переменных, x, y, z и т. д.).

Например,

$x^{5}-3x+1=0$

— одномерное алгебраическое (полиномиальное) уравнение с целыми коэффициентами и

$y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$

— многомерное полиномиальное уравнение над рациональными числами.

Некоторые полиномиальные уравнения с рациональными коэффициентами имеют решение, которое представляет собой алгебраическое выражение с конечным числом операций, включающих только эти коэффициенты (т. е. могут быть решены алгебраически ). Это можно сделать для всех таких уравнений степени первой, второй, третьей или четвертой ; но уравнения степени пять и более не всегда могут быть решены таким способом, как показывает теорема Абеля – Руффини .

Большое количество исследований было посвящено вычислению эффективно точных аппроксимаций действительных или комплексных решений одномерного алгебраического уравнения (см. Корневой поиск полиномов ) и общих решений нескольких многомерных полиномиальных уравнений (см. Система полиномиальных уравнений ).

Системы линейных уравнений

«Девять глав математического искусства» — анонимная китайская книга II века, предлагающая метод решения линейных уравнений.

Система линейных уравнений (или линейная система ) — это совокупность линейных уравнений, включающих одну или несколько переменных . Например,

${\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}$

представляет собой систему трех уравнений с тремя переменными x , y , z . Решение . линейной системы — это присвоение чисел переменным таким образом, чтобы все уравнения одновременно удовлетворялись Решение выражением приведенной выше системы дается

${\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}$

поскольку это делает все три уравнения действительными. Слово « система » указывает на то, что уравнения следует рассматривать коллективно, а не индивидуально.

В математике теория линейных систем является фундаментальной частью линейной алгебры , предмета, который используется во многих разделах современной математики. Вычислительные алгоритмы поиска решений являются важной частью числовой линейной алгебры и играют заметную роль в физике , технике , химии , информатике и экономике . Систему нелинейных уравнений часто можно аппроксимировать линейной системой (см. Линеаризацию ), что является полезным методом при создании математической модели или компьютерного моделирования относительно сложной системы.

Геометрия

Аналитическая геометрия

Синяя и красная линии — это набор всех точек ( x , y ) таких, что x + y =5 и - x +2 y =4 соответственно. Их точка пересечения (2,3) удовлетворяет обоим уравнениям.

Основная статья: Аналитическая геометрия

В евклидовой геометрии можно связать набор координат с каждой точкой пространства, например, с помощью ортогональной сетки. Этот метод позволяет характеризовать геометрические фигуры уравнениями. Плоскость в трехмерном пространстве можно выразить как множество решений уравнения вида $ax+by+cz+d=0$, где $a,b,c$ и $d$ являются действительными числами и $x,y,z$ неизвестные, соответствующие координатам точки в системе, заданной ортогональной сеткой. Ценности $a,b,c$ — координаты вектора, перпендикулярного плоскости, определяемой уравнением. Линия выражается как пересечение двух плоскостей, то есть как множество решений одного линейного уравнения со значениями в $\mathbb {R} ^{2}$ или как набор решений двух линейных уравнений со значениями в $\mathbb {R} ^{3}.$

Коническое сечение — это пересечение конуса с уравнением $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ и самолет. Другими словами, в пространстве все коники определяются как множество решений уравнения плоскости и только что данного уравнения конуса. Этот формализм позволяет определить положение и свойства фокусов коники.

Использование уравнений позволяет задействовать большую область математики для решения геометрических вопросов. Декартова система координат превращает геометрическую задачу в задачу анализа, как только фигуры преобразуются в уравнения; отсюда и название аналитическая геометрия . Эта точка зрения, изложенная Декартом , обогащает и видоизменяет тип геометрии, задуманный древнегреческими математиками.

В настоящее время аналитическая геометрия обозначает активный раздел математики. Хотя для описания фигур он по-прежнему использует уравнения, он также использует другие сложные методы, такие как функциональный анализ и линейная алгебра .

уравнения

Декартова система координат с кругом радиуса 2 с центром в начале координат, отмеченным красным. Уравнение окружности: ( x − a ) ² + ( у - б ) ² = р ² где a и b — координаты центра ( a , b ) , а r — радиус.

В декартовой геометрии уравнения используются для описания геометрических фигур . Поскольку рассматриваемые уравнения, такие как неявные уравнения или параметрические уравнения , имеют бесконечное множество решений, цель теперь другая: вместо того, чтобы явно давать решения или подсчитывать их, что невозможно, используются уравнения для изучения свойств фигур. Это исходная идея алгебраической геометрии , важной области математики.

Тот же принцип можно использовать для определения положения любой точки в трехмерном пространстве с помощью трех декартовых координат, которые представляют собой знаковые расстояния до трех взаимно перпендикулярных плоскостей (или, что то же самое, с помощью ее перпендикулярной проекции на три взаимно перпендикулярные прямые). ).

Изобретение декартовых координат в 17 веке Рене Декартом произвело революцию в математике, обеспечив первую систематическую связь между евклидовой геометрией и алгеброй . Используя декартову систему координат, геометрические фигуры (например, кривые ) могут быть описаны декартовыми уравнениями: алгебраическими уравнениями, включающими координаты точек, лежащих на форме. Например, круг радиуса 2 на плоскости с центром в определенной точке, называемой началом координат, можно описать как набор всех точек, координаты x и y которых удовлетворяют уравнению x. ² + и ² = 4 .

Параметрические уравнения

Основная статья: Параметрическое уравнение

Параметрическое уравнение кривой называемой выражает координаты точек кривой как функции переменной , параметром . Например,

${\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}$

— параметрические уравнения для единичной окружности , где t — параметр. Вместе эти уравнения называются параметрическим представлением кривой.

Понятие параметрического уравнения было обобщено на поверхности , многообразия и алгебраические многообразия более высокой размерности , при этом количество параметров равно размерности многообразия или многообразия, а количество уравнений равно размерности пространства, в котором рассматривается многообразие или многообразие (для кривых размерность один и один используется параметр, для поверхностей размерность два и два параметра и т. д.).

Теория чисел

Диофантовы уравнения

Основная статья: Диофантово уравнение

Диофантово уравнение — это полиномиальное уравнение с двумя или более неизвестными, для которого ищутся только целочисленные решения (целочисленное решение — это решение, в котором все неизвестные принимают целые значения). Линейное диофантово уравнение — это уравнение между двумя суммами мономов степени нулевой или первой . Примером линейного диофантова уравнения является ax + by = c, где a , b и c — константы. Экспоненциальное диофантово уравнение — это уравнение, для которого показатели членов уравнения могут быть неизвестными.

В диофантовых задачах меньше уравнений, чем неизвестных переменных, и они включают в себя поиск целых чисел, которые правильно работают для всех уравнений. Говоря более техническим языком, они определяют алгебраическую кривую , алгебраическую поверхность или более общий объект и спрашивают о точках решетки на нем.

Слово «диофантин» относится к эллинистическому математику III века Диофанту Александрийскому , который исследовал подобные уравнения и был одним из первых математиков, введших символизм в алгебру . Математическое исследование диофантовых задач, начатое Диофантом, теперь называется диофантовым анализом.

Алгебраические и трансцендентные числа

Основные статьи: Алгебраическое число и трансцендентное число

Алгебраическое число — это число, которое является решением ненулевого полиномиального уравнения от одной переменной с рациональными коэффициентами (или, что то же самое — путем очистки знаменателей — с целыми коэффициентами). Числа, такие как π , которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными . Почти все действительные и комплексные числа трансцендентны.

Алгебраическая геометрия

Основная статья: Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия — раздел математики , классически изучающий решения полиномиальных уравнений . Современная алгебраическая геометрия основана на более абстрактных методах абстрактной алгебры , особенно коммутативной алгебры , с использованием языка и задач геометрии .

Основным объектом изучения алгебраической геометрии являются алгебраические многообразия , являющиеся геометрическими проявлениями решений систем полиномиальных уравнений . Примерами наиболее изученных классов алгебраических многообразий являются: плоские алгебраические кривые , к которым относятся прямые , окружности , параболы , эллипсы , гиперболы , кубические кривые типа эллиптических кривых и кривые четвертой степени типа лемнискат , а также овалы Кассини . Точка плоскости принадлежит алгебраической кривой, если ее координаты удовлетворяют заданному полиномиальному уравнению. Основные вопросы включают изучение точек особого интереса, таких как особые точки , точки перегиба и точки на бесконечности . Более сложные вопросы связаны с топологией кривой и связями между кривыми, заданными различными уравнениями.

Дифференциальные уравнения

Основная статья: Дифференциальное уравнение

Странный аттрактор , возникающий при решении некоего дифференциального уравнения

— Дифференциальное уравнение это математическое уравнение, которое связывает некоторую функцию с ее производными . В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные представляют скорость их изменения, а уравнение определяет связь между ними. Их решение осуществляется путем нахождения выражения функции, не содержащего производных. Дифференциальные уравнения используются для моделирования процессов, включающих скорость изменения переменной, и используются в таких областях, как физика, химия, биология и экономика.

В чистой математике дифференциальные уравнения изучаются с нескольких разных точек зрения, в основном связанных с их решениями — набором функций, удовлетворяющих уравнению. Только простейшие дифференциальные уравнения разрешимы явными формулами; однако некоторые свойства решений данного дифференциального уравнения можно определить, не найдя их точного вида.

Если самостоятельная формула для решения недоступна, решение можно численно аппроксимировать с помощью компьютеров. В теории динамических систем упор делается на качественный анализ систем, описываемых дифференциальными уравнениями, при этом множество численных методов разработано определения решений с заданной степенью точности.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основная статья: Обыкновенное дифференциальное уравнение

Обыкновенное дифференциальное уравнение или ОДУ — это уравнение, содержащее функцию одной независимой переменной и ее производных. Термин « обычное » используется в отличие от термина « уравнение в частных производных» , которое может относиться к более чем одной независимой переменной.

Линейные дифференциальные уравнения, решения которых можно складывать и умножать на коэффициенты, четко определены и понятны, и получаются точные решения в замкнутой форме. Напротив, ОДУ, у которых нет аддитивных решений, являются нелинейными, и их решение гораздо сложнее, поскольку их редко можно представить элементарными функциями в замкнутой форме: вместо этого точные и аналитические решения ОДУ находятся в последовательной или интегральной форме. Графические и численные методы, применяемые вручную или с помощью компьютера, могут аппроксимировать решения ОДУ и, возможно, давать полезную информацию, часто достаточную при отсутствии точных аналитических решений.

Уравнения в частных производных

Основная статья: Уравнение в частных производных

Уравнение в частных производных (УЧП) — это дифференциальное уравнение , которое содержит неизвестные функции многих переменных и их частные производные . (В отличие от обычных дифференциальных уравнений , которые имеют дело с функциями одной переменной и их производными.) УЧП используются для формулирования задач, включающих функции нескольких переменных, и либо решаются вручную, либо используются для создания соответствующей компьютерной модели. .

PDE можно использовать для описания широкого спектра явлений, таких как звук , тепло , электростатика , электродинамика , поток жидкости , упругость или квантовая механика . Эти, казалось бы, разные физические явления могут быть формализованы аналогичным образом в терминах УЧП. Точно так же, как обыкновенные дифференциальные уравнения часто моделируют одномерные динамические системы , уравнения в частных производных часто моделируют многомерные системы . УЧП находят свое обобщение в стохастических уравнениях в частных производных .

Типы уравнений

Уравнения можно классифицировать по типам операций и участвующим в них количествам. Важные типы включают в себя:

• Алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение — это уравнение, в котором обе части являются полиномами (см. также систему полиномиальных уравнений ). Далее они классифицируются по степени :
  • линейное уравнение первой степени
  • квадратное уравнение второй степени
  • кубическое уравнение третьей степени
  • уравнение четвертой степени для четвертой степени
  • уравнение пятой степени для пятой степени
  • секстическое уравнение для шестой степени
  • уравнение септика для седьмой степени
  • октическое уравнение для восьмой степени
• Диофантово уравнение — это уравнение, в котором неизвестные должны быть целыми числами.
• — Трансцендентное уравнение это уравнение, содержащее трансцендентную функцию своих неизвестных.
• Параметрическое уравнение — это уравнение, в котором решения для переменных выражаются как функции некоторых других переменных, называемых параметрами, входящими в уравнения.
• Функциональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестными являются функции, а не простые величины.
• Уравнения, включающие производные, интегралы и конечные разности:
  • — Дифференциальное уравнение это функциональное уравнение, включающее производные неизвестных функций, где функция и ее производные вычисляются в одной и той же точке, например: $f'(x)=x^{2}$. Дифференциальные уравнения подразделяются на обыкновенные дифференциальные уравнения для функций одной переменной и уравнения в частных производных для функций многих переменных.
  • Интегральное уравнение — это функциональное уравнение, включающее первообразные неизвестных функций. Для функций одной переменной такое уравнение отличается от дифференциального уравнения прежде всего заменой переменной, заменяющей функцию ее производной, однако это не тот случай, когда интеграл берется по открытой поверхности.
  • Интегро -дифференциальное уравнение — это функциональное уравнение, включающее как производные , так и первообразные неизвестных функций. Для функций одной переменной такое уравнение отличается от интегральных и дифференциальных уравнений аналогичной заменой переменной.
  • дифференциального Функционально-дифференциальное уравнение с уравнения запаздыванием представляет собой функциональное уравнение, включающее производные неизвестных функций, оцениваемые в нескольких точках, например: $f'(x)=f(x-2)$
  • Разностное уравнение — это уравнение, в котором неизвестной является функция f , которая входит в уравнение через f ( x ), f ( x −1), ..., f ( x − k ), для некоторого целого числа k, называемого порядком уравнения. Если x ограничено целым числом, разностное уравнение аналогично рекуррентному соотношению.
  • Стохастическое дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, в котором один или несколько членов представляют собой случайный процесс.

См. также

• Формула
• История алгебры
• Неопределенное уравнение
• Список уравнений
• Список научных уравнений, названных в честь людей
• Термин (логика)
• Теория уравнений
• Отмена

Внешние ссылки

• Winplot : Плоттер общего назначения, который может рисовать и анимировать 2D и 3D математические уравнения.
• Построитель уравнений : веб-страница для создания и загрузки графиков в формате PDF или Postscript для наборов решений уравнений и неравенств с двумя переменными ( x и y ).